Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория случайных процессов. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
3. Основные характеристики случайных процессов
K
K
K
Свойства функции ковариации
1. При перестановке аргументов ковариационная функция не изменяется (свойство симмет-
рии):
(, ) (, ).Ktt Ktt
2.
Прибавление к случайному процессу ()t
ковариационной функции. Т.е. если
1
3.
При умножении случайной функции ()t
онная функция умножается на произведение
(, ) (, ) () ( ).
tt K tt t t
12 12 1 2
1
4.
Абсолютное значение ковариационной функции не превышает среднего геометрического
12 21
неслучайного слагаемого ()t не изменяет его
() () ()ttt
1
(, ) (, ).
tt K tt
12 12
на неслучайный множитель
, то
() ( )tt
12
. Т.е. если
()t ее ковариаци-
() () ()ttt
1
, то
дисперсий соответствующих сечений:
(, ) () ( )
tt DtDt
12 1 2
5.
Функция ковариации случайного процесса является положительно определённой:
.
()() , 0
at at K t t dtdt
12 1212
BB
где
()at – произвольная функция аргумента
T , на котором определен случайный процесс ().t
, B – произвольное подмножество множества
t
График ковариационной функции может выглядеть так:
Кроме того, этот рисунок иллюстрирует свойство
1 (симметрии) ковариационной функции:
(, ) ( , )Ktt Ktt
12 21
51
Теория случайных процессов
На рисунке ковариационная функция изображена в виде поверхности и эта поверхность
симметрична относительно вертикальной плоскости, проходящей через биссектрису угла
.tOt
12
Нормированная функция ковариации
Определение 7. Величину
(, ) (, )
Ktt Ktt
12 12
(, )
rtt
называют
12
коэффициентом корреляции случайного процесса или нормированной функци-
() ()
tt
12
(, ) (, )
K ttK tt
11 2 2
ей ковариации.
В общем случае
ний
и
()t
1
случайных величин
коэффициент корреляции является мерой линейной зависимости двух сече-
случайного процесса, то есть он показывает, с какой точностью одна из
()t
2
может быть линейно выражена через другую
(),t
1
.
()t
2
Замечание 3: Абсолютное значение нормированной функции ковариации для любых
не превосходит единицы:
12
(,) 1rt t . Значение нормированной функции ковариации для
12
(,) 1rtt
,tt
12
Взаимная функция ковариации
Определение 8. Взаимной функцией ковариации двух случайных процессов ()t
называется неслучайная функция
(, ) () ().Ktt M t t
12 1 2
и ()t
Некоррелированными называют два случайных процесса, взаимная ковариационная функ-
ция которых тождественно равна нулю:
(, ) 0Ktt
12
Коррелированными в противоположном случае.
52
3. Основные характеристики случайных процессов
X
K
K
K
K
Свойства взаимной функции ковариации
Пусть даны случайные процессы (), ()
(,) () () () ()
tt MXt Yt mt mt
1.
12 1 1 1 2
XXY
tYt и (), ()tt
– неслучайные функции.
2.
3.
4.
5.
(,) (,)
Ktt Ktt
,12 , 12
XY YX
(,) (,)
XY XY
XY XY
,12
XY X Y
tt K tt
,12 ,12
(,) () () (,)
tt t t K tt
,12 12,12
(,)
ttKtt
12
Нормированная взаимная функция ковариации
Определение 9. Нормированной взаимной функцией ковариации случайных процессов
называется неслучайная функция:
(, )
rtt
12
,
XY
XY
() ( )
tt
12
XY
(, )
Ktt
12
,
Замечание 4: Абсолютное значение нормированной взаимной функции ковариации для лю-
бых
,tt не превосходит единицы:
12
(,) 1
rtt
,12
XY
.
Пример 3.6. Найти функцию ковариации случайного процесса () sin()tU t
чайная величина, числовые характеристики которой:
0; 1MU DU .
