Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория случайных процессов. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
7. Сходимость, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость случайных процессов
Определение 5. Производной случайного процесса в точке
ный предел отношения приращения функции к приращению аргумента
0t
:
(,) (, )
tt
'
(,)
t
Определение 6. Если случайный процесс является дифференцируемым в каждой
точке открытого множества , то его называют дифференцируемым на множестве .
TT
0
lim
tt
0
(,),tt T
tt
0
0
называют среднеквадратич-
t
0
ttt
T
0
0
при
Рассмотрим еще раз задачу, которая обсуждалась в разделе 2.
Пример 7.5. Дан случайный процесс , где и – случайные величины.
Причем имеет симметричное относительно нуля распределение и . Найти
Y
вероятность того, что реализации случайного процесса при возрастают.
tXtYt
XY
00PY
0t
При решении была указана производная процесса. Покажем, что процесс
tXtYt
дифференцируем в среднем квадратическом и имеет среднеквадратическую производную
'
2ttY
.
Решение: По определению можем записать:
(, ) (,)
tt t
Mt
lim
t
0
t
2
'
(,) 0
Тогда запишем для нашего процесса:
(, )t t tt ttYX
2
(, ) (,)tt t
и
(,)ttYtX
2
Рассмотрим предел отношения :
t
(, ) (,)
tt t tt ttYXtYtX
t
2
tt t Y t
2
t
2,
2
tY t
tt
2
22 2
2
ttttYtYtXtYtX
101
Тогда:
X
K
Теория случайных процессов
(, ) (,)
tt t
lim lim lim
ttt
000
t
MtMtYttYMt
'
2
(,) 2 2
2
2
0
Таким образом показали, что процесс действительно дифференцируем в среднем квадратическом.
Теорема 2. (необходимое и достаточное условие дифференцируемости случайного про-
()mt
tT
был дифференцируемым
цесса). Для того, чтобы скалярный случайный процесс
'
в точке , а для случайной величины существовало математическое ожидание и
tT
0
(, )t
0
(,)t
дисперсия, необходимо и достаточно, чтобы функция была дифференцируема в этой
точке и существовала вторая обобщенная смешанная производная от ковариационная функ-
ции при .
Пример 7.6. Задан случайный процесс где - независимые
(, )Ktt
12
ttt
120
() cos( ) sin( ),
ttt
,
22 2
случайные величины, числовые характеристики, которых . Пока-
0,mm
зать, что это дифференцируемый процесс.
Решение:
1. Найдем математическое ожидание и ковариационную функцию процесса:
( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
mt M t t M t M t
X
cos( ) sin( );
mtmt
(, ) () ( ) () ( );
tt M Xt Xt m tm t
12 1 2 1 2
XXX
2. Откуда
() ( ) () ( )
MXtXt m tmt
Mt t t tmtmt
mt t tt
12 1 2
[( cos( ) sin( ) ( cos( ) sin( )] ( ) ( )
2 2
MttMMttMtt
mt tmmt
cos( ) cos( ) sin( ( ) sin( ) sin( )
2
cos( ) cos( ) cos( ) sin
22
sin( ) sin( ) cos( ( );
XX
11 2 212
12 12 12
12
12 12
XX
)
()sin()cos()
ttt
1
212
)
Сокращаем и
)sin( ( )MM tt
12
cos( ) sin( ) sin( ) cos( )mm t t t t
12 1 2
102
7. Сходимость, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость случайных процессов
K
X
() ( ) () ( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )
MXtXt m tmt M t t M t t
12 1 2 1 2 1 2
22 22
Mm t t Mm t t
учитывая, что записываем окончательно:
( , ) cos( )cos( )) sin( ) sin( ) cos ( )
tt t t t t t t
X
Таким образом получили:
откуда
XX
mt tm t t
cos( ) cos( )) sin( ) sin( ))
22 2 22 2
2 2
12 1 2 1 2 1 2
12 1 2
;MmMm
mt m t m t
'
mt m t m t
( ) [ cos( ) sin( )];
X
2
K
X
tt
12
22
cos( ) cos( ) sin( ) sin( )
() cos( ) sin( );
X
dm
dt
22 22
22
12 1 2
X
cos ( )
tt
21
ttt
120
Ktt t t
X
12 1 2
2
)(, ) cos( ( );
И согласно теореме о необходимом и достаточном условии дифференцируемости случайного
() cos( ) sin( )
процесса: случайный процесс – дифференцируем.
ttt
Интегрируемость случайного процесса
Понятие интеграла от случайного процесса будем также рассматривать в среднеквадратиче-
ском смысле. Пусть случайный процесс
строим некоторое разбиение , а на каждом из промежутков этого
at t t t b
01 1
разбиения выберем произвольную точку .
