Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория случайных процессов. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
3. Основные характеристики случайных процессов
3. Основные характеристики случайных процессов
Конечномерные распределения дают исчерпывающее описание случайного процесса. Однако существует большое число задач, для решения которых оказывается достаточным использование основных характеристик случайного процесса, которые в более
краткой и сжатой
форме, отражают основные свойства случайного процесса. Такими характеристиками явля-
ются
моменты первых двух порядков
менты являются числами и поэтому их называют
. В отличие от случайных величин, для которых мо-
числовыми характеристиками
, моменты
случайной функции являются неслучайными (детерминированными) функциями, их называют
характеристиками случайной функции (процесса
).
Математическое ожидание случайного процесса
Определение 1. Математическим ожиданием
стическим средним значением
(),
mttT
X
, определяемая соотношением:
Значение этой функции при любом
называется неслучайная (детерминированная) функция
() () ( ,).
mt MXt xdFxt
X
t
равно математическому ожиданию соответствующего
случайного процесса ()Xt
или его
стати-
сечения случайного процесса.
Математическое ожидание
, есть
реализаций случайного процесса.
«средняя» функция
, вокруг которой происходит разброс
41
Теория случайных процессов
Свойства математического ожидания случайного процесса
1. Математическое ожидание неслучайной функции ()t равно самой неслучайной функции:
() ()Mt t
2.
Неслучайный множитель ()t можно выносить за знак математического ожидания:
() () () () () ()
MtXt tMXt tmt
Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических
3.
ожиданий слагаемых:
.
.
X
() () () ()MXt X t MXt MX t
12 1 2
4.
Математическое ожидание произведения двух случайных функций
произведению математических ожиданий, если сечения
ны при каждом
5.
Математическое ожидание суммы случайной и неслучайной функций равно сумме мате-
матического ожидания случайной
Пример 3.1. Найти математическое ожидание случайного процесса
:
,t
12 1 2
()Xt и неслучайной функции ()t
() () () ().MXt t MXt t
;
()Xt и 2()Xt , равно
1
()Xt и 2()Xt некоррелирова-
1
.() () () ()MXt X t MXt MX t
:
() costU t
, где U –
случайная величина, математическое ожидание которой 2MU
Решение: Множитель
вынести за знак математического ожидания:
неслучайная функция, которую, используя свойство 2 можно
cos t
() cos cos 2cosMt MU t tMU t
42
.
.
3. Основные характеристики случайных процессов
X
D
X
D
X
D
X
D
Дисперсия случайного процесса
Определение 2. Дисперсией случайного процесса ()
нированная) неотрицательная функция ()
на дисперсии соответствующего сечения случайного процесса:
() () () () ( ,)
Dt M Xt mt xmt dFxt
Дисперсия характеризует разброс реализаций относительно средней траектории
1. Дисперсия неслучайной функции равна нулю:
2.
Дисперсия суммы случайной функции ()
случайной функции:
XX
Свойства дисперсии случайного процесса
t , которая при любом значении аргумента t рав-
X
2
() 0Dt
t и неслучайной функции ()t равна дисперсии
() ()
Xt t D t
.
называется неслучайная (детерми-
t
X
2
X
.
.
()
mt
X
.
Дисперсия произведения случайной функции ()
3.
произведению квадрата неслучайного множителя на дисперсию случайной функции:
() () () ()
tXt tDt
4.
Дисперсия суммы двух случайных функций
емых, если сечения
Пример 3.2. Найти дисперсию случайного процесса () sin()tU t
чина, дисперсия которой () 6DU .
Решение: Множитель sin ( )t детерминированная функция, которую, используя свойство 3
можно вынести за знак дисперсии:
()Xt и 2()Xt некоррелированы при каждом
1
() () () ()D
tXt DXt DXt
12 1 2
() sin sin 6sin
tDU t tDU t
t на неслучайную функцию ()t равна
2
()Xt и 2()Xt равно сумме дисперсий слага-
1
.
X
.
, где U – случайная вели-
22
:
,t
.
43
Теория случайных процессов
z
z
X
X
Пример 3.3. Пусть случайный процесс, определяется соотношением
t
UV
V независимые случайные величины, имеющие гауссовское распределение
t
N
где U и
,()
0,
1
.
2
Найти математическое ожидание и дисперсию случайного процесса
Pt
Решение. Найдем основные характеристики случайного процесса ()t
V гауссовские с параметрами распределения
3
()
t
для произвольного 0t .
. В силу того, что U и
0; 1 2MU MV DU DV
случайные величины, можем записать:
UV
() 0
Mt M MU MV
()
Dt D DU DV
tt t
UV
tttt
Так как сумма гауссовских случайных величин UV
2
параметрами
0, 1a, то
FxtPtxP x PUVxt xt
(,) () ( )
11
111
222
имеет гауссовское распределение с
UV
t
,
.
()t и вероятность
и независимые
,
где
()
– функция Лапласа:
z
() exp .
1
2
2
udu
Тогда искомая вероятность определяется следующим образом:
33 3
( ) ( , ) ( , ) (3) ( 3) 0.997Pt FtF t
tt t
.
Среднеквадратическое отклонение случайного процесса
Определение 3. Среднеквадратическим или стандартным отклонением случайного процесса
Размерность функции
t
называют неслучайную функцию
()
t
равна размерности случайного процесса ()
x
заций случайного процесса при каждом
()
t
на величину порядка
.
x
tDt
t отклоняются от математического ожидания
X
()
.
t . Значения реали-
()
mt
x
44
3. Основные характеристики случайных процессов
Центрированный случайный процесс
Определение 4. Центрированным случайным процессом ()t
называется процесс, который
получится, если из случайного процесса
() () ()ttmt
;
t
вычесть его математическое ожидание:
Свойства центрированного случайного процесса
1. Прибавление к случайной функции ()t
центрированной функции, т.е. если
() () ()ttt
12
2. При умножении случайной функции ()t
неслучайного слагаемого ()t не изменяет ее
, то
21
на неслучайный множитель ()t ее центриро-
ванная функция умножается на этот же множитель, т.е. если
() () () () () () () () ()
t ttMtt tt tMt
1
() () () () ()
ttMt tt
() ()tt
() () ()ttt
1
.
, то
3. Математическое ожидание центрированного случайного процесса тождественно равно
() () () 0MtMtmt
нулю:
2
Реализации центрированного случайного процесса ()t
случайного процесса
иметь как положительные, так и отрицательные значения, а в среднем равны нулю. Как указывалось выше, дисперсия представляет собой неслучайную функцию, характеризующую
степень разброса реализации случайного процесса около его математического ожидания, т.е.
степень разброса реализаций центрированного случайного процесса
Математическое ожидание и дисперсия – важные, но недостаточные характеристики для
описания основных свойств случайных процессов. В этом можно убедиться, обратившись к
рисунку, на котором изображены реализации двух случайных процессов
.
представляют собой отклонения
()t от его математического ожидания. Значения отклонений могут
.
( )t
()Xt и (),Yt мате-
матические ожидания и дисперсии которых равны.
45
Теория случайных процессов
Внутренняя структура процессов совершенно различна. Первый процесс
«нервный» характер, ( )
Yt
– изменяется более «плавно». Но это не отражает ни математиче-
Х(t) имеет более
ское ожидание, ни дисперсия. Для описания динамики изменения случайных процессов вво-
дится специальная характеристика –
сходства между сечениями процесса
Функция корреляции случайного процесса
Определение 5. Функцией корреляции случайного процесса
ожидание произведения сечений случайного процесса в моменты времени
(, ) () ( ) ( , , , )Rtt M t t xxdFxtxt
12 1 2 1 2 11 2 2
Она определяется двумерной функцией распределения
t
и
t
сит от двух аргументов:
. Эту функцию
1
2
корреляционная функция. Она характеризует степень
()Xt
и
1
Эта функция описывает процесс в целом.