, где U – слу-
Решение: По определению ковариационной функции:
Найдем значение
Тогда:
() sin() sin() 0; ( ) sin( ) sin( ) 0.mt MU t MUM t mt MU t MUM t
11 12 2 2
(,) ()()()() ()() (,)
tt M t mt t m t M t t Rtt
12 1 1 2 2 1 2 12
(,) ()() ()()()()Ktt M t t M t mt t mt
12 1 2 1 1 2 2
()mt
1
()mt
и
:
2
,
.
Ранее было найдено:
53
Теория случайных процессов
K
D
D
( , ) ( ) ( ) sin sin sin sin sin sin
Rtt M t t MU tU t MU t t t t MU
12 12 1 2 12 12
Использовали
DU MU M U MU
22 2
, т.к. 0.MU
22
sin sin
tt
12
Таким образом, ковариационная и корреляционная функции тождественны для любых мо-
ментов времени
Пример 3.7. Пусть случайный процесс () () ,ttVtT
величина, с математическим ожиданием
функция. Найти дисперсию
t и 2t :
1
(, ) (, ) sin sin
tt Rtt t t
12 12 1 2
, где V
MV m
и функцию ковариации случайного процесса
()Dt
и дисперсией
V
некоторая случайная
V , а ()t неслучайная
.
(, )Ktt
12
Решение. Согласно определению математического ожидания случайного процесса:
() () () () ()
mt M t M t V t MV m t
V
.
Найдем функцию корреляции:
(, ) () ( ) () ( ) () ( ) () ( )
Rtt M t t MV t V t t t MV t t D m
12 12 1 2 12 12
(,) ()()()() (,)()()Ktt M t mt t mt Rtt mtmt
12 1 1 2 2 12 1 2
() ( ) () ( ) () ( )
ttDmm ttDtt
12 12 12
VV V V
22
22
.
VV
Откуда можем найти дисперсию случайного процесса, т.к.
(,) ()Ktt Dt
тогда у нас:
() (,) ()
tKttD t
Пример 3.8. Пусть задан случайный процесс () ,tUttT
4
величина, с математическим ожиданием
m
U
2
V
.
, где U– некоторая случайная
10
и дисперсией
D
U
. Найти дисперсию
и функцию ковариации случайного процесса
()Dt
Решение. Найдем математическое ожидание:
12
.
(, )Ktt
() () ( ) 4mt M t MUt tMU t
54
.
3. Основные характеристики случайных процессов
K
D
R
Найдем центрированную функцию:
Откуда
() 4 , () 4tU t t U t
112 2
Находим функцию ковариации:
() () () 4 ( 4)ttmtUttU t
;
;
(, ) ()( ) 4 4 4 10
Ktt M t t M U tU t ttM U t tD tt
12 1 2 1 2 12 12 12
Теперь можем найти дисперсию, для чего положим
tt t
12
:
2
U
(,) () 10
tt D t t
2
;
Пример 3.9. Найти нормированную функцию ковариации случайного процесса ()t по его из-
вестной функции ковариации случайного процесса
(, ) 5cos( )Ktt t t
12 2 1
.
Решение. Искомая нормированная ковариационная функция будет иметь вид:
(, ) (, )
Ktt Ktt
12 12
(, )
rtt
12
5cos ( ) 5cos ( )
Пример 3.10. Пусть случайный процесс
() ( )
tt
12
5cos ( )
tt
21
tt t t
11 2 2
() (),
t Y ttT
(,) ( , )
Ktt Ktt
n
ii
1
i
11 2 2
cos ( )
tt
21
, где
Y
– некоррелированные
i
случайные величины с математическими ожиданиями
данные на
T
детерминированные функции. Найти ()mt, ( )Dt и
m
и дисперсиями
i
(, )
tt.
