Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория случайных процессов. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
2. Законы распределения случайных процессов
Для задания, например, двух случайных процессов (,)
мерная функция распределения
(,, , , , ,, , , ) () , ,() ,() , ,( ) .
Fxt xtyt yt P t x t x t y t y
11 11 1 1 1 1
Замечание 6:
случае не обладает свойством симметрии относительно всех перестановок аргументов.
Пример 2.1.
,,FP
ет вероятности, равные
ра
t
семейство конечномерных распределений.
, где:
есть отрезок
nn mm n n m m
nm
Пусть случайный процесс
1, 2
0,1
-
мерная функция распределения
,
F
12
и
:
задан на вероятностном пространстве
,t
– множество всех подмножеств множества
, множествам
,tt
. Найти реализации случайного процесса
1
и
. Пусть множество значений парамет-
2
t
и (,)t определяется
двух случайных процессов в общем
, P
приписыва-
,t
Решение.
nm
и его
-
1. Нам дан случайный процесс
странстве
зультате получим реализации случайного процесса
ются неслучайными функциями параметра
всего из двух прямых, выходящих из нуля.
,,FP
, где
1, 2 ,
,tt
12
, который определен на вероятностном про-
. Зафиксируем значения
t
. Таким образом ансамбль реализаций состоит
(,)tt
1
и
1
(,)2tt
2
1
и
, которые явля-
2
2
. В ре-
21
Теория случайных процессов
x
x
x
x
F
x
p
Найдем семейство конечномерных распределений. Согласно определению, сформулиро-
2.
ванному выше, n-
мерная функция распределения случайного процесса записывается так:
( , ,... ; , ,...., ) ( ) ,...., ( )
Fxx xtt t P t x t x
12 12
nn
11
Подставим в выражение для функции распределения вместо
выражение процесса
Fxx xtt t P x x P P
12 12
i
– это событие, которое заключается в том, что меньше
t
i
nn
,Xt t
событие эквивалентно событию
Fxx xtt t P
, получим следующее:
tt in
11
min
12 12
1,
in
nn
nn
i
, поэтому окончательно:
t
i
1
tt t
1
t
1,
in
.
nn
,1,()
ii
i
.( , , ... ; , ,...., ) min
i
intx
xxx
ni
ni
i
, для всех 1,in
t
i
заданное нам
1, .( , ,... ; , ,...., ) ,...., ,...., ,
, это
В каждом из сечений
0,1
t мы имеем дискретную случайную величину, имеющую два
i
1
значения
и
t
1
i
, которые принимаются с равными вероятностями
t
2
i
.
2
В теории вероятностей мы записывали функцию распределения одномерной дискретной
случайной величины так:
ния случайной величины, а
– соответствующие им вероятности.
k
, где
k
:
kx x
k
– это возможные значе-
k
() :
xP x p
В аналогии можем записать:
x
Fxx xtt t P p
( , ,... ; , ,...., ) min
12 12
nn k
1,
in
i
t
i
:min
k
k
in
1,
, т.к. значения
x
i
t
i
,1,2
k
k
, у нас раз-
1
ные, но соответствующие им вероятности обе равны
, то окончательно:
2
x
Fxx xtt t P p
( , ,... ; , ,...., ) min
12 12
nn k
1,
in
i
t
i
xx
:min :min
kk
ii
kk
tt
ii
1, 1,
in in
22
1
.
2
2. Законы распределения случайных процессов
x
x
Запишем одномерную функцию распределения в привычном развернутом виде. При ее по-
строении рассуждаем так:
(,) ()
Fxt P t x P t x P
. Так как прини-
11
11 11
1
t
1
мает всего два значения 1 и 2, то «барьерное значение»
относительно которого мы бу-
t
11
дем оценивать вероятность попадания в тот или иной интервал, задаем так:
11 11 11
,,,1 1, 2 2,tttxxx
Fxt
(,) ,1 2
или окончательно:
11
x
1
k
:
k
t
1
1
2
,01
1
2
1, 2
x
1
t
1
x
1
t
1
x
1
t
1
;
Двумерная функция распределения будет выглядеть так:
Fxtxt
(,, ,)
11 2 2
k
:min
k
i
2
x
i
t
i
1,2
1
0, min , 1
1, min , 2
xx
12
1
,1 min , 2.
2
xx
tt
tt
12
xx
12
tt
12
12
12
И для
-мерной функции распределения случайного процесса можем окончательно записать:
n
Fxx xtt t
( , ,... ; , ,...., )
12 12
nn
Пример 2.2. Пусть случайный процесс
1
1
3
и
,0t
, где
при t
. Найти реализации случайного процесса
,,FP
P
,
0,1
номерных распределений.
:min
k
k
in
,t
P
2
2
x
i
t
i
1,
определен на вероятностном пространстве
2
. Пусть
3
23
1
1, min , ,... 2
0, min , ,... 1
1
, 1 min , ,... 2 .
2
12
tt t
12
12
tt t
12
xxx
n
n
12
tt t
12
0,1t
xxx
n
n
xxx
n
n
и
и его семейство конеч-
,t
,1t
при
,
t
Теория случайных процессов
Решение:
1. Аналогично как и в предыдущей задаче имеем две реализации, в случае если
0
, то
1
любое значение параметра
0, 0t
меньше
, в случае же если
и в этом случае получаем реализацию
будет больше
0,1t
1
, то опять же любое значение параметра
2
и в этом случае получаем реализацию
1
1, 1t
. Таким образом ансамбль реали-
заций представляет собой две параллельные (оси Ot ) прямые.
0,1t
будет
2. Найдем семейство конечномерных распределений. Для произвольного
00 0, ,....,
tt t
12
для n-мерной функции распределения случайного процесса можем
n
и при
n
записать:
( , ,... ; , ,...., ) ( ) ,...., ( ) ,...., , 1,
Fxx xtt t P t x t x P x x P xi n
12 12
Px
nn
min ,
1,
in
i
11 1
nn n i
.
И, используя рассмотренную форму записи для функции распределения в предыдущем примере, окончательно:
( , ,... ; , ,...., ) min , 1,
Fxx xtt t P xi n p
12 12
nn k
i
k
:min
ki
in
1,
x
В каждом из сечений мы имеем дискретную случайную величину, имеющую два значения
0
и
1
1
, которые имеют соответствующие вероятности
2
1
p
и
1
3
p
2
2
.
3
Запишем одномерный закон распределения случайного процесса
24
:
,t
2. Законы распределения случайных процессов
0, 0
1
(,) ,0 1
Fxt p x
:
kx
k
k
3
1, 1
x
Двумерная функция распределения будет выглядеть так:
0, min , 0
(,, ,) ,0min , 1
Fxtxt p xx
11 2 2
:min
k
x
k
i
1,2
i
1
k
3
1, m in , 1
x
.
xx
12
xx
12
12
.
И для
сать:
-мерной функции распределения случайного процесса можем окончательно запи-
n
( , ,... ; , ,...., ) , 0 min , ,... 1
Fxx xtt t p xx x
12 12
nn k
Пример 2.3. Пусть случайный процесс
,,FP
, где
,
0,1t
и его семейство конечномерных распределений.
,t
,1t
, F - – алгебра борелевских подмножеств, P
0,1
при t
и
,0t
Решение:
0, min , ,... 0
1
:min
k
ki
in
1,
,t
при t
3
x
1, min , ,... 1
определен на вероятностном пространстве
. Найти реализации случайного процесса
xx x
12
xx x
12
n
.
12
n
n
– мера Лебега. Пусть
1. В силу того, что множества возможных значений
и t лежат в интервале
0,1
, то воз-
можные реализации процесса могут иметь следующий вид: реализации представляют собой
ступеньки разной длины, но одинаковой высоты равной 1, подошва (под ней понимается
собственно 2 нижняя ступенька) находится на оси Ot и тоже имеет разную длину. Напри-
мер, при
1
, длина верхней ступеньки равна
3
1
, длина верхней ступеньки равна
2
1
, длина подошвы равна
3
1
, но и длина подошвы равна
2
2
.
