Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория случайных процессов. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
6. Спектральная плотность
D
D
Дискретный спектр разложения переходит в непрерывный, и вместо дисперсии амплитуды
гармоники каждой частоты рассматривается плотность дисперсии амплитуды на единицу
частоты.
()DSd
Дисперсия случайного процесса вычисляется по формуле:
0
.
Спектральная плотность описывает частотный состав стационарного процесса. Эта характеристика полностью определяется корреляционной функцией данного процесса.
Подобно тому как ординаты дискретного спектра
функцию
, спектральная плотность
()K
также может быть выражена через корреля-
()S
выражаются через корреляционную
k
ционную функцию.
Рассмотрим каноническое разложение корреляционной функции на конечном интервале.
() cos( )
где соответствующая частоте
KD
дисперсия:
k
DK d
k
.
0
k
T
2
T
0
Разделим обе части последнего выражения на
kk
()cos( )
,
k
.
Т
Поскольку
()
S
k
k
, то получим:
T
SK d
() ()cos( )
2
k
0
k
Переходя в полученном выражении к пределу при T , запишем выражение спектральной плотности через корреляционную функцию:
2
() ()cos( )SK d
0
91
Теория случайных процессов
D
Теперь выполним аналогичные преобразования и получим выражение для корреляционной
функции через спектральную плотность.
Выразим дисперсии
через спектральную плотность:
k
DS
kk
()
,
подставим в формулу:
() cos( )
KD
k
0
kk
,
перейдем к пределу при T и получим:
() ( )cos( )KS d
0
Полученные интегралы представляют собой интегралы Фурье. Таким образом, корреляционная функция и спектральная плотность выражаются одна через другую с помощью преобразований Фурье.
действительной форме эти преобразования имеют вид:
В
2
() ( )cos( )
0
0
Эти формулы называются
() ()cos( )
SK d
KS d
формулами Винера – Хинчина.
Свойства спектральной плотности ()S
1. () 0S – неотрицательность.
Если положить в выражении
2.
(0) ( ) cos( 0) ( ) 1 ( )KDS dSdSd
000
() ( )cos( )KS d
0
:
: 0 , то получим:
, т.е. интеграл от спектральной
плотности в пределах от 0 до равен дисперсии стационарного случайного процесса.
92
6. Спектральная плотность
Для того, чтобы упростить математические выкладки удобно использовать спектральное
разложение стационарного случайного процесса в комплексной форме, при этом считается,
что частоты изменяются в пределах от
,
, но надо понимать, что частоты 0
физи-
ческого смысла не имеют.
Спектральной плотностью стационарного случайного процесса в комплексной форме назы-
вается функция:
SS
1
() ( )
2
Тогда формулы Винера – Хинчина в комплексной форме, выглядят так:
() ()
SKed
() ( )
KSed
1
2
i
i
Свойства спектральной плотности :
() ()SS
1. – четность спектральной плотности на интервале .
2.
на участке .
SS
() ()
1
0,
2
()S
,
Пример 6.1. Корреляционная функция случайного процесса задана в виде
()KDe
, где . Определить спектральную плотность соответствую-
,0
,0
щего случайного процесса.
Решение. Спектральная плотность определяется по формуле:
()S
)(t
SKed
() ()
1
2
i
93
Можем записать:
Теория случайных процессов
i
.
() ()
SKedDeed
11
22
i
Исходя из условий задачи, представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:
00
DD
S ede d e de d
()
22
ii
00
ii
Вычислим входящие в выражение интегралы:
S
DD D
()
2( ) 2 ( ) 2 ( )( )
11 11
ee
iiii
Или окончательно из соотношения , находим
0
ii
() ( )
SS
0
1
2
DD
2( ) ( )
() .
S
2
22 22
2
D
22
()
.
Задачи по теме для самостоятельного решения
1. – ковариационная функция стационарного случайного процесса
K
спектральную плотность.
2
sin 4
64K
a) ;
b)
.
12 exp 4 1 4K
2
2. Найти ковариационную функцию стационарного случайного процесса , если его
спектральная плотность :
()
a)
;
S
2
1, 4
при
16
0, 4
при
()S
.t
Найти его
t
b)
.
S
10
()
11
43 43
22
94
7. Сходимость, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость случайных процессов
7. Сходимость, непрерывность, дифференцируемость
и интегрируемость случайных процессов
В разделе 5 были рассмотрены воздействия линейных операторов на случайные процессы, в
частности воздействие операторов дифференцирования и интегрирования.
При этом не уточнялось, как эти операции определяются для случайных процессов.
Рассмотрим подробнее вопросы сходимости, непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости случайных процессов.
Понятие
как и в математическом анализе.
Стохастический анализ – это раздел математики, в котором случайные функции изучают
методами математического анализа. Теория стохастического анализа объединяет теорию
пределов, дифференциального и интегрального исчисления и их непосредственные приложения.
В теории случайных процессов, также, как и в теории вероятностей рассматривают различные виды сходимости и вследствие этого различные виды непрерывности, дифференцируемости и
Наиболее удобно и просто ввести все эти понятия для процессов, которые удовлетворяют
условию , так называемых
процессов.
сходимости является базовым в стохастическом (вероятностном) анализе, также,
интегрируемости.
2
Mt
процессов второго порядка, или гильбертовых
2
Замечание 1: Физически условие означает, что процесс имеет конечную мощ-
ность, что выполнимо для всех реальных процессов.
Mt
Сходимость случайных процессов
В теории вероятностей были рассмотрены следующие виды сходимости случайных последовательностей:
95
Теория случайных процессов
F
s
X
1.
Сходимость по вероятности: если для любого , существует .
2.
Сходимость в среднем квадратическом: если .
Сходимость почти наверное: если .
3.
Сходимость по распределению (слабая сходимость): если во всех точках
4.
lim ( ) ( ) 1
P
k
k
непрерывности функции распределения .
0
lim ( ) ( ) 0
k
M
k
lim ( )
k
()Fx
lim ( ) ( ) 0
P
k
k
2
Fx
k
При изучении теории случайных процессов мы будем использовать только сходимость в
смысле среднего квадратического, потому что она является наиболее приемлемой с точки
зрения приложений.
Сформулируем определение сходимости в среднем квадратическом для случайных процессов.
Определение 1: Последовательность
, если ,
s
0
lim () () 0
ss
Обозначение: ; или .
Mtt
s
0
..
ср кв
() ()
tt
s
ss
0
2
l.i.m ( ) ( )
ss
0
сходится к
()st
tt
s
()t
в среднем квадратическом при
Пример 7.1. Найти предел в среднеквадратическом , если последователь-
()
ность распределена нормально .
t () 0,
n
Xt N
n
Решение: По определению, необходимо найти такой процесс , чтобы
2
lim ( ) ( ) 0
MXt Xt
n
n
Распишем подробно :
lim ( ) 2 ( ) ( ) ( ) lim ( ) 2 ( ) ( ) ( )
nn
222 2
MX t Xt Xt X t MX t MXt Xt MX t
nn n n
. Покажем, что предельным является процесс .
MXt Xt
() ()
n
2
() lim ()
Xt X t
n
t
n
n
()Xt
() 0Xt
Предположим, что все три предела существует, т.е.:
96
7. Сходимость, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость случайных процессов
lim ( ) 2 ( ) ( ) ( )
n
22
MX t MX t Xt MX t
nn
lim ( ) 2 lim ( ) ( ) lim ( )
nn n
22
MX t MX t Xt MX t
nn
Оценим значение каждого из пределов:
1.
, т.к. , то
lim ( )
n
2
MX t
n
(используем терему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла) =
() 0,
Xt N
n
Или здесь можно легче найти этот интеграл: т.к.
вестно, что , то есть
2
MX t
lim ( ) lim 0
nn
n
() 0,
Xt N
n
t
n
t
n
n
=
lim( exp ) 0;
n
R
lim ( ) lim exp
nn
2
xdx
22
MX t x dx
n
22
xn
2
t
2
MX t DX t MXt , а у нас из-
2
MX t
() 0
n
R
22
() () ()
nn n
2
MX t DXt
и
() ()
nn
t
22
xn
2
t
2
, поэтому
t
n
lim ( ) ( ) 0;
2.
3.
MXt Xt
n
lim ( ) 0
MX t
n
Таким образом: а, следовательно, последовательность
() 0,
Xt N
n
n
2
t
сходится в среднем квадратическом к процессу .
n
lim () () 0,
MXt Xt
n
n
2
() 0Xt
Непрерывность случайных процессов
Определение 2. Случайный процесс второго порядка , (т.е.)
называется непрерывным в точке , если существует предел:
tt
0
(,) (, ) 0
Mt t
lim
tt
0
0
(,)t
2
tT
2
(,)Mt
т.е. случайный процесс сходится в точке к случайной величине .
Определение 3. Говорят, что скалярный случайный процесс второго порядка ,
tT T tT
непрерывен на , если он непрерывен в каждой точке .
tt
0
() (, )t
(,)t (,)t
0
97
Теория случайных процессов
x
x
Пример 7.2. Пусть дан случайный процесс вида: , где – стандарт-
(,)Xtt
ная нормально распределенная случайная величина. Показать, что – непрерывен в
0,1N
()Xt
среднем квадратическом.
2
Решение: Найдем значение предела :
lim ( , ) ( , ) lim lim lim
tt tt tt tt
Т.к. известно, что , т.е. , окончательно можем записать:
MX t X t M t t M tt M tt
0000
lim ( , ) ( , ) lim lim 0
tt tt tt
MX t X t M tt tt
000
2
0000
0,1N
Т.е. действительно случайный процесс непрерывен в среднем квадратическом.
lim ( , ) ( , )
MX t X t
tt
0
0, 1MD M
2
000
22 2
2
2
()Xt
0
22
22
Пример 7.3. Показать, что пуассоновский случайный процесс непрерывен в среднем квадра-
тическом.
Решение: Покажем его непрерывность в некоторой произвольной точке . Исполь-
Ttt
0
зуем при решении свойство пуассоновского процесса:
tt
P
Найдем значение предела :
MP
() .
tt e k
(,) (,) (,) (,)
tt k ttkk e
0
00
tt
0
k
ttk e
21
lim ( , ) ( , )
tt
2
XtXtM
0
22
kk
11
()
tt
1
0()
(1)!
k
k
1
21
2
0
Для дальнейшего упрощения полученного выражения найдем сумму ряда .
k
tt
21
;,,
!
k
[( )]
tt
0
!
k
k
tt
()
0
1
k
()
tt
k
1
(1)!
k
0
k
Обозначим
()tt x
0
. Вначале проинтегрируем ряд почленно:
1110
kkkk
11
kkkk
xxxx
kdx
(1)! (1)! (1)! !
kkkk
xxe
98
.
7. Сходимость, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость случайных процессов
K
Продифференцировав полученное выражение, найдем сумма ряда :
k
1
1
k
x
kxexeeex
k
(1)!
d
xxxx
() (1)
dx
k
k
(1)!
1
.
1
k
x
k
Таким образом,
M
(,) (,) ( )
tt tte k
И согласно определению
вен в точке . В силу произвольности выбора этой точки можем заключить, что процесс
tt
0
2
00
tt tt
() ()
() ()()1 0,
tte e tt tt
000
00
2 непрерывности процесса в точке, исследуемый процесс непреры-
()
tt
tt
()
0
k
()1
tt
1
0
(1)!
непрерывен в среднем квадратическом в каждой точке
1
k
0
k
tt
0
.tT
Замечание 2. Процесс Пуассона, реализации которого кусочно-постоянны, является приме-
ром, того, что стохастическая непрерывность и непрерывность в среднем квадратическом не
означает, что реализации случайного процесса непрерывны.
Теорема 1: Для того, чтобы случайный процесс был непрерывным в среднем квадратическом
в точке , необходимо и достаточно, чтобы его ковариационная функция была не-
прерывна в точке .
Пример 7.4.
t
tt t
12
Пусть дан случайный процесс вида: , где – стандартная
(,)Xt
0,1N
(, )
tt
12
X
t
нормально распределенная случайная величина. Показать, что – не является непрерыв-
ным процессом в среднем квадратическом в точке .
0tt
0
()Xt
Решение:
1. Найдем математическое ожидание случайного процесса:
(,)MX t M M
2.
Найдем ковариационную функцию случайного процесса:
tt
, т.к. известно, что , поэтому окончательно
(,) 0MX t
1
99
0,1N
Теория случайных процессов
K
K
(, ) () ( ) (, ) () ()
K t t M Xt Xt R t t M Xt Xt
12 1 2 12 1 2
XX
т.к.
(,) 0MX t
() ( )MXt Xt M M
12
2
, т.е.
1M
tt tt
12 12
K t t M Xt Xt M
(, ) () () ;
X
12 1 2
1
2
, т.к. , то
22 2
11
tt tt
12 12
2
01DM M M
В силу теоремы 1, для того, чтобы случайный процесс был непрерывным в среднем квадратическом в точке , необходимо и достаточно, чтобы его ковариационная функция
была непрерывна в точке .
(, )
tt
12
X
Покажем, что функция в точке терпит разрыв. Хотя это и очевидно.
В курсе
в точке , одним из условий непрерывности, было, то что функция должна быть
математического анализа, формулировалось определение непрерывности функции
tt
0
t
X
(, )
Ktt
12
X
(, )
tt
12
1
tt
12
tt t
при
12
12
12
0tt t
(, ) ()
Ktt Dt
:tt t
XX
1
2
t
Ktt
определена в точке и некоторой ее окрестности. У нас функция при
0t
неопределена, поэтому окончательно заключаем, что случайный процесс вида:
(,)Xt
не является непрерывным процессом в среднем квадратичном в точке
tt
0
(, )
X
1
2
t
t
.
0tt
0
Дифференцируемость случайного процесса
tT
Определение 4. Случайный процесс называется дифференцируемым в среднеквад-
ратическом в точке , если существует такая случайная величина , для которой
tt
0
lim
tt
(,)t
'
(,)t
0
2
(,) (, )
tt
Mt
0
tt
0
'
0
(, ) 0
0
.
При этом случайная величина называется его
'
(,)t
100
производной в этой точке.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]