12
, а
i
()
t
за-
i
Решение. Согласно определениям математического ожидания и ковариационной и корреля-
ционной функций имеем:
nn n
() () () () ()
mt M t M Y t MY t m t
(, ) () ( ) () () () ( )
Rtt M t t M Y t Y t M YY t t
12 1 2 1 2 1 2
nn nn n
MYYtt MYMYtt MYtt
11 11 1
ii i i i
ijii i iii iii
() () () () () ()
12 12 12
ii i i ii
ii i
11 1
nn nn
ii ii iii i
ii ii
11 11
ij
,
2
55
Теория случайных процессов
p
x
p
nn n
(, ) (, ) () ( ) () ( ) () ( )
Ktt Rtt mt mt mm t t D m t t
12 12 1 2 1 2 1 2
mmtt Dm tt
ii i
ijii iiii
11 1
nn nn
mtmt Dt t
ii ii ii j
ii ij
11 11
() ( ) () ( )
12 12
nn n
ij i
11 1
() () () ()
12 22
() (,) ( )
Dt K tt D t
ijii iiii
n
1
i
2
ii
2
,
2
,
.
2
Задачи по теме для самостоятельного решения
1. Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию случайного
процесса
() sin3tU t ; где U случайная величина,
10, 0,2
mD
UU
.
2. Дан случайный процесс () , , 0,t t const t
дискретная случайная вели-
чина, заданная рядом распределения:
i
i
–1 0 1
0,25 0,5 0,25
Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию случайного
процесса
() .tt.
3. Случайный процесс выражается через элементарную случайную функцию, которая
имеет вид
() cosYt X t , где X – дискретная случайная величина, закон распределе-
ния которой дан таблицей:
i
i
Найти значение корреляционной функции
1 2 3 4
0,5 0,1 0,2 0,2
(, )
ttK
12
Y
, при
,
0t
1
t
2
.
4. Найти нормированную взаимную ковариационную функцию случайных процессов
()tUt и
1() ttU ; где U - случайная величина,
D
.
10
U
56
3. Основные характеристики случайных процессов
K
5. Известны математические ожидания
4
tt
ции
,,,() ()
Ktt ttKtt e
12 1 2 12
некоррелированных случайных процессов
21
() 2 1, () 1tt ttmm
2
и ковариационные функ-
(), ()tt. Найти математическое ожидание, ковариационную функцию случайного
процесса
6. Найти математическое ожидание
сию
случайные величины,
ttt .
случайного процесса
()Dt
mmDD
, ковариационную функцию
()mt
1, 8, 4
UV UV
, диспер-
,()Ktt
12
cos() sin VttU t
, где ,UV- некоррелированные
.
7. Заданы случайные функции ( ) cos sin , ( ) cos 3 sin 3tU tV ttU tV t , где ,UV- не-
коррелированные случайные величины,
0, 0, 5
mmDD
UVUV
. Найти нормирован-
ную взаимную ковариационную функцию.
8. Найти математическое ожидание
, ковариационную функцию
()mt
,()Ktt
12
, диспер-
32
t
сию
ные случайные величины,
9. Найти ковариационную функцию
случайного процесса
()Dt
() 3
tUsht e Vt
, где ,UV некоррелирован-
3; 3 , 1, 2UR VP
,()Ktt
12
релированные случайные процессы,
ционные функции
,);,()1cos( ()expttKtt t t Ktt
12 2 1 12
10. Даны центрированные случайные процессы (), ().tt
,;,;,.( ) 4sin sin ( ) 81sin sin ( ) 18sin sin
tt t t K tt t t K tt t t
12 1 2 12 1 2 12 1 2
тическое ожидание
, ковариационную функцию
()mt
мированную ковариационную функцию
2
tt
() ().() sin4
tttte e
.
и дисперсию
2
() ()() sin2 cos2tttt t t , и даны ковариа-
()Dt
Для которых известно:
,()Ktt
12
,
()rtt
12
, если (), ()ttнекор-
.
21
Найти матема-
, дисперсию
()Dt
, нор-
случайного процесса
57
Теория случайных процессов
4. Стационарные случайные процессы. Эргодические процессы
Важным классом случайных процессов являются стационарные случайные процессы. Стационарные случайные процессы – это такие процессы, которые на различных достаточно
больших участках времени протекают приблизительно одинаково.
Графики реализаций таких процессов – колеблющиеся линии примерно одинакового характера. Причем средняя амплитуда, средняя частота колебаний, средний уровень, около
которого происходят колебания, вычисленные на достаточно большом
промежутке време-
ни, существенно не меняются при сдвиге промежутка по оси времени.
