Теория случайных процессов и системы массового обслуживания. Учебное пособие

21

Процессы рождения-гибели

Важный класс марковских процессов составляют процессы рождения-гибели. Процесс рождения N(t) с интенсивностями 0; : : : ; n; : : : > 0 и начальным состоянием N(0) = 0 это неубывающий процесс, который можно охарактери-

зовать двумя способами:

1) N(t) это такой процесс, что для любых t > 0 и i приращение N(t + )N(t) на интервале [t; t + ) условно не зависит от прошлого fN(s); s tg при условии, что N(t) = k и имеет следующие вероятности:

P (N(t + ) = kjN(t) = k) = 1 k + o( );

P (N(t + ) = k + 1jN(t) = k) = k + o( );

P (N(t + ) > k + 1jN(t) = k) = o( );

2) N(t) это такой процесс, который находится в состоянии k 0 в те- чение случайного времени k, распределенного по экспоненциальному закону с параметром k, независимо от предыдущей истории, а затем совершает скачок в состояние k + 1 или остается навсегда в состоянии k при условии k = 0.

Матрица Q такого процесса, как нетрудно проверить, является верхнетре-

угольной матрицей. Чтобы найти эту матрицу воспользуемся прямым или обратным уравнением Колмогорова. Как следует из первого способа характеризации процесса, эти уравнения имеют вид:

22

5. Системы массового обслуживания

Простейшие марковские модели. Классификация Кендалла

Система массового обслуживания предполагается заданной, если задан входящий поток заявок, время обслуживания, количество обслуживающих устройств и размеры накопителя. В простейших случаях входящий поток заявок описывается пуассоновским процессом с параметром , время обслужи-

вания случайно и распределено по экспоненциальному закону с параметром , задано число n обслуживающих устройств (каналов), а также размер очереди r.

В соответствии с этими параметрами Кендаллом было предложено классифицировать СМО по этим параметрам. В частности, символ MjMjnjr в класси-

фикации Кендалла означает, что рассматривается СМО с пуассоновским входящим потоком, экспоненциальным временем обслуживания, n каналами и оче-

редью величины r. Вначале мы будем рассматривать системы с естественной

дисциплиной обслуживания, а именно обслуживание в порядке поступления, однако могут быть реализованы и системы с более сложными вариантами, в частности системы с приоритетным обслуживанием. Может также быть ограничено время пребывания заявки в системе и время ожидания начала обслуживания. В классификации Кендалла вместо буквы M могут стоять буквы E,

что соответствует эрланговскому распределению, HE гиперэрланговскому распределению или G; что соответствует общему распределению.

Система MjMj1j1

Âсоответствии с классификацией Кендалла система MjMj1j1 это СМО

ñодним обслуживающим устройством и неограниченной очередью, у которой входящий поток пуассоновский с параметром > 0, а времена обслуживания

заявок являются независимыми случайными величинами, имеющими экспоненциальный закон распределения с параметром . Выведем уравнения, опи-

сывающие распределение числа заявок в системе.

Обозначим (t) число заявок в системе в момент t. Процесс (t) является марковским процессом, который может принимать значения 0; 1; 2; : : : . Таким образом, множество состояний X этого процесса это множество X = = f0; 1; 2; : : : g. Для того чтобы вывести систему прямых уравнений Колмогорова, рассмотрим, что может произойти с системой за малый интервал времени , и найдем выражения для величин pkj( ) вероятностей перехода из состояния k в состояние j за время .

1.За время с вероятностью 1 + o( ) не поступит ни одной заявки.

Èесли в системе имеются заявки, то с вероятностью 1 + o( ) не бу-

23

дет обслужена ни одна из них. Значит, если в момент t система находилась в состоянии k, (t) = k, то она останется до момента t + в том же состоянии с вероятностью p00( ) = 1 + o( ), если k = 0 с вероятностью pkk( ) = [1 + o( )][1 + o( )] = 1 ( + ) + o( ) ïðè k > 0.

2.С вероятностью +o( ) может прийти одна заявка, и тогда, если (t) =

=k 0, за время система перейдет из состояния k в состояние k + 1 и при

ýòîì pk;k+1( ) = + o( ).

3. С вероятностью + o( ) будет обслужена одна заявка и система за время перейдет из состояния k в состояние k 1, при этом pk;k 1( ) = + + o( ), i 0.

Вероятности остальных переходов имеют порядок малости o( ). Таким образом, процесс является процессом рождения-гибели, причем k = ; k = .

Обозначим через pk(t) вероятность того, что в момент времени t в системе находится k заявок. Воспользовавшись формулой полной вероятности и полу- ченными выше соотношениями, мы придем к соотношениям

p0(t + ) = (1 )p0(t) + p1(t) + o( );

pk(t + ) = (1 ( + ) )pk(t) + pk 1(t) + pk+1(t) + o( ); i 1:

Из полученных соотношений, как нетрудно проверить, разделив на и переходя к пределу при ! 0, можно получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Стационарное распределение очереди

Предположим, что с течением времени процесс (t) стремится к стационарному режиму, т. е. pk(t) ! pk; pk > 0, и не зависит от начального состояния(0). Стационарные вероятности pk при этом удовлетворяют следующей системе уравнений:

Рассмотрим следующую диаграмму переходов (рис. 5.1).

24

Ðèñ. 5.1

Суммарный поток вероятностей, входящий в состояние k, складывается из интенсивности перехода из состояния k 1, умноженной на вероятность pk 1 этого состояния, и интенсивности перехода из состояния k + 1 в состояние k, умноженной на его вероятность pk+1, а суммарный поток вероятностей, выходящий из состояния k, получается сложением интенсивностей за счет поступления новой заявки и за счет окончания обслуживания заявки на приборе, умноженных на вероятность pk состояния k. Приравнивая суммарные потоки вероятностей, входящих в состояние k и выходящих из него, получаем k-е урав-

нение системы.

Из уравнений локального баланса вытекают соотношения

ãäå = .

Для определения парметров воспользуемся условием нормировки

11

При этом условие < 1 является необходимым и достаточным для существования стационарного режима функционирования системы MjMj1j1. При

выполнении этого условия из (5.4) следует, что p0 = 1 , откуда в силу (5.3) получим

т. е. стационарное распределение числа заявок в системе MjMj1j1 является геометрическим. Величина , входящая в это распределение, является отно-

шением среднего числа заявок, поступивших в систему за единицу времени к среднему числу заявок, обслуженных в системе за единицу времени. Эту вели- чину называют загрузкой системы.

26

Напомним, что время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с параметром , а стационарное распределение V (x) времени пребывания

заявки в системе имеет преобразование Лапласа вида

Стационарное среднее время ожидания начала обслуживания w и пребывания заявки в системе v задается соотношениями

Формулы Литтла

Сравнивая среднее число заявок в системе N со стационарным средним временем v пребывания заявки в системе, мы видим, что справедливо соотношение

N = v;

называемое формулой Литтла. Аналогичное соотношение связывает также величины Q и w:

Q = w:

Нестационарные характеристики

Для того чтобы найти нестационарное распределение pk(t) числа заявок в системе, вернемся к рассмотрению системы (6.1) и дополним ее заданием на- чальных условий. Обычно считают, что в начальный момент система свободна, следовательно, p0(0) = 1; pk(0) = 0; k 1. Однако можно задавать и другие

начальные условия. Для того чтобы найти решение системы (6.1), рассмотрим производящую функцию процесса (t), P (t; z) = P1k=0 pk(t)zk. Умножая

k-å уравнение системы на zk и суммируя, приходим к следующему соотноше-

Заметим, что в последнем выражении нужно еще задать величину 0(s).

Для этого рассмотрим функцию f(z) = z2 + (s + + )z . Поскольку f(0) = и f(1) = s, то квадратное уравнение

z2 + (s + + )z = 0

имеет два корня при всех s > 0:

причем оба корня z1; z2 положительны, z1 < 1, z2 > 1. Знаменатель дроби в (5.7) обращается в нуль при всех s > 0 и z = z1(s). Функция (s; z) задана при всех значениях s > 0 и 0 z 1, и, в частности, при z = z1(s). При этом в этих же точках числитель дроби (5.7) также должен обращаться в ноль, т. е.

P (z(s)) 0(s) z(1s) 1 = 0; откуда

z(s)P (z(s))0(s) = (1 z(s)) :

Нахождение интересующих нас величин осуществляется с помощью вычисления обратных преобразований.

6. Система MjMjnjr

Система MjMjnjr это СМО с n обслуживающими устройствами и r местами

в очереди (накопителе). Входящий поток в такой системе это пуассоновский поток с параметром , время обслуживания на любом приборе это независи-

мые экспоненциально распределенные случайные величины с одним и тем же параметром . Если заявка приходит в заполненную систему, то она уходит и

больше не возвращается.

Уравнения для распределения числа заявок в системе

Обозначим (t) число заявок в системе в момент t. Процесс (t) представляет собой марковский процесс с пространством состояний X = f0; 1; 2; : : : ; n+rg.

28

Выведем систему прямых уравнений Колмогорова, для чего рассмотрим возможные переходы системы из состояния k в момент времени t за промежуток

времени . Предположим, что в момент времени t система находится в состоянии i, и найдем вероятности pkj( ) того, что в момент времени t + она окажется в состоянии j. При этом могут быть реализованы три варианта.

1. Пусть k < n. В этом случае все находящиеся в системе заявки обслуживаются. Вероятность того, что за время процесс (t) не выйдет из состояния k, равен произведению вероятности 1 +o( ) того, что за время не поступит новая заявка на вероятность (1 + o( ))k того, что за это время ни одна из k заявок не будет обслужена, т. е. равна pkk( ) = 1 ( + k ) + o( ). Вероятность перехода за время из состояния k в состояние k + 1 равна

pk;k+1( ) = + o( ) вероятности поступления новой заявки в систему, а вероятность перехода из k в k 1 равна pk;k 1( ) = k + o( ), поскольку каждый из k занятых приборов может закончить обслуживание за время .

Остальные переходы имеют вероятности o( ).

2. n k n + r. В этом случае все приборы заняты. Следовательно, вероятность через время остаться в состоянии k равна pkk = 1 ( + n ) + o( ), а перейти в состояние k 1 за это же время pk;k 1( ) = n +o( ); наконец, вероятность перейти из состояния k в состояние k+1 равна pk;k+1( ) = +o( ).

3.k = n + r. В этом случае поступившая заявка теряется. Следовательно,

âсостоянии n + r в течение времени k n + r система может остаться с ве-

роятностью pn+r;n+r = 1 n + o( ) и перейти из него в состояние n + r 1 с вероятностью pn+r;n+r 1

Из полученных соотношений вытекает, что процесс (t) является процессом рождения-гибели с интенсивностями k = ïðè k = 0; 1; : : : ; n + r 1, n+r = 0,

k = k ïðè k = 0; 1; : : : n 1 è k = n ïðè k = n; n + 1; : : : ; n + r.

Обозначим pk(t) = P f (t) = kg; k = 0; 1; : : : ; n + r распределение числа заявок в системе в момент t. Тогда для величин pk(t+ ) мы получим следующие соотношения:

p0(t + ) = (1 )p0(t) + p1(t) + o( );

pk(t + ) = [1 ( + k ) ]pk(t) + pk 1(t) + (k + 1) pk+1(t) + o( ); k = 0; : : : ; n 1;

pn+r(t + ) = (1 n ) pn+r(t) + pn+r 1(t) + o( ):

Вычитая pk(t) из обеих частей равенства, деля на и переходя к пределу при! 0, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений: