Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория случайных процессов. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
4. Стационарные случайные процессы
X
( ) ( 2) cos 7 sin 7 cos7 ( 2) sin 7
MX t M U t V t t M U t MV
cos7 2sin7 cos7 22sin700
Т.к. математическое ожидание процесса равно нулю, то функции ковариации и корре-
t MU t MV t t const
ляции тождественны, т.е.
3. Найдем ковариационную функцию случайного процесса () ( 2) cos7 sin7
определению:
, ( ) ( ) ( 2) cos 7 sin 7 ( 2) cos 7 sin 7
Ktt MXtXt M U tV t U t V t
X
M
MU t t VU tt V
можем переписать выражение для
Ktt t tMU t t MVU t tMV
X
12 1 2 1 1 2 2
( 2) cos7 cos 7 ( 2) sin 7 cos 7
UttVUtt
, cos 7 cos 7 ( 2) sin 7 ( 2) sin 7 sin 7
12 1 2 1 2 1 2
( 2)sin 7 cos7 sin 7 sin 7
VU t t V t t
( 2) cos 7 cos 7 ( 2)sin 7
2
2 2
12 12
21 12
12 12
т.к.
(2)MU DU и
2
,,
Rtt K tt
12 12
XX
2
:
,
Ktt
12
X
2 2
.
tU tV t
22 2 2
sin7 sin7tt
по
12
0DV MV M V MV MV
cos 7 cos 7 sin 7 ( 2) sin 7 sin 7
т.к.
то окончательно
Заключение: т.к. ()MX t const
в широком смысле.
ttDU ttMVU ttDV
12 12 12
3 cos 7 cos 7 3 sin 7 sin 7 sin 7 ( 2)
3 cos 7 cos 7 sin 7 sin 7 s
3 cos 7 sin 7 ( 2)
tt tt ttMVU
12 12 12
tt tt
12 12
tt tt MVU
12 12
:
, 3 cos7 sin7 ( 2) 3 cos7
Ktt t t t t MVU t t
12 12 12 12
X
in 7 ( 2)
tt MVU
12
(2) (2)0MV U MVMU
и
,3cos7 3cos7
Ktt t t
X
12 1 2
процесс стационарен
71
Теория случайных процессов
x
4. Проверим свойство эргодичности для математического ожидания и корреляционной
функции случайного процесса:
Пусть
для
cos , sin
() cos7 sin7
tu tv t – реализация случайного процесса, преобразуем выражение
()xt по формуле:
uv
( ) cos 7 sin 7 cos 7 ,xt u t v t a t
где
22
aa
T
kk
Подставим в равенство:
mtdt
() ()
TT
matdt tdt
1
lim cos 7 lim cos 7 7 lim 0
TT T
214 14
TT T
TT
1
lim ( )
T
T
2
T
aa
sin 7
t
T
T
Т.е. можем сделать вывод, что случайный процесс эргодичен относительно математического
ожидания.
5. Для корреляционной функции исследуемого случайного процесса:
T
() ()
( ) ( ) ( ) lim cos 7 cos 7( )
Rtt atatdt
lim cos 7 cos 7( )
T
kk
T
2
a
T
2
T
ttdt
1
T
2
T
T
,auv
используем формулу произведение косинусов
1
cos 7 cos 7( ) cos 7 7( ) cos 7 7( )
1
2
tt tt tt
cos 14 2 cos
t
2
cos cos cos cos
2
:
1
Подставим полученное в интеграл:
T
() ()
( ) ( ) ( ) lim cos 7 cos 7( )
Rtt atatdt
lim cos 14 2 7 cos7 lim cos 14 2 7 cos 7
TT
lim
T
kk
T TT
22
aa
TT
44
T TT
2
a
1
T
414
t dt t dt dt
sin 14 2 7 cos 7
tt
1
T
2
T
T
T
T
T
T
222
cos7 cos7 cos7
aaa
lim 2 lim
TT
422
T
T
72
4. Стационарные случайные процессы
X
X
X
Полученный результат не совпадает с ранее полученным выражением для корреляционной
функции:
,,3cos7
Rtt Ktt
XX
следовательно, процесс не является эргодическим относительно корреляционной функции.
