Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория случайных процессов. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Литература
Литература
1. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы : учеб. для вузов. М. : Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 448 с.
2.
Маталыцкий М.А. Элементы теории случайных процессов : учеб. пособие. Гродно : ГрГУ,
2004. 326 с.
3.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения.
М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 384 с.
4.
Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. М. : ФИЗ-
МАТЛИТ, 2002. 320 с.
5.
Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 3-е изд., испр.
и доп. М. : КомКнига, 2005. 400 с.
6.
Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов : учеб. пособие.
Томск : Изд-во НТЛ, 2006. 204 с.
7.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М. : Наука, 1969. 448 с.
8.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и
теории случайных процессов. 3-е изд. М. : Айрис-пресс, 2008. 290 с.
9.
Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей : учеб. пособие.
М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1986. 328 с.
10.
Донской Е.Н. Курс теории вероятностей с элементами случайных процессов и математи-
ческой статистики. Саров : РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2000. 288 с.
11.
Максимов Ю.Д. Математика. Теория вероятностей и случайных процессов. СПб. : Изд-во
Политех. ун-та, 2008. 384 с.
12.
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных
функций / под общ. ред. А.А. Свешникова. СПб. : Лань, 2007. 448 с.
13.
Власенков В.М. Основы теории случайных процессов в практическом изложении.
Комсомольск-на-Амуре : Изд-во КнАГТУ, 2004. 99 с.
14.
Марченко Л.В. Случайные процессы : учеб. пособие. Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2013.
75 с.
15.
Храмов А.Г. Теория случайных процессов : электронное учебное пособие. Самара : Са-
марский аэрокосмический университет, .
16.
Крупин В.Г, Павлов А.Л., Попов Л.Г. Теория вероятностей, математическая статистика,
случайные процессы : учеб. пособие. М. : Издательский дом МЭИ, 2013. 368 с.
17.
Син Л.И. Элементы теории случайных процессов : методическое пособие. Шахты :
ЮРГУЭС, 2002. 32 с.
18.
Крицкий О.Л. Введение в теорию случайных процессов : учеб. пособие. Томск : Изд-во
ТПУ, 2009. 110 с.
121
Теория случайных процессов
p
p
Приложения
Приложение 1
Некоторые распределения случайных величин
1. Распределение Бернулли. Случайная величина
(1) ,(0),PpPq
тия в одном испытании. , характеристическая функция:
() .
gu q pe
,MpDpq
iu
число наступлений некоторого собы-
2. Биномиальное распределение. Случайная величина число наступлений некоторого
события в
ность успеха в одном испытании, вероятность неудачи. , ха-
рактеристическая функция:
n независимых испытаниях. вероят-
() ,0,,
PmCpqmn
q
n
() .
gu q pe
iu
mmnm
n
,MnpDnpq
3. Геометрическое распределение. В схеме Бернулли число испытаний до первого
1
m
1
pe
qe
iu
iu
наступления события. , ; ха-
рактеристическая функция:
() ,1,2,...;
Pmpqm
() .
gu
1qp
MD
1
,
q
2
p
4. Распределение Пуассона. Случайная величина число событий, наступивших в пуас-
m
e
соновском потоке, характеристическая
() .
функция:
gu e
() ,0,1,...;
Pm m MD
iu
(1)
e
!
m
5. Равномерное распределение на конечном множестве. Случайная величина принима-
ет любое из значений некоторого интервала с одинаковыми вероятностями. Закон распределения и числовые характеристики:
1
akb
,
( ) 1; , 1, ...., 1, ; ;
Pm nbakaa bbM D
n
0,
характеристическая функция:
else
ia u i b u
ee
() .
gu
ne
(1)
(1 )
iu
ab n
212
2
1
122
Приложения
6. Непрерывное равномерное распределение. Распределение случайной величины с плот-
ностью вероятностей и числовыми характеристиками:
1
() ,
Px M D
ba
0,
характеристическая функция:
axb
,
else
ibu iau
ee
() .
gu
()
iu b a
ab
212
ba
2
7. Экспоненциальное распределение. Плотность вероятности случайной величины с та-
ким распределением и числовые характеристики:
() 0, ,
Px M D
0,0
характеристическая функция:
,0
ex
x
() .gu
iu
11
2
x
8. Распределение Коши. Распределение случайной величины с плотностью вероятностей:
px a x
22
()
xa
1
() , , 0, ,
.
Данное распределение не имеет конечных математического ожидания и дисперсии,
iau u
() .
характеристическая функция:
gu e
9. Нормальное распределение. Распределение случайной величины с плотностью вероят-
ностей:
() exp , , , ,
px M aD x
1
2
характеристическая функция:
gu iau
10. Двумерное нормальное распределение. Распределение случайной величины с
2
xa
2
2
() exp .