Определение 7: Если при и существует предел в среднеквадрати-
n
ческом , не зависящий от способа разбиения и выбора точек
, т.е.
i
интегрируемым в среднеквадратическом, а случайная величина называется ее сред-
ся
()( )
1
i
max 0
tt
i
ii
lim ( ) ( ) ( ) 0,
t
Mtttdt
i
неквадратическим интегралом
n
.
ck
1
n
i
1
iii
1
по и обозначается .
in
()t
определен на . На отрезке по-
....
nn
, , 1,...,
tti n
iii
max ( ) 0
tt
1,...,
b
1
1
ii
2
a
,ab
то случайный процесс называет-
TR
b
a
()
tdt
t
i
,ab T
()t
103
Теория случайных процессов
b
Теорема 3. Для существования среднеквадратического интеграла необходимо и
()
tdt
a
достаточно, чтобы существовали следующие интегралы Римана:
где
() () ,mt M t
b
Imtdt
1
a
(, ) cov (), ( )Kt t
; и ,
()
bb
IKtdtd
2
aa
(, )
Пример 7.7. Задан случайный процесс , где – случайная величина, числовые
характеристики, которой . Показать, что интегрируемый в среднем
квадратическом процесс на .
2, 1
m
VV
1, 2
()XtVt
2
2
V
()Xt
Решение:
1. Найдем математическое ожидание и ковариационную функцию процесса:
22
() 2
mt MVt MVtt
X
(, ) () ( ) () ()
K t t M Xt Xt m t m t M V t t t t
XXX
ttMV tt tt MV tt DVtt
12 1 2 1 2 12 12
22 2 22 22 2 2 2 22
12 12 12 12 12
22
MV MV
2
222 22
2. Для существования среднеквадратического интеграла необходимо и доста-
точно, чтобы существовали следующие интегралы Римана:
b
и
Imtdt
1
()
a
bb
I K t t dt dt
21212
aa
MV
b
()
tdt
a
(, )
2
У нас:
2
Idt
1
Idtdt dt
212 2
2
2
t
1
22 2 2 2 2
22 2 2 2 2
tt tdtt tdt tdt
12 1 1 2 1 1 1 1
11 1 1 1 1
2
3
216214
t
3333
1
;
2
3
t
2
3
1
77749
3339
Т.е. согласно теореме
квадратического интеграла случайный процесс интегрируем
1,2
на .
3, о необходимом и достаточном условии существования средне-
b
()
tdt
a
()XtVt
2
104
_
K
8. Основные классы случайных процессов
Гауссовские случайные процессы
Важную роль во многих прикладных задачах играют гауссовские случайные процессы, которые возникают в результате сложения большого числа независимых или слабо зависимых
случайных процессов примерно одинаковой мощности. В этом случае, с увеличением числа
слагаемых сумма сходится к гауссовскому случайному процессу независимо от того, как
распределены отдельные слагаемые.
Пусть - n-мерный
,, ,
12
T
n
случайный вектор, и .
Характеристическая функция определяется как: ,
где – скалярное произведение векторов.
,u
uuu u R
()
ugMeMe
n
,,,
12
(,)
iu
T
n
n
()
iu u
11
nn
Напомним, что n-мерный случайный вектор имеет нормальное распреде-
,, ,
12
T
n
ление, если его характеристическая функция имеет вид:
( , , , ) exp , exp ,
guu u imu uKu i mu Kuu
n
где , ,
uuu u
,,,
12
)(
KK
– ковариационная матрица случайного вектора :
jk
MmmM jkn
jk j j k k
12
T
n
nkkjkjk
T
mMM M mmm
,,, ,,,
12 12
11
T
22
nn
jk
,, 1,
nn
kjk
1,1
,,,
12
__
.
