Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория случайных процессов и системы массового обслуживания. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

585 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

В заключение найдем функцию распределения времени ожидания начала обслуживания. Рассмотрим нестационарный режим. Пусть в момент t система

находится в состоянии (t) = (k; j) с вероятностью pk;j(t) и в систему поступает заявка. Обозначим x время, которое прошло после поступления этой заявки. Нам нужно определить функцию распределения W (t; x) = P ( < x) момента

поступления этой заявки на обслуживание. С этой целью мы рассмотрим новый процесс ~(x); x 0, определяемый точно так же, как и процесс (t), но

обладающий еще одним состоянием, которое обозначим ( 1). Точнее говоря, состояние ( 1) соответствует тому случаю, когда в системе, наряду с данной заявкой, за которой мы следим, находится еще k повторных заявок и прибор либо свободен (j = 0), либо занят (j = 1). Попадание в состояние ( 1) при этом

означает, что началось обслуживание той заявки, за которой мы следим, и дальнейшее поведение системы нас не интересует. Другими словами, состояние ( 1)

это поглощающее состояние.

Для процесса ~(x); x 0 интенсивности входов во все состояния (k; j) совпадают с аналогичными интенсивностями для процесса (t). Однако из состояний (k; 0), и только из них, процесс ~(x); x 0 может перейти в состояние ( 1).

Такой переход соответствует тому, что выделенная заявка произвела повторную попытку, которая оказалась удачной. При этом интенсивность перехода из любого состояния (k; 0) в состояние ( 1) равна . Поскольку состояние ( 1)

поглощающее, то интенсивность выхода из него равна нулю.

Обозначим rkj(x) = P f~(x) = (k; j)g; r( 1)(x) = P f~(x) = ( 1)g: Система уравнений Колмогорова при этом имеет вид

8r010

(x) =

( + )r01(x) + r00(x) + r10(x);

rk0 0

(x) = (

+ k +

)rk0

(x) + rk1(x); k

>r0

(x) =

( + )r

(x) + r

1;1

(x) + r

(x)+

(10.13)

> k1

<+ (k + 1)rk+1;0(x); k

>r(0

1)(x) =

k=0 rk0

(x):

>функция

Заметим, что

совпадает с функцией распределения

W (t; x)

r( 1)(x)

виртуального времени ожидания в момент t.

Для того чтобы задать естественные начальные условия для системы (10.13) заметим, что, если в момент t прибор свободен (процесс (t) находится в состо-

янии (k; 0)), то поступающая в этот момент выделенная заявка сразу же поступает на обслуживание. При этом процесс ~(x); x 0 вместо состояния (k; 0) сразу попадает в состояние ( 1). Если же процесс (t) в момент t находится в состоянии (k; 1), то и процесс ~(x); x 0 в момент 0 также будет в состоя-

нии (k; 1). Таким образом, начальные условия для уравнений системы (10.13)

имеют вид	1
	1
	Xk
	rk0 = 0; r(1) = pk0	(t); rk1(0) = pk1(t):
	=0

Систему (10.13) можно исследовать аналогично тому, как была исследована система (10.1). При этом функция распределения выражается в терминах преобразования Лапласа, а не в терминах стационарного преобразования Лапласа, и это нужно иметь в виду. Далее время пребывания заявки в системе равно сумме времени ожидания начала обслуживания и самого времени обслуживания.

11. Практикум и примеры практических заданий

В этой части пособия мы приведем полезную сводку формул, определяющих различные параметры систем массового обслуживания и важных для практиче- ского применения теории, а также сформулируем основные критерии качества СМО.

Критерии качества СМО Одноканальная система с отказами

Модель одноканальной системы массового обслуживания (СМО) с отказами (потерями) является простейшей из всех моделей, используемых для решения задач теории массового обслуживания. Система массового обслуживания в этом случае состоит только из одного канала ( n = 1), и на нее поступает пуассонов-

ский поток заявок с интенсивностью , которую будем считать не зависящей от

времени. Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему необслуженной. Заявка, заставшая канал свободным, поступает на обслуживание, которое продолжается в течение случайного времени tserv, распределенного

по показательному закону с параметром , плотность распределения tserv имеет âèä f(t) = e t.

Поток обслуживания представляет собой, таким образом, простейший (пуассоновский) поток с интенсивностью . Чтобы представить себе этот поток, мож-

но вообразить один непрерывно занятый канал, который будет формировать поток обслуженных заявок интенсивности .

СМО с отказами характеризуются следующими величинами. Относительная пропускная способность q отношение среднего числа обслуженных заявок за

единицу времени к среднему числу всех поступивших заявок за то же время,

т. е. средняя доля обслуженных заявок среди всех поступивших. Абсолютная пропускная способность A среднее число заявок, которое может обслужить

СМО в единицу времени.

Рассмотрим единственный канал обслуживания как систему, которая может находиться в одном из двух состояний: 0 канал свободен, 1 канал занят.

Граф состояний системы имеет вид


0		1
0		1

Ðèñ. 11.1

Из состояния 0 в 1 система переходит при поступлении заявки из потока заявок с интенсивностью , из 1 в 0 она переходит после обслуживания заявки,

находящейся в канале, это событие, соответствующее потоку обслуживания с интенсивностью . Обозначим p0(t) è p1(t) вероятности состояний 0 и 1. Оче- видно,

p0(t) + p1(t) = 1:

(11.1)

Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний

имеют вид

(

dpdt0	= p0(t) + p1(t);	(11.2)
dp1	= p1(t) + p0(t);
dt	= p1(t) + p0(t);

а соответствующие начальные условия

p0(0) = 1; p1(0) = 0:

(11.3)

Из двух уравнений в (11.2) одно является лишним ввