Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория случайных процессов. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
4. Стационарные случайные процессы
( ) sin cos sin cos 0Mt M t t tM tM
( , ) ( , ) ( ( ), ( )) sin cos sin cos
Ktt Rtt M t t M t t t t
cos cos
12 12 1 2
tt
12
12 1 2
112 11 22 2
Т.е. процесс является стационарным в широком смысле.
3.
Для стационарных в узком смысле процессов конечномерные законы распределения не
меняются при сдвиге на одну и ту же величину
(0) sin 0 cos0
12 2
Рассмотрим теперь распределение, сдвинув на величину
. Рассмотрим распределение при 0t:
:
4
( ) sin cos sin cos
44444
Случайная величина
112 212 312
12 12 12
принимает значения:
12
;;11 2 11 0; 11 2
2
2
с вероятностями:
PP PP
PP P
21,1;21,1;
112 112
01,11,1 ;
11212
11 1 11 1
22 4 22 4
111
442
Очевидно, что при сдвиге закон распределения изменился, поэтому процесс не является стационарным в узком смысле.
Свойства ковариационной функции стационарного случайного процесса
1. Ковариационная функция стационарного случайного процесса есть четная функция:
KK
2.
Абсолютное значение ковариационной функции стационарного случайного процесса не
превышает ее значения в начале координат:
;
0KK
;
Определение 3. Нормированной ковариационной функцией стационарного случайного про-
цесса называют неслучайную функцию аргумента, определяемую по формуле:
()
K
r
()
(0)
K
61
Теория случайных процессов
Свойства нормированной ковариационной функции
стационарного случайного процесса
1. Абсолютное значение нормированной ковариационная функции стационарного случайно-
го процесса не превышает единицы:
() (0)
KK
r
()
(0) (0)
KK
1
При 0
2.
нормированная ковариационная функция равна единице:
(0)
K
r
()
(0)
K
.
1
Стационарно связанные случайные процессы
Определение 4. Стационарно связанными
если их взаимная ковариационная функция зависит только от разности аргументов
(,)()()Ktt Kt t K
12 2 1
называют два случайных процесса (), ()tt,
tt
21
.
Замечание 3: Взаимная ковариационная функция стационарно связанных случайных про-
цессов обладает следующим свойством:
() ( )KK
.
.
Пример 4.2: Пусть задан случайный процесс () cos( )tt
0,2R
. Доказать, что ()t
– стационарный случайный процесс в широком смысле.
, где
Решение:
Найдем математическое ожидание процесса:
1.
cos( ) cos cos sin sin cos cos sin sin
tM tM
cosM
и
sinM
Найдем
mM t M t t M t M t
cos cos sin sin ;
пределенной случайной величины:
, т.к.
0,2R
() ,
px
, то функция плотности для равномерно рас-
1
где
2
0,2x
, тогда
62
– случайная величина,
4. Стационарные случайные процессы
2
1
cos cos 0
Md
2
0
Md
и
sin sin 0
2
1
2
0
откуда следует, что
2. Найдем ковариационную функцию:
() () (),tmt t
111
Тогда можем записать,
() 0mt
( , ) cov (t ), ( ) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))Ktt t M t mt t mt
12 1 2 1 1 2 2
() () ()tmt t
Используя известные тригонометрические формулы, получаем:
cos( ) cos( ) .
Mt t M
.
222
112 2
12
т.к.
() 0mt
cos( ) cos( 2 )
tt tt
21 21
12
2
.(() ())(( ) ( )) cos( )cos( )Mtmt tmt M t t
В силу того, что
cos( 2 )
tt
M
21
2
Окончательно имеем:
Ktt M
(, ) .
12
Таким образом, получили, что математическое ожидание случайного процесса постоянно
() 0tm
ности аргументов
случайный процесс в широком смысле.