T
n
(,),ttT
Определение 1. Действительный случайный процесс называется гауссовcким
или нормальным, если все его конечномерные законы распределения являются нормальными, т.е. n-мерная плотность распределения и характеристическая функция совместного рас-
пределения вероятностей случайных величин
имеют вид:
105
( , ), ( , ), ...., ( , ) 1,
tt t tTin
12
ni
Теория случайных процессов
px x x t t t K x m x m
( , ,..., , , ,..., ) exp ;
12 12
,,,;,,, exp exp
uguutttM ixu imu Kuu
nnn kk
12 12
nn ij i i j j
11
n
2det
K
n
kk kjk j
k
1
2
1
ij
,
nn
kkj
1,1
1
2
.
Характеристическая функция полностью определяет распределение совокупности случайных
величин, и с ее помощью может быть задано полное семейство конечномерных распределений.
Пример 8.1. Найти характеристическую функцию гауссовского случайного процесса при
1n
.
1n
iux
1
,где – плотность одномер-
px
1
1
exp
2
2
xm
2
2
2
Решение: Пусть , тогда по определению характеристической функции
iu
gu Me e pxdx
1
ного нормального распределения.
Плотность находится по формуле обращения:.
Покажем, что:
px
1
gu e
1
ium u
1
2
22
px e gudu
1
1
;
2
iux
1
Имеем:
2
xm
iux
eedxe edy edy
11
222
ium ium
ee
22
222
e e dy e e dz
22
xm y
222
222
2 222
1
2
yi u
2 2
iy mu
22 22
2
uu
2
zyi u
ium u
e
2
y
ium
e
22
iu
1
iu y y
z
2
2
iu
1
22
2
.
Пример 8.2. Найти одномерную и двумерную плотности распределения вероятностей про-
цесса , где – постоянная угловая частота; и -взаимно не-
() cos sinttt
106
8. Основные классы случайных процессов
зависимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и
дисперсиями .
DD
2
0mm
Решение: При любом фиксированном значении , будем иметь в сечении случайную вели-
t
чину, которая будет являться гауссовской величиной, т.к. она представляет собой линейную
комбинацию гауссовских случайных величин. Для определения одномерной и двумерной
плотностей распределения вероятностей процесса, нам нужно определить его математическое ожидание и ковариационную функцию .
()mt
(, )Ktt
12
По определению:
( ) cos sin cos sin 0mt M t t t M M t
( , ) cos sin cos sin
Ktt M t t t t
12 1 1 2 2
( cos cos cos sin
Mtt tt
sin cos sin sin )
2
tt tt
12 12
12 1 2
2
;
Из условия
выми математическими ожиданиями , поэтому (свой-
задачи известно, что и взаимно независимые случайные величины с нуле-
0mm
0MMM
ство математического ожидания для независимых случайных величин).
Упростим выражение для :
( , ) cos sin cos sin
Ktt M t t t t
Mtt ttM tt
Mtt tt tt
12 1 1 2 2
222
22
cos cos sin sin cos ( ),
22 2
cos cos sin sin cos cos
sinsin coscos sinsin
tt tt ttKt
12 12 21 2
(, )Ktt
12
12 12 12
12 1 2 12
.t
1
Запишем ковариационную матрицу:
K
22
22
cos
cos
найдем ее определитель:
22
K
22
cos
cos
4242
1cos sin 0
Найдем обратную матрицу:
107
Теория случайных процессов
K
11
1
det sin
22
11
KK
11 12
11
KK
21 22
K
1
22 22
22 22
cos cos
1cos
cos 1sin
cos cos
42
22 22
1 sin cos sin
cos sin 1 sin
22 22
Теперь можем записать искомые плотности распределения вероятностей, используя вышеуказанную формулу:
px x x t t t K x a x a
( , ,..., , , ,..., ) exp ;
12 12
nn ij i i j j
11
n
2det
K
2
Одномерная плотность распределения вероятностей процесса
pxt
(,) exp
11
2
x
2
1
ij
,
() cos sin :ttt
2
;
2
Двумерная плотность распределения вероятностей процесса
px x t t K x a x a
(, ,,) exp
1212
2sin
2sin
2 sin 2 sin sin sin
2 sin 2 sin
2sin
11
2
42
2
42
2222222
222
11
2
42 ,
exp
exp ,
exp
exp
2
2sin sin
22
xxx x
112 2
2
121112
KxKxxKxxKx
111 1212 2112 222
2
xxx xx
112 12
22 22
22
xxx x
112 2
2cos11
2cos11
1
ij
ij i i j j
cos cos11
() cos sin :ttt
22 22
sin sin
tt
21
2
x
2
Замечание 1: Гауссовские процессы обладают рядом хороших свойств:
1. Гауссовский случайный процесс исчерпывающим образом определяется двумя моментными функциями: математическим ожиданием и ковариационной функцией .
()mt
()K
108
8. Основные классы случайных процессов
Для гауссовских случайных процессов понятия стационарности в широком и узком смыс-
2.
ле совпадают. По определению, случайный процесс является стационарным в широком
смысле, если его математическое ожидание не зависит от времени, а ковариационная функция зависит лишь от абсолютных значений интервалов между рассматриваемыми моментами
времени. Одновременно он будет стационарным в узком смысле
сти вероятности и характеристические функции не будут изменяться при сдвиге всей группы
точек вдоль оси времени на произвольную постоянную величину.
, т.к. многомерные плотно-
Процессы с ортогональными и независимыми приращениями
Определение 2. Приращением случайного процесса на промежутке , где
называется случайная величина
,tt t t
12 2 1
,tt
12
0 tt
12
Определение 3. Случайный процесс называется процессом с ортогональными приращени-
ями, если для произвольных моментов времени выполняется соотношение:
cov ( ) ( ), ( ) ( ) cov ( , ), ( , ) 0tttt tt tt
2 1 4 3 12 34
Ковариация двух случайных величин имеет смысл скалярного произведения. Поэтому условие некоррелированности приращений часто называют условием их ортогональности, т.е.
равенства нулю скалярного произведения этих приращений.
Замечание 2: Из всего вышеизложенного следует, что случайный процесс
тоже процесс с ортогональными приращениями. Для любого промежутка :
0 tt t t
1234
109
,tt
12
0tt
Теория случайных процессов
F
tt
процесса . Поэтому далее будем предполагать, что . В таком случае говорят,
что процесс выходит из нуля.
, т.е. все свойства приращений процесса переносятся на приращения
t
t
00
Частным случаем
висимыми приращениями.
Определение 4. Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями,
если для любых сечений случайные величины
0 , 0, , , ,....., ,
и конечномерное распределение имеет вид:
Процессы с независимыми приращениями полностью описываются одномерными и дву-
мерными законами распределения, т.е. для задания такого процесса достаточно знать только
(,)pxt
(, ,,)pxxtt
, или , .
1 212
процессов с ортогональными приращениями являются процессы с неза-
0...,1
tt tn
12
ttt tt
112 1
, , ....., ,
ttt tt ttt t
010 21 1 2 1
( , ,..., , , , ..., ) ( , , ) .......... ( , , ) ( , )
px x x t t t px t x t px t x t px t
1 2 1 2 1 1 2 2 11 11
nnnnnn
nn
,Fxt
независимы в совокупности.
(, ,,)
xxtt
1212
n
nn n n
2
()Mt
Замечание 3: В случае процесса с конечной мощностью, т.е. если , при всех
0t
процесс с независимыми приращениями также является процессом с ортогональными
приращениями. Обратное в общем случае неверно, но гауссовские процессы с ортогональными приращениями также является и процессом с независимыми приращениями, в предпо-
ложении, что .
00
Винеровский процесс
(частный случай процесса с независимыми приращениями)
Определение 5: Винеровским процессом называют случайный процесс, для которо-
го выполнены следующие аксиомы:
1. Для любого разбиения временного интервала точками
Приращения: независимы.
() (), () (), () (),..., () ( )
Wt Wt Wt Wt Wt Wt Wt Wt
10 21 32 1
,Wt
0,T
0...
ttt t tT
012 1
nn
nn
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]