Теория случайных процессов и системы массового обслуживания. Учебное пособие

ÓÄÊ 519.2

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. Н. В. Смородина (ПОМИ РАН); д-р физ.-мат. наук, профессор В. Б. Смирнова (СПбГАСУ)

Белопольская, Я. И.

Теория случайных процессов и системы массового обслуживания : учеб. пособие / Я. И. Белопольская, В. Ю. Васильчук, СПбГАСУ. СПб., 2019. 80 с.

978-5-9227-0963-7

В пособии рассматриваются марковские цепи и их приложения в теории систем массового обслуживания.

Предназначено для студентов специальности ¾Прикладная математика и информатика¿ всех форм обучения.

Табл. 6. Ил. 18. Библиогр.: 4 назв.

Рекомендовано Учебно-методическим советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия

978-5-9227-0963-7

c Я. И. Белопольская, В. Ю. Васильчук, 2019c Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2019

3

1. Случайные величины и их характеристики

Основные определения. Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат слу- чайного эксперимента случайное событие. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, это случайная величина. Случайная величи- на является одним из центральных понятий теории вероятностей.

Для того чтобы задать случайную величину, нужно зафиксировать вероятностное пространство ( ; F; P ). Здесь множество событий, F заданная на

нем сигма-алгебра подмножеств и P вероятность, т. е. мера, заданная на F и обладающая свойством P ( ) = 1. Случайной величиной называется действительная числовая функция = (!), такая, что при любом действительном x

f! : (!) < xg 2 F:

Событие f! : (!) < xg принято записывать в виде f < xg.

Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост (в сантиметрах) случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной вели- чиной (она принимает значения из дискретного числового множества M =

= f1; 2; 3; 4; 5; 6g), во втором случае с непрерывной случайной величиной (она

принимает значения из непрерывного числового множества из промежутка числовой прямой I = [100; 200]).

Функция распределения случайной величины и ее свойства

Если случайная величина, то функция F (x) = P ( < x) называется функцией распределения случайной величины . Здесь P ( < x) вероятность того, что случайная величина принимает значение, меньшее x. Каждая

случайная величина полностью определяется своей функцией распределения. Функция распределения любой случайной величины обладает следующими

свойствами:

F (x) определена на всей числовой прямой R;

F (x) не убывает, т. е. если x1 x2, òî F (x1) F (x2);

F ( 1) = 0; F (+1) = 1, ò. å. limx! 1 F (x) = 0 è limx!1 F (x) = 1;

F (x) непрерывна справа, т. е. limx!x0+0 F (x) = F (x0).

Функция распределения дискретной случайной величины

Если дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < < : : : < xi < : : : с вероятностями p1 < p2 < : : : < pi < : : : , то таблица вида

4

Таблица 1

называется распределением дискретной случайной величины. У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Математическое ожи-

дание дискретной случайной величины , имеющей распределение pk = P ( = = xk); k = 1; : : : ; n; вычисляется по формуле E = Pnk=1 xkpk; а дисперсия по формуле D = E[ E ]2.

Производящей функцией распределения pk = P ( = k) дискретной слу- чайной величины , принимающей неотрицательные целочисленные значения k = 0; 1; 2; : : : ; называется ряд

Распределение вероятностей однозначно определяется своей производящей функ-

öèåé:

1 dk

pk = k! dzk (z)jz=0; k = 0; 1; 2; : : : :

С помощью производящей функции (z) могут быть вычислены начальные и

центральные моменты случайной величины; в частности, математическое ожидание и дисперсия определяются как

Функция распределения и плотность вероятности непрерывной слу- чайной величины

Если функция распределения F (x) непрерывна, то случайная величина называется непрерывной случайной величиной. Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной ве-

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей f (x) вычисляется по формуле E = R 11 yf (y)dy . Ïðè ýòîì åñ-

ли интеграл в правой части последнего равенства расходится, то говорят, что

5

случайная величина не имеет математического ожидания. Если случайная ве-

личина является функцией случайной величины , = g( ), то E = Eg( ) = = R11 g(y)f (y)dy.

Преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа плотности распределения f(x) неотрицательной непрерывной случайной величины называется функция

Z 1

F (s) = e sxf (x)dx; s > 0:

0

Плотность распределения однозначно определяется своим преобразованием Лапласа. Дифференцируя преобразование Лапласа по s в точке s = 0, можно

определить моменты случайной величины:

Преобразование Лапласа F (s) суммы X = 1 + 2 + + n n независимых случайных величин равно произведению преобразований Лапласа слагаемых:

n

Y

F (s) = Fk(s):

k=1

Наиболее распространенные распределения дискретных и непрерывных случайных величин

Биномиальное распределение

Пусть проводится серия из n независимых испытаний, каждое из которых

заканчивается либо ½успехом либо ½неуспехом . Пусть в каждом испытании (опыте) вероятность успеха p, а вероятность неуспеха q = 1 p. С таким испы-

танием можно связать случайную величину n, значение которой равно числу успехов в серии из n испытаний. Эта величина принимает значения от 0 до n. Ее распределение называется биномиальным и определяется формулой Бернулли:

E n = np; Dx = npq.

7

Нормальное распределение

Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике. Случайная величина нормально распределена с параметрами m и 2, если ее плотность распределения p (x) и функция распределения F (x) имеют соответственно вид:

Распределение Эрланга

Распределением Эрланга k-го порядка называется распределение, описывающее непрерывную случайную величину X, принимающую положительные значения в интервале (0; +1) и представляющую собой сумму k независимых

случайных величин, распределенных по одному и тому же экспоненциальному закону с параметром . Функция и плотность распределения Эрланга k-го

порядка имеют вид:

где > 0 и натуральное число k параметры распределения Эрланга.

При k = 1 распределение Эрланга вырождается в экспоненциальное, а при k ! 1 приближается к нормальному распределению. Преобразование Лапласа распределения Эрланга k-го порядка

Поскольку распределение Эрланга является двупараметрическим (с параметрами k и ), то оно может использоваться для аппроксимации реальных рас-

пределений по двум первым моментам.

Случайные процессы

Семейство случайных величин (t), зависящих от параметра t 2 T из некоторого множества T , называется случайным процессом. Параметр t часто имеет смысл времени. Если T = ft0; t1; : : : ; tng, то говорят о процессах с дискретным временем, а если T = [0; ], то говорят о процессах с непрерывным временем. Если множество V значений случайной величины (t) дискретно, V = fx1; : : : ; xmg, то (t) называют цепью.

8

Ниже мы будем рассматривать цепи с дискретным и непрерывным временем.

Рассмотрим в качестве примера пуассоновский процесс N(t) случайный процесс с непрерывным временем со значениями в бесконечном множестве V = = f0; 1; 2; : : : g, обладающий следующими свойствами:

1)N(0) = 0; P fN(t) = kg = e t ktk

k! ;

2) приращения N(t + t) N(t) и N(s + s) N(s) на непересекающихся интервалах 0 < t < t + t < s < s + s независимы.

2. Марковские цепи

Пусть N множество натуральных чисел, T > 0. Обозначим B(R) пространство

измеримых ограниченных борелевских функций, заданных на вещественной оси R, M(R) пространство ограниченных борелевских мер, определенных на бо-

релевской -алгебре BR. Для заданной случайной величины 2 R, функции f 2 B(R) и -подалгебры G -алгебры F пусть E[f( )jG] обозначает условное математическое ожидание случайной величины = f( ) относительно G.

Случайная величина 2 R порождает вероятностную меру , определен- ную соотношением (G) = P f! : (!) 2 Gg для любого борелевского подмножества G 2 BR. Пусть F обозначает -алгебру, порожденную случайными величинами ( ); 2 [s; T ].

Случайный процесс (t) 2 R называется марковским случайным процессом, если для любой измеримой ограниченной скалярной функции f(x) справедливо равенство

Для любого G 2 BR соотношение P (s; x; t; G) = P f (t) 2 Gj (s) = xg определяет переходную вероятность марковского процесса (t). Марковское свойство процесса (t) влечет за собой справедливость уравнения Чепмена Колмогорова Z

P (s; x; t; G) = P (s; x; ; dy)P ( ; y; t; G): (2.2)

R

Марковский процесс называют однородным по времени, если

P (s; x; t; G) = P (t s; x; G):

В случае когда множество значений процесса (t) дискретное множество V , например, V = f1; 2; : : : ; d1g или V множество целых чисел, случайный про-

10

Квадратные матрицы, для которых выполняются условия а) и б), называются стохастическими.

Вектор p~ = (p1; p2; : : : ; pk), ãäå pi = P (Si) вероятность появления состояния Si (i = 1, 2, : : : , k) в начальном испытании, называется вектором начальных вероятностей.

Свойства однородных марковских цепей полностью определяются вектором начальных вероятностей и матрицей вероятностей перехода. В некоторых слу- чаях вместо матрицы P используют ориентированный граф, вершинами которого являются состояния цепи, а стрелка, идущая от состояния Sk в состояние Sj

с числом pkj рядом с ней, показывает, что из состояния Sk возможен переход в состояние Sj с вероятностью pkj. В том случае, когда pkj = 0, соответствующее ребро не проводится. В случае однородных цепей Маркова с вектором начальных вероятностей появляется еще начальная вершина графа, которая соединяется с состоянием Sk ребром с числом pk рядом с ним.

Можно показать, что матрица перехода P(n) çà n шагов находится как Pn. Если из состояния Si система может перейти в состояние Sj с положитель- ной вероятностью за конечное число шагов, то говорят, что Sj достижимо из Si. Состояние Si называется существенным, если для каждого состояния Sj, дости- жимого из Sk; Sk достижимо из Sj. В противном случае Sk называется несуще-

ственным состоянием.

Пример 3.1. Частица, находящаяся на прямой, движется по этой прямой под влиянием случайных толчков, происходящих в моменты t1, t2, t3; : : : . Частица может находиться в точках с целочисленными координатами 1; 2; 3; 4; 5; в точ-

ках 1 и 5 находятся отражающие стенки. Каждый толчок перемещает частицу вправо с вероятностью p и влево с вероятностью q, если частицы не находятся

у стенки. Если же частица находится у стенки, то любой толчок переводит ее на единицу внутрь промежутка [1; 5]. Найти матрицу перехода P и ей соответ-

ствующий граф.

Решение. Пусть Sk, k = 1, 2, 3, 4, 5. Тогда граф перехода выглядит следующим образом (рис. 3.1).