12 12
Задачи по теме для самостоятельного решения
1. Задана случайный процесс
ленная равномерно в интервале
процесс.
2. Является ли стационарным случайный процесс () sin cos
коррелированные случайные величины
3. Известна ковариационная функция ()K
если
4. Задана случайный процесс
деленная равномерно в интервале
Определить, является ли процесс эргодическим относительно математического ожидания и дисперсии.
() ()tat, то
() cosXt t
0, 2
mm DDD
() ()KaK
2
.
() costA t
,, , .A const const
, где – случайная величина, распреде-
. Доказать, что ()
tU tV t
UV UV
стационарного процесса ()t . Доказать, что
0, .
, где – случайная величина, распре-
t – строго стационарный
, где ,UV – не-
5. Заданы два стационарных случайных процесса
– случайная величина, распределенная равномерно в интервале
что эти функции стационарно связаны.
6. Значения случайного процесса ()
мени
событий интенсивности
равна:
,0,1,3,...
tk
k
k
e
k
!
. Моменты скачков образуют простейший (пуассоновский) поток
, т.е. вероятность того, что за время произойдет k скачков
.
t изменяются скачками в случайные моменты вре-
73
() cos , () sinXt t Yt t
0, 2
. Доказать,
, где
Теория случайных процессов
X
p
X
X
,
В интервале
tt
kk
значения 0 или 1 с вероятностями соответственно
между двумя скачками процесс ()
1
1 pq
t может принимать лишь два
и
. Значения ()
t в раз-
личных интервалах независимы (такой процесс называют фототелеграфным сигналом.)
Выяснить является ли этот процесс стационарным в широком смысле.
7. Случайный процесс ()t формируется так: на оси Ot имеется простейший поток собы-
тий с интенсивностью . Случайный процесс попеременно принимает значения +1 и –
1, при наступлении очередного события в простейшем потоке случайный процесс скачком меняет свое состояние с +1 на –1 или наоборот, оба значения равновероятны.
Найти характеристики случайного процесса и выяснить является ли этот процесс
ста-
ционарным в широком смысле и эргодическим.
8. Случайный процесс ()t
тий с интенсивностью . В момент наступления
нимает случайное значение
начальный момент времени 0:t
формируется так: на оси Ot имеется простейший поток собы-
-го события случайный процесс при-
i
, сохраняя его до следующего события в потоке. В
X
i
(0)XX
. Найти характеристики случайного про-
0
цесса и выяснить является ли этот процесс стационарным и эргодическим.
9. U и V – независимые случайные величины, распределенные по экспоненциальному
и
закону с параметрами
1
персию и функцию корреляции процесса
, соответственно. Найти математическое ожидание, дис-
2
()St U Vt
. Выяснить является ли этот про-
цесс стационарным?
tt
10. Случайный процесс
()
St U e V e
, где U и V – некоррелированные случай-
ные величины с нулевым математическим ожидание,
Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции процесса
и неслучайные величины.
()St .
Определить, является ли данный процесс стационарным, по крайней мере, в широком
смысле.
11. Пусть (), 0
случайный процесс
tt пуассоновский случайный процесс с параметром
() 1 , 1.Yt X t X t t является стационарным в широком
. Доказать, что
смысле.
74
4. Стационарные случайные процессы
X
X
X
12. Случайный процесс
– случайная величина с плотностью распределения вероятностей
довать случайный процесс
случаях:
a) () cosfx x при
1
()
fx
b)
13. Случайный процесс
Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции процесса
Является ли этот процесс стационарным, по крайней мере в широком смысле?
14. Доказать, что сумма независимых стационарных случайных процессов является стаци-
при
2
12 3 4
t имеет вид
t на стационарность и на эргодичность в следующих
0, 2x
0, 2x и () 0fx при
t задан четырьмя равновероятными реализациями:
1, 2 , s in , co s ,tt tttt
sinXt b t
, где ,b
0, 2x
известные числа,
(), 0.fx t
Иссле-
t.
онарным случайным процессом.
15. Пусть и независимые одинаково распределенные случайные величины, прини-
мающие значения и с вероятностями . Исследовать на стационарность случай-
ный процесс
Y
1 12
1
() cos sin , 0tX tY tt
75
Теория случайных процессов
5. Линейные преобразования случайных процессов
Представим, что имеется некая динамическая система L (прибор, механизм, система автоматического управления и т.д.), на вход которой поступают непрерывно определенные данные
(входной случайный процесс). Система обрабатывает данные и после обработки, они преобразуются в некоторый результат (выходной случайный процесс).
Входной случайный процесс называют воздействием, а выходной – реакцией системы, или
ее откликом.
Будем считать, что на вход системы подается случайный процесс
ется процесс
() ()Yt L Xt
Задача относительно этой ситуации формулируется так: если входной процесс
известны его характеристики:
требуется найти аналогичные характеристики для выходного процесса
определить реакцию (или отклик) системы.
Преобразование
чае решить задачу нахождения характеристик выходного сигнала затруднительно. Но данная
задача может быть решена совершенно точно в случае, когда преобразование
жит к классу линейных преобразований и соответственно система
линейных систем.
. Т.е. система L выполняет некоторое преобразование входного сигнала:
Yt
.
математическое ожидание и корреляционная функция,
L может быть любой сложности и любого характера. Поэтому в общем слу-
, а на выходе получа-
Xt
задан и
Xt
, т.е. необходимо
Yt
L принадле-
L принадлежит к классу
Пусть
Определение 1. Линейным однородным преобразованием (линейным оператором) L
называется преобразование (отображение), обладающее следующими свойствами:
1)
2)
почленно.
и
Xt
1
() () () ()LXt X t LXt LX t
12 1 2
Xt
() ()LC X t CL X t
11
– два случайных процесса,
2
– постоянную величину можно выносить за знак оператора;
– к сумме функций оператор L может применяться
76
,CC – произвольные константы.
12
5. Линейные преобразования случайных процессов
X
X
X
X
X
K
Свойства однородного линейного преобразования можно объединить в одно:
() () () ()LCX t CX t CL X t CLX t
11 22 1 1 2 2
.
Примерами линейных однородных операторов являются: оператор дифференцирования, опе-
ратор интегрирования, оператор умножения на заданную функцию и др.
Линейные преобразования называются
неоднородными, если они состоят из линейных од-
нородных операций с прибавлением заданной неслучайной функции:
() () ()
LXt LXt t
n
Примерами линейных неоднородных операторов являются:
.
()
dY t
tft
() (),
dt
t
() ( ) ()
tYdft
0
; () () () ()
tftYt t
.
Мы будем рассматривать в основном линейные однородные операторы: дифференцирования
Xtdt
Теорема 1. Если ()
корреляционную функцию
случайный процесс
и интегрирования
t – случайный процесс, имеющий математическое ожидание
x
()Yt:
() ()Yt L Xt
(, )
tt
12
()
dY t
()
из математического ожидания
() ()
mt Lmt
y
функции
Ktt
, а для нахождения корреляционной функции
x
соответствующий линейный однородный оператор L один раз по
(, )
12
y
гой раз, к вновь полученному выражению, – по
t
() ( )
tYd
0
.
, преобразуется линейным однородным оператором L в
, то его математическое ожидание
()
mt
при помощи того же линейного оператора
x
t :
Ktt L L Ktt
2
Теорема 2. Для дифференцируемого на множестве
mt
получается
()
mt
y
нужно применить к
(, )
Ktt
12
y
()
t
t
1
()
(, ) (, )
12
y
T
случайного процесса (),ttT с ма-
2
x
12
()
и
x
t , дру-
1
тематическим ожиданием
'
процесс
(),tt T
, и при этом, если случайный процесс
и ковариационной функцией
()mt
77
(, )Ktt
12
() ()tt
'
определен случайный
, то
Теория случайных процессов
d
1)
() ()
mt mt
2)
dt
(, ) (, )Ktt Ktt
12 12
Если к тому же
1)
2)
() 0mt
;
(, ) ()Ktt K
12
;
2
.
tt
12
()t еще и стационарный процесс, то
'
.
Теорема 3. Для интегрируемого на множестве
тическим ожиданием
b
() , ,
процесс
tdt ab T
a
и ковариационной функцией
()mt
, и при этом, если случайный процесс
T
случайного процесса (),ttT с матема-
(, )Ktt
определен случайный
12
b
() ()
ttdt
a
, то
b
1)
MM tdt mtdt
(, ) ( , )
Ktt K d d
2)
3) cov (), () (,),
4)
cov ( ) , ( ) ( , ) , , , ,
5)
D t dt K t dt d
() () ,
a
tt
12
12
d
c
00
bb
tdt K t dt T
aa
bd
tdt d K t dtd ab cd T
ac
bb
() (,)
aa
b
a
12 1 2
bd
ac
Рассмотрим примеры.
Пример 5.1. Зная математическое ожидание
2
()mt t t
случайного процесса ()t , найти
математическое ожидание ее производной
Решение: Искомое математическое ожидание
() ()mt mt
.
'
'
() () () 2 1mt mt mt t t t
'
.
2
'
78
5. Линейные преобразования случайных процессов
K
t
Пример 5.2. Случайный процесс определяется формулой
() () , 0, () 3,1.
ttet tN
Найти математическое ожидание и ковариационную функцию случайного процесса
()
dt
'
()
t
dt
.
Решение:
tt
1. Найдем математическое ожидание случайного процесса ()t:
() ( )
mt M e e M
;
() 3
но т.к.
()mt
'
2.
Найдем ковариационную функцию случайного процесса ()t
(, ) 3 3 6 9
Ktt M e e e e M e e e e e e
12
Me e M e e
Т.к. из условия
Найдем ковариационную функцию случайного процесса
3.
() (3,1)tN , то получаем
:
() 3 3
mt M t M t e e
tt tt
12 12
'
'
tt t t
11 2 2
22
33;
31MD ; то окончательно имеем:
2
,3
ttKMeee
;
12
(, )
Ktt
12
tt tt
12 1 2
mt e
'
t
2
tt
12
e
t
; найдем математическое ожидание
'
t
.
:
2
tt tt tt
12 12 12
tt
tt
12
'
tt
12
e
12
()
t
.
()
dt
dt
;
Пример 5.3. Зная ковариационную функцию
Ktt t t t t
()Xt , найти ковариационную функцию ее производной
(, ) 2
12 1 2 1 2
x
(, )
tt
'
12
x
22
.
Решение:
Найдем частную производную от заданной ковариационную функции по
1.
2
tt t t
Ktt
(, )
12
x
tt
11
Найдем частную производную от полученного результата по
2.
12 1 2
22
ttt
22
212
2
.
:
t
2
79
случайного процесса
:
t
1
Теория случайных процессов
K
2
Ktt
(, )
12
x
tt
12 2
22
ttt
212
t
Таким образом, искомая ковариационную функция:
Пример 5.4. Зная математическое ожидание
() ( )
найти математическое ожидание интеграла
tt
() ( ) (2 1)
Mt msds s dst t
Решение:
00
Пример 5.5. Зная математическое ожидание
tt
(, )
риационную функцию
Ktt e
12
ную функцию случайного процесса
12
, найти математическое ожидание и корреляцион-
t
() ( )
tsds
0
tsds
2
.
mt e
.
2
(, ) 2 4
tt t t
'
12 1 2
x
() 2 1mt t
t
0
() 3
.
tt
24
12
случайного процесса ()t,
.
t
случайного процесса ()t и кова-
Решение: Найдем математическое ожидание процесса ():t
Если
t
() ( )
tsds
0
tt
() ( ) 3 3 3
Mt msds eds e
, то
(, ) ( , )
Ktt K dd
12
00
tt
12
00
s
12 1 2
t
s
3
e
0
t
.
, т.е. корреляционная функция инте-
грала от случайного процесса равна двойному интегралу от корреляционной функции случайного процесса
(, ) 1 1 1
Ktt e dd ed e d e e d e e
12
()t :
tt t t t
12 1 2 1
00 0 0 0
12 1 2 2 1 2 1
12 1 2 1
ttt
Метод канонических разложений
Идея метода канонических разложений состоит в том, что случайный процесс, над которым
нужно произвести преобразование, представляется в виде суммы элементарных случайных
функций.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]