Можно сказать, что все
ем начала отсчета времени. В частности,
процесса
должны быть постоянными, иначе процесс вел бы себя различно при переходе
характеристики описанных процессов не меняются с изменени-
математическое ожидание и дисперсия такого
от сечения к сечению.
К таким процессам относятся: колебания самолета при «автопилоте», колебания напря-
жения в электрической цепи, давление газа в газопроводе, процесс качки корабля на стационарной волне и т.д.
Стационарные процессы проще для изучения, поскольку описываются более простыми математическими зависимостями. Понятие стационарности случайного процесса отражает
идею неизменности (стационарности) условий, в которых он протекает.
Свойство стационарности означает независимость некоторых характеристик сечений про
цесса от времени. Для реальных процессов это условие дает жесткие ограничения, поэтому
на практике, чтобы применять свойства стационарных процессов к исследуемому явлению,
рассматривают процесс на достаточно коротком интервале времени, в течение которого вероятностные характеристики изменяются мало.
58
-
4. Стационарные случайные процессы
Определение 1: Случайный процесс ()t
называется стационарным в узком смысле или
строго стационарным, если его конечномерная функция распределения (или плотность
распределения вероятностей) инвариантны относительно сдвига всех моментов времени
ti n
i
1, 2,...,
на одну и ту же величину .
( , ,....., , ) ( , ,..., , )
Fxt xt Fxt xt
11 1 1
(,, , ,) (, , , , ), , 1,2,
pxt xt pxt xt n
11 11
nn nn
nn nn
,
.
Другими словами, статистические (вероятностные) свойства стационарного случайного
процесса не зависят от начала наблюдения.
При 1n , из условия стационарности следует:
(,) (, )pxt pxt
.
Полагая
t
, получим:
)(),( xptxp
,
то есть одномерное распределение стационарного случайного процесса не зависит от времени.
Замечание 1: Одномерное распределение определяет среднее значение и дисперсию случай-
ного процесса, следовательно, для строго стационарного случайного процесса среднее и дисперсия не зависят от времени:
,
const)(
mtm
2
tD
.
const)(
При 2n , из условия стационарности, получим равенство:
(,, ,) (, , , )px t x t px t x t
11 2 2 11 2 2
,
полагая в котором
то есть
двумерное распределение зависит лишь от разности моментов времени, следова-
t , запишем:
(,,,) (,, )px t x t px x t t
1122 122 1
,
тельно, функция корреляции стационарного случайного процесса зависит только от одного
аргумента:
59
Теория случайных процессов
D
p
(, ) ( , , , ) ( , , ) ( )R t t x x p x t x t dx dx x x p x x t t dx dx R t t
1 2 12 1 1 2 2 1 2 12 1 2 2 1 1 2 2 1
.
Определение 2. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его
среднее значение и дисперсия не зависят от времени, а функция корреляции (и ковариации)
зависят лишь от разности моментов времени.
Т.е. выполняются свойства:
1)
2)
3)
4)
5)
tconst
,Rtt Rt t R
12 2 1
12 2 1
() , 0Dt K tt K t t K
;
,Ktt Kt t K
0m t M t M const
, т.е.
, т.е.
.
;
12
,Rtt
,Ktt
12
зависит от разности аргументов
tt
зависит от
.
21
tt
21
Замечание 2. Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.
Обратное утверждение, вообще говоря, не верно, но для гауссовских процессов (которые будут рассмотрены ниже) верно и обратное утверждение.
Пример 4.1. Пусть дан случайный процесс
12
, где
const
,
12
() sin costtt
независимые случайные величины, с законом распределения:
i
i
1
12
1
12
Показать, что процесс стационарен в широком смысле, но не стационарен в узком.
Решение:
1. Найдем математическое ожидание и дисперсию
DM M
i
22
11
22
1.
,1,2
i
i
:
M
0,
i
2. Найдем математическое ожидание и ковариационную функцию процесса ()t :
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]