Пример 4.3: Задана ковариационная функция
цесса
при всех значениях аргумента t, а ковариационная функция зависит только от раз-
. Окончательно делаем вывод, действительно ()t – стационарный
tt
21
()t . Найти нормированную ковариационную функцию.
cos( )
() cos
K
0.
tt
21
2
1
2
стационарного случайного про-
Решение: Используя определение нормированной ковариационной функции стационарного
случайного процесса, найдем:
63
Теория случайных процессов
1
cos
()
K
K
(0)
() cos.
r
2
1
2
cos0
Пример 4.4: Заданы два стационарных случайных процесса () cos( )tt и
() sin( ),tt где
– случайная величина,
. Доказать, что ()t
0,2R
и
()t – ста-
ционарно связаны.
Решение:
1.
В примере 4.1. было показано, что математическое ожидание случайного процесса ():t
() 0mt
2. Можем записать выражение для центрированных случайных процессов ()t
, аналогично можно показать и для случайного процесса ()t :
() cos , () sintttt
.
и
() 0mt
:()t
3. Взаимная ковариационная функция имеет вид:
(, ) ()( ) cos sin
Ktt M t t M t t M
12
12 1 2
sin sin 2
tt tt
21 21
2
Найдем значение:
.
sin 2
tt
MM
21
22
sin( )cos 2 cos( ) sin 2
tt tt
21 21
sin( ) cos( )
tt tt
21 21
22
22
Mdd
cos2 cos 2 2 cos 2 2 0
Mdd
sin 2 sin 2 2 sin 2 2 0
Окончательно получаем, что:
M
1
4
00
22
1
4
00
sin 2
tt
21
2
Поэтому из выражения ковариационной функции:
(, ) () ( )
Ktt M t t M
12
12
sin sin 2 sin 2
tt tt tt
21 21 21
2
cos 2 sin 2 ;
MM
1
;
4
1
.
4
;
0
sin
MM
tt
21
22
64
4. Стационарные случайные процессы
можем окончательно записать:
sin
tt
(, )
Ktt M
12
sin
tt
21
2
21
2
,
т.е. взаимная ковариационная функция зависит только от разности аргументов, следовательно,
()t
()t стационарно связанные случайные процессы.
и
Эргодические случайные процессы
На практике довольно редко удается получить большое количество реализаций. Часто бывает, что для исследования предлагается всего одна реализация, а повторение опыта по тем или
иным причинам невозможно.
Поэтому возникает вопрос: Нельзя ли найти характеристики случайного процесса путем
усреднения соответствующих величин по времени?
Ответ: В общем случае отрицательный.
Но: Можно выделить классы случайных процессов, для которых поставленный вопрос реша-
ется полностью или частично.
Например: Для некоторых стационарных процессов каждая реализация достаточно хорошо
представляет весь процесс в целом. Поэтому значения рассматриваемого сечения такого
процесса можно заменить значениями какой-либо одной реализации.
Определение 5. Стационарные процессы, для которых временные средние случайных вели-
чин, определяемых процессом, совпадают со средними этих же величин по множеству всех
реализаций, называются
эргодическими случайными процессами.
Эргодическая теория выясняет, при каких условиях возможна замена одних средних други-
ми и в каком смысле средние по времени на промежутке
,TT приближаются к оценивае-
мым величинам, т.е. в каких случаях можно предположить, что одна-единственная реализация достаточной продолжительности может служить опытным материалом для получения
характеристик всего случайного процесса.
Название «эргодический» происходит от греческих слов
– работа и
– путь. Оно
появилось впервые в статистической физике в теориях, где приходится сравнивать средние ве-
65
Теория случайных процессов
личины физической системы (температура, давление), найденные по всем фазовым состояниям
системы, со средними в пределах одного эксперимента, т.е. по одной реализации. Эргодическая
гипотеза о замене фазовых средних временными была
выдвинута в начале 70-х гг. XIX в. ав-
стрийским физиком Л. Больцманом. Первые исследования в эргодической теории принадлежат
американскому математику Г. Биркхофу и российскому математику А.Я. Хинчину.
Большинство стационарных случайных процессов обладают важным для практики эргодиче-
ским свойством, т.е. каждая отдельная реализация случайного процесса является предста-
вителем всей совокупности возможных реализаций; одна реализация достаточной продолжительности может заменить при обработке множество реализаций той же общей продолжительности. И
отдельные характеристики таких процессов, могут быть определены как
соответствующие средние по времени для одной реализации достаточно большой продолжительности.