().Xt
2
(t) называется математическое
t
t
.
и
1
2
(, )Rtt
12
(,, ,)Fxt x t
11 2 2
называют также
.
и в общем случае зави-
функцией автокор-
реляции.
Очевидно, что для процесса ()
сечениями будет более тесной, чем для ()
очень быстро по мере увеличения расстояния между сечениями. Для ()
Yt , изображенного на рисунке
(б)
выше, зависимость между
Xt . У процесса ()Xt эта зависимость затухает
Yt характерна боль-
шая предсказуемость реализаций. Можно с большой вероятностью утверждать, что если реа-
лизация процесса ()
()
дания
цесса ()
mt
, то и ее продолжение будет лежать выше кривой
Y
Xt :
Yt была в какой-то момент времени
()Xt
и
1
()Xt
практически нет вероятностной зависимости при достаточном
2
выше его математического ожи-
t
()
mt
. Между сечениями про-
Y
46
3. Основные характеристики случайных процессов
X
R
R
R
X
R
R
X
R
R
удалении сечений друг от друга (эта зависимость быстро уменьшается по мере увеличения
tt
разности
). Очевидно, что корреляционные функции случайных процессов ()Yt и ()
12
различны. Корреляционная функция
разности
), чем корреляционная функция
tt
12
(, )
tt
12
Y
убывает намного медленнее (с увеличением
(, )
tt
12
X
t
Свойства функции корреляции
(, )
Рассмотрим основные свойства функции корреляции
Функция корреляции является симметрической функцией своих аргументов, т.е. при пере-
1.
X
tt
случайного процесса ().
12
t
становке аргументов корреляционная функция не изменяется:
(, ) (, )
tt Rtt .
12 21
Для стационарных процессов функция корреляции – чётная функция
() ( ) ( ) ( )RRttRttR
.
21 1 2
Для корреляционной функции выполняется неравенство:
2.
(, ) (, ) (, )
tt RttRt t
12 11 22
.
Для стационарных случайных процессов это неравенство означает, что в нуле функция
корреляции достигает наибольшего значения.
Если случайный процесс задан соотношением () () ()
3.
функция,
Если случайный процесс задан соотношением () () ()ttt
4.
()Yt- случайный процесс, то
(, ) () ( ) (, ).
tt t t Rtt
12 1 2 12
XY
ttYt
где ()t
т.е. является суммой двух
– неслучайная
случайных процессов, тогда его корреляционная функция равна сумме корреляционных
функций слагаемых
(, ), (, )Rtt Rtt
12 12
и взаимной корреляционной функции
(, ),
tt
12
которая прибавляется дважды с разным порядком следования аргументов:
(, ) (, ) (, ) , ,() ()Rtt Rtt R tt R tt R tt
5.
Если случайный процесс задан соотношением () () () () ()ttttt
(, ) () ( ) (, ) () ( ) (, )
Rtt t t Rtt t t Rtt
12 1 2 12 1 2 12
()t
где
и ()t – неслучайные функции.
12 12 12 12 12
, то
() () (, ) () ( ) (, )
ttRtt ttRtt
12 12 12 12
47
Теория случайных процессов
Если для стационарного случайного процесса при
6.
()t
стохастически независимы, то:
lim ( ) lim () ( ) () ( ) ( )RMttMtMtmR
случайные величины ()t и
2
В этом случае среднее значение процесса можно выразить через его функцию корреля-
ции:
.
()mR
Используя определение дисперсии процесса, запишем:
22
RRmR
.
)()0()0(
Таким образом, среднее значение и дисперсию стационарного случайного процесса
можно найти, если известна его функция корреляции.
Функция корреляции случайного процесса является положительно определённой, то есть
7.