3
1
. При
2
25
Теория случайных процессов
x
P
Можно легко представить ансамбль реализаций случайного процесса. При любом фиксированном
2. Найдем семейство конечномерных распределений. Для произвольного
tt t
12
t в сечении мы получаем дискретную случайную величину, значения которой 0 и 1.
00 0, ,....,
для n-мерной функции распределения случайного процесса можем за-
n
и при
n
писать:
( , ,... ; , ,...., ) ( ) ,...., ( )
Fxx xtt t P t x t x
Найдем выражение для
12 12
nn
одномерной функции распределения.
11
nn
Замечание 7: В силу того, что пространство элементарных исходов
,
, и P
0,1
– мера
Лебега, то вероятность попадания любой точки в какой либо интервал находим, используя
геометрическое определение вероятности, то есть:
0,
Pt t
0, .
11
mes
mes t
11
0
t
1
Нам нужно выражение для одномерной функция распределения. При ее построении рассуж-
()it
(, ) (() )Fxt P t x
даем так:
чайного процесса, пересечет сечение
таком
()tx является достоверным, т.е. 1(() ) 1Pt x
событие 1()tx является невозможным и 1(() ) 0Pt x
1
, а это вероятность того, что любая из реализаций
11
ниже уровня x. Положим 0x, очевидно, что при
t
. И, наконец, оценим
. При 1,x событие
(() )
tx при
1
слу-
26
2. Законы распределения случайных процессов
x
x
x
x
01x
, представим прямую параллельную оси Ot и зададим себе вопрос: с какой вероят-
ностью любая из реализаций случайного процесса пересечет сечение
. Пересечь сечение 1t , строго ниже уровня 01
лизаций:
,0t
ности попадания случайной точки
чанию, эта вероятность равна
. То есть ответ такой:
в интервал
0,Ptt
, таким образом собираем все вместе и окон-
11
, может только эта часть ансамбля реа-
(() ) (( ) 0) ( )Pt xPt P t
вероят-
11
0,t и согласно сделанному выше заме-
1
чательно записываем:
0, 0
(, ) (() ) , 0 1
Запишем
FxtPtx x
11
двумерную функцию распределения.
При построении функции рассуждаем так. Пусть
того, что и
()tx
11
, и
()tx
22
, поскольку каждое из этих событий является невозможным,
1, 1
12
t
1
0, 0xx
x
x
, нам нужно найти вероятность
t ниже такого уровня
1
то и произведение тоже невозможное событие. Поэтому значение функции распределения
будет равно 0. Пусть наши
двух событий: наступили и
112 2
,() ( )txt xP
0, 1xx
12
()tx
11
равна
, потому что равна вероятности попадания в меньший интер-
t
1
вал (из двух), а его мера Лебега равна
Обобщая можем записать, что при
равна
Если
12
()tx
11
меньше такого
,min tt
12
.
, тогда нам нужно найти вероятность того, что и случайная величина
1, 0 1xx
и случайная величина
, равна 1, т.к. это достоверное событие, тогда нам остается найти вероят-
1
ность произведения достоверного события и события
равно событию
()tx
22
. Чему равна вероятность этого события? Рассуждаем так: при
, нам нужно опять оценить вероятность произведения
, и
()tx
. При
t
1
0, 1,xx
12
. При
()tx
22
22
. Если
tt
21
вероятность
1x
1
, то вероятность произведения
tt
12
, вероятность произведения равна
(() ,( ) )Pt x t x
112 2
, вероятность того, что
()tx
22
. Это произведение очевидно
()tx
11
t
2
будет
будет
.
01x
, вероятность того, что наша случайная величина
2
равна вероятности попадания в интервал
0, t
, мера Лебега которого равна
2
окажется ниже уровня
()t
2
. Аналогично
t
2
,
2
27
Теория случайных процессов
рассуждая, для случая
,min 1xx наша функция распределения принимает значение равное 1. Так как событие
12
() ,()txt x в этом случае является достоверным.
112 2
FxtxtPtxtx
(, ,) (() ,() )
11 2 2 1 1 2 2
1, 0 1xx
21
,,01,1.
, получаем значение функции распределения
0, min 0
,0 1, 1
txx
112
txx
221
min , 0 1
1, min 1
,
xx
12
,,
tt xx
12 1 2
,
xx
12
. При
t
1
На самом деле идея построения уже ясна, но можем продолжить и построим трехмерную
функцию распределения.
FxtxtxtPtxtxtx
,, , , 01,,1
(, , ,) (() ,() () )
11 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
0, min 0
min , 0 1
txxx
txxx
txxx
min , 0 1,
min , 0 1,
min , 0
1, min 1
,, , ,
ttt xx x
123 1 2 3
,01,,1
1123
,01,,1
2213
3312
,,1
tt xx x
12 1 2 3
,,1
tt x x x
13 2 3 2
,
tt x
23
,,
xxx
123
.
,1
1,
xx
23 1
,,
xxx
123
Выражение для конечномерной функции распределения слишком громоздкое, но оно может
быть получено аналогичными рассуждениями.
Пример 2.4. Дан случайный процесс
tXtYt
, где
система случайных вели-
,XY
чин, заданная законом распределения:
X
1 2 3
Y
–1
1
Найти реализации случайного процесса
14 18 18
18
и вероятность того, что они при 0t возрас-
t
14 18
тают.
28
2. Законы распределения случайных процессов
p
Решение:
1. Перепишем случайный процесс в виде
tXtYtttYX
2
. Очевидно, что
каждая из реализаций процесса, проходит через случайную точку с координатами
каждая из реализаций пересекает ось
.
0, 3
, либо в точке
t
, либо в точке
0,1
0, 2
Преобразуем вид случайного процесса. Выделим полный квадрат в выражении:
22
tttYXt t X t X
Тогда можем записать:
YYY Y Y
2.
222 2 4
tX t
2
YY
42
22 2
2
.
2
Или иначе:
2
YY
ttX
22 4
2
xx pyy
00
1
2
2
2
. Т.е.
0, X
, либо в
Внизу к полученному выражению приписано уравнение параболы, записанное в канониче-
ском виде, с координатами вершины
выражения видно, что у нас координаты вершины параболы
параметр
1
p
0
2
. Так как
1
p
0
2
, то заключаем, что ветви параболы направлены вверх.
и параметром параболыp. Из полученного
,Ox y
00
,,
Ox y O X
00
YY
24
2
Таким образом делаем первый вывод, что ансамбль реализаций представляет собой семей-
ство парабол, ось симметрии каждой из которых параллельна оси
2
. Уравнение семейства директрис:
ны случайна:
YY
OX
,
24
Ot
, координата верши-
ty X
pY
0
244
2
1
каждая из директрис представляет собой прямую параллельную оси Ot . Координата фоку-
2
. Форма параболы, определяется
сов:
Fxy Fxy F X
00 00
pYY
,, ,
24244
11
и
,
только параметром
, в нашем случае она будет у всех реализаций одинакова.
29
Теория случайных процессов
Координаты вершин семейства парабол:
13 13 1 3 1 3 1 3 1 3
OO O O O O
12 3 4 5 6
2. Введем обозначение. Пусть событие
реализаций случайного процесса дифференцируема по аргументу
возрастания функции на интервале, (для того, чтобы дифференцируемая функция
интервале
'
неотрицательной, т.е. 0Y , потому что если значение случайной величины 0Y , то мож-
,; ,; ,1; ,1; ,2; ,2.
24 24 2 4 2 4 2 4 2 4
Gt
была возрастающей, необходимо и достаточно, чтобы для каждого
,ab
'
,,tab
. А для этого необходимо и достаточно, чтобы случайная величина Y была
20ttY
). То есть для нашей случайной функции можем записать:
0ft
возрастают при
. Так как каждая из
0t
t , то используя критерий
'
на
ft
или
0t
но подобрать такое значение параметра
условие
выполняется не для всех
'
0t
должно выполняться для всех t из указанного интервала, но при 0Y
.
0,t
t при котором
30
'
. Другими словами,
20ttY
оно
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]