Таким образом
для стационарных случайных процессов кроме средних статистических
характеристик вводятся ещё характеристики: средние по времени.
Выберем k -ю реализацию –
времени
Рассмотрим
2T .
среднее по времени значение этой реализации:
()kt
случайного процесса и будем наблюдать её в течение
T
() ()
kk
1
lim ( )
T
T
2
T
tdt m
Замечание 4. Здесь символ обозначает усреднение по времени, в отличие от символа мате-
матического ожидания M – усреднения по распределению, или статистического усредне-
ния.
Это среднее по времени можно рассматривать как постоянную составляющую случайного
процесса (t).
Аналогично можно определить
усреднённую по времени функцию корреляции для стацио-
нарного процесса:
T
() () () ()
Rtt ttdt
() () ( ) lim () ( )
kk kk
1
T
T
2
T
.
66
4. Стационарные случайные процессы
Определение 6. Случайный процесс будем называть эргодическим, если любая его статисти-
ческая характеристика, равна соответствующей характеристике, полученной усреднением по
времени одной единственной реализации.
Определение 7. Случайный процесс ()t
называется эргодическим по отношению к мате-
матическому ожиданию, если:
1) математическое ожидание постоянно () ;m t const
2) временное среднее по промежутку
тическому ожиданию
() ()
kk
1
lim ( )
T
T
2
,TT в среднем квадратическом сходится к матема-
T
tdt m
T
.
Условия, при выполнении которых можно проверить эргодичность процесса по отношению
к математическому ожиданию, сформулированы в следующей теореме.
Теорема 1. Для того, чтобы случайный процесс ()t
, имеющий постоянное математическое
ожидание, был эргодическим по отношению к математическому ожиданию, достаточно вы-
()
Dt
полнения условий:
lim 0
t
,
lim ( , ) 0
Ktt
tt
t
12
12
.
Первое условие теоремы означает ограниченность или слабый рост дисперсии при
t .
Второе условие означает ослабление до нуля корреляционной связи между сечениями при
t
неограниченном увеличении промежутка времени между моментами
1
и
t
.
2
Пример 4.5. Известны математическое ожидание и корреляционная функция случайного
tt
процесса
()t
:
() 1mt t
2
,
Ktt e
(, )
12
21
. Проверить, будет ли центрированный процесс
эргодическим по отношению к математическому ожиданию.
Решение:
1.
Поскольку математическое ожидание случайного процесса ()t
не является постоян-
ным, то сам процесс не эргодический.
По определению, для центрированного случайного процесса (),t
2.
ожидание равно нулю, поскольку
() () ()ttmt
, следовательно, центрированный про-
математическое
цесс может оказаться эргодическим по отношению к математическому ожиданию.
67
Теория случайных процессов
и
Проверим достаточные условия эргодичности по отношению к математическому ожиданию.
tt
Дисперсия процесса
() (,) 1
Dt Ktt e
, поэтому
условия эргодичности для корреляционной функции
Dt
lim lim 0
tt
tt
lim ( , ) lim 0
Ktt e
12
tt tt
12 12
1
tt
21
. Проверка
пока-
()
зывает, что достаточные условия выполнены, следовательно, центрированный случайный
процесс является эргодическим по отношению к математическому ожиданию.
Для стационарных в широком смысле случайных процессов достаточные условия эргодичности процесса по отношению к математическому ожиданию могут быть записаны в более
простой форме.
Теорема 2. Для того, чтобы стационарный в широком смысле случайный процесс был эрго-
дическим по отношению к математическому ожиданию, достаточно выполнения условия
lim ( ) 0K
Пример 4.6. Стационарный в широком смысле случайный процесс ()t
ную функцию
.
имеет корреляцион-
K
()
2
1
. Проверить, является ли процесс эргодическим по отношению к
2
математическому ожиданию.
Решение. Для стационарного в широком смысле процесса математическое ожидание и дис-
()
Dt
персия постоянны, поэтому условия
условие
lim ( ) 0K
. Действительно,
()m t const
K
lim ( ) lim 0
и
1
lim 0
t
t
2
, откуда и следует эргодич-
2
выполнены. Проверим
ность процесса по отношению к математическому ожиданию.
Рассмотрим пример стационарного, но неэргодического процесса.
Пример 4.7. Пусть дан случайный процесс () ()tt
ный процесс с характеристиками
числовыми характеристиками
времени
:t ()t
некоррелированы. Показать, что случайный процесс не является эргоди-
ческим.
, где ()t
,()MmK
, а – некоторая случайная величина с
,0M m const D D const
– эргодический случай-
. Для любого момента
68
4. Стационарные случайные процессы
K
K
Решение: Найдем характеристики случайного процесса ():t
()t
Так как величины
()t
процесса
будут следующими:
ния ковариационной функции случайного процесса
зовались таким свойством: если имеется процесс
функция равна
некоррелированы:
и для любого t некоррелированы, то характеристики случайного
()Mt mM
()t
() () ()ttt
(, ) (, ) (, ) (, ) (, )K tt K tt K tt K tt K tt
12 12 12 12 12
(, ) (, ) 0Ktt Ktt
12 12
и
(,)Ktt D
Можем сделать заключение, что случайный процесс
() ()
KD
,
. для нахожде-
, который является суммой, восполь-
, то его ковариационная
, в силу того, что ()tи
() () .
KD
, поэтому
() ()tt
является стационарным в
широком смысле, т.к. математическое ожидание константа и ковариационная функция зависит
лишь от
.
12
tt
Но к сожалению этот процесс не будет эргодическим, т.к. каждая его реализация будет по характеру отличаться от других в зависимости от того, какое значение приняла случайная величина
Рассмотрим ковариационную функцию случайного процесса
от ковариационной функции случайного процесса
. Поэтому при
.
получаем
() ()tt
()t
наличием постоянного слагаемого D
lim ( ) lim ( ) lim 0 0KKD DD
. Она отличается
. И стало
быть условие эргодичности не выполняется.
Таким образом, неэргодичность случайного процесса может быть связана с наличием в его составе слагаемого в виде обычной случайной величины.
Замечание 5:
1. Необходимым и достаточным условием эргодичности процесса по отношению к
ll
дисперсии является:
1
lim ( , ) 0, 0, .
l
Ktt dtdt t T l
12 1 2
2
l
00
Достаточным условием эргодичности стационарного случайного процесса по отно-
2.
шению к дисперсии:
lim ( , ) 0.
Ktt
tt
12
12
69
Теория случайных процессов
x
g
X
X
Итак, если случайный процесс эргодический, то любая его реализация определяет свойства
всего ансамбля и поэтому результат усреднения по времени, выполненный по одной реализации, совпадает с соответствующей статистической характеристикой процесса, то есть
()mt m
,() ,KK
() .RR
Можно ввести и другие средние по времени характеристики эргодического процесса.
Так, среднее время пребывания процесса ниже уровня x совпадает с вероятностью того,
что значения случайного процесса в любой момент времени меньше, чем
T
Fx C x t dt P t x
( ) lim ( ) { ( ) }
1
T
T
2
T
()
k
,
, то есть
здесь
1, 0
y
()
Cy
0, 0
Одномерная характеристическая функция определяется: как
()
процесса
exp ( )
k
itu
, то есть в виде:
y
среднее по времени значение
T
uitudt
() lim exp ()
1
T
T
2
T
()
k
.
Пример 4.8. Дан случайный процесс () ( 2) cos7 sin7
. Показать, что случайный процесс стационарен в широком смысле. Проверить
3, 3VR
tU tV t
, где
2, 3UN и
свойство эргодичности для математического ожидания и корреляционной функции.
Решение:
1. Запишем числовые характеристики для случайных величин U и V , т.к. известны законы
распределения обеих:
MV DV
2, 3MU DU и
2
ba
ab
33 36
0, 3
2 2 12 12
2. Найдем математическое ожидание случайного процесса () ( 2) cos7 sin7
70
tU tV t
:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]