, ,...,
для любых
произвольных действительных чисел
n
12
n
выполняется неравен-
ство:
,
kj k
8.
Корреляционная функция суммы случайных процессов равна сумме корреляционных
,
kj
kjkjkjkj
tMttMttR
2
0)()()(),(.
kk
функций слагаемых плюс сумма всех взаимных корреляционных функций этих слагае-
n
мых. Т.е. для
() ():
tt
1
i
i
iji
jii
.
ttRttRttR
),(),(),(
212121
Для некоррелированных слагаемых с нулевыми средними значениями имеем:
i
ttRttR
),(),(
i
.
2121
Для двух случайных процессов (t) и (t) вводится понятие
или функции кросс-корреляции:
.
12 1 2
)),,(() (RttMtt
48
взаимной функции корреляции
3. Основные характеристики случайных процессов
D
R
D
характеризует степень сходства сечений одного случайного процесса с различными
она
сечениями другого случайного процесса.
Совместная корреляционная функция двух случайных процессов (t) и (t) определяется
как матричная функция:
),(),(
ttRttR
2121
,
),(),(
ttRttR
2121
все элементы которой определены выше.
Пример 3.4. Найти функцию корреляции случайного процесса () sin()tU t
чайная величина, числовые характеристики которой:
Решение: По определению
( , ) ( ) ( ) sin sin sin sin sin sin
Rtt M t t MU tU t MU t t t t MU
12 1 2
Использовали:
DU MU M U MU
Пример 3.5. Пусть случайный процесс () () ,ttVtT
величина, с математическим ожиданием
(, ) () ( )Rtt M t t
12 1 2
22 2
1 2 12 12
, т.к. 0.MU
MV m
, где V
функция. Найти математическое ожидание
цесса
(, )Rtt
12
.
, тогда у нас
и дисперсией
V
и функцию корреляции случайного про-
()mt
0; 1MU DU .
22
, где U – слу-
sin sin
tt
12
некоторая случайная
V , а ()t – неслучайная
Решение. Согласно определению и свойствам математического ожидания случайного про-
цесса:
() () () () ()
mt M t M t V t MV m t
V
.
Можем найти функцию корреляции:
(,) ()() () () ()() ()()
tt M t t MV t V t t t MV t t D m
12 1 2 1 2 1 2
т.к.
VMV MVMV DVMV
22 2 2
,.
2
12
2
VV
Частным случаем
корреляционной функции является функция ковариации, она представ-
ляет собой статистически усредненное произведение значений центрированной случайной
49
Теория случайных процессов
x
K
() () ()ttmt
функции
в моменты времени
и
t
t . В терминах теории вероятностей ко-
1
2
вариационная функция является вторым центральным моментом случайного процесса.
Функция ковариации случайного процесса
Определение 6. Функцией ковариации (ковариационной функцией или автоковариации) слу-
чайного процесса (t) называется математическое ожидание произведения центрированных
и
t
сечений случайного процесса в моменты времени
(,) ()() ()()()()
Ktt M t t M t mt t mt
12 1 2 1 1 2 2
11 2 2 1122
t :
1
2
mxmdFxtxt
(,, ,)
.
Ковариационная функция
(, )Ktt
характеризует не только степень зависимости между
12
двумя сечениями, но и разброс этих сечений относительно математического ожидания
.
()mt
Замечание 1. Для центрированных случайных процессов функция автоковариации тожде-
ственна функции автокорреляции.
Нетрудно показать, что
случайного
()Dt
Замечание 2. При
ttt
12
(, ) (, ) () ()
tt R tt m tm t
12 12 1 2
функция ковариации совпадает с дисперсией
процесса:
2
(,) () ()Ktt Dt t
.
Из этого следует, что для случайных процессов и функций основными характеристиками являются функции математического ожидания и корреляции (ковариации), особой необходимости в отдельной функции дисперсии нет.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]