22
u
2
2
,
совместной плотностью вероятностей:
xa ya xa ya
pxy r
(, ) exp 2 ,
21
MaMaD D
,, ,
11
2
r
22
21
2
r
22
22
– коэффициент корреляции случайных величин и .
r
123
Теория случайных процессов
11. Распределение Лапласа. Распределение случайной величины с плотностью вероятно-
1
x
() 0, 2
стей: характеристическая функция:
px e M D
2
() .
gu
1
1
2
u
12. Гамма распределение. Распределение интервала времени, необходимого для появления k
событий в пуассоновском потоке интенсивности , имеет плотность вероятностей и
числовые характеристики:
px M D z edz
()
0, 0
() , 0, , , ( )
характеристическая функция:
1
x
xe x
,0
x
iu
() 1 .
gu
2
0
1
z
124
Приложения
Табличные интегралы
cos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
mx
22
ax a
0
2
sin
mx
ax a
0
sin sin
mx nx
22
ax a
0
0
0
0
0
0
0
0
cos cos
mx nx
22
ax a
sin cos
xmx nx
22
ax
sin
xmx
22
ax
sin
xmx m
22
ax
sin
mx
22
xa x
sin 2
mx ma
22
xa x
2
cos
xmx
22
ax
cos
22
ax
0
2222 22
axbx ab
0
xmx e e
2222
axbx
0
ma
dx e a m
,0,0
2
dx e a m
4
dx e sh na a m n
ma
2
1,0,0
ma
(), 0, 0
2
ma
dx e ch na a m n
(), 0, 0
2
ma
echna a mn
dx e a m
dx
2
eshma a mn
2
ma
,0,0
(), 0, 0
na
(), 0, 0
2
ma
dx e a m
2
mx
cos
sin
4
a
dx e a m
2
a
dx e a m
2
2
2
22
dx ma e a m
4
dx ma e a m
4
mx e e
,0,0
ma
1,0,0
2
1,0,0
4
a
1,0,0
ma
ma
a
ma
1,0,0
3
a
dx a b a b m
2
dx a b a b m
2
mb ma
mb ma
ab
ba
22
,, 0, , 0
,,0, , 0
Приложение 2
125
Теория случайных процессов
,0
sin cos
mx nx
14.
0
15.
0
1cos
16.
0
xe dx
17.
0
18.
emxdx a
0
19.
emxdx a
0
20.
xe mxdx a
0
21.
emxnxdx a
0
emxnxdx a
22.
0
23.
emxdxea
0
dx m n
x
2
ax mx
2
x
mx
x
ax
ax
ax
ax
2
ax
dx
2
x
1
2
sin , 0
cos , 0
ax
cos , 0
sin cos , 0
cos cos , 0
cos , 0
2
,0
4
0, 0
aa
22 2sin cos
dx
0, 0
m
2
,0
m
22
am
a
22
am
22
am
22
am
amnamn
amnamn
m
4
2
a
mn
nm
mm
,0
m
a
2
2
222
ma m n
22
22
2
a
22
222
aa m n
22
24.
25.
26.
27.
cos cos sin , 0xaxdx axaxaxCa
222
cos 2 cos 2 sin , 0xaxdx axaxax axCa
ax ax
xe dx e C a
2
ax ax
xedx e C a
1
2
a
1
3
a
1
x
2
aa
2
22
xx
23
aa a
,0
,0
126
Приложения
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
Сведения из теории вычетов
Пусть простой полюс функции , функции ()
0
0
0z . Тогда
()
()
() ()
zz
Res
z
0
() ()
zz
'
z
0
, ()
Приложение 3
аналитичны в точке
и
0
Пусть полюс второго порядка функции
0
() lim ()
fz z z fzRes
zz
z
0
Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Пусть
(), ()Pz Qz многочлены от
того, пусть дробь
()
Pz
не имеет особых точек на оси Ox , а
()
Qz
степени n и m соответственно, причем 1mn. Кроме
ложительными мнимыми частями. Тогда
() ()
Px Pz
() ()
Qx Qz
ia x ia z
() ()
Pxe Pz e
Qx Qz
dx i a
() ()
dx i
2,0
()fz. Тогда
0
2
0
N
Res
2
z
k
1
k
N
k
1
Res
z
k
'
, ,....,
zz
12
все ее полюса с по-
n
127
Теория случайных процессов
Учебное издание
Оксана Николаевна Галажинская
Светлана Петровна Моисеева
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Часть 1
Учебное пособие
Издание подготовлено в авторской редакции
Компьютерная верстка А.И. Лелоюр
Дизайн обложки Л.Д. Кривцовой
Подписано к печати 2.09.2015 г. Формат 60×84
Бумага для офисной техники. Гарнитура Times.
Усл. печ. л. 14,8.
Тираж 100 экз. Заказ № 1217.
Отпечатано на оборудовании
Издательского Дома
Томского государственного университета
634050, г. Томск, пр. Ленина, 36
Тел. 8+(382-2)–53-15-28
Сайт: http://publish.tsu.ru
E-mail: rio.tsu@mail.ru
1
/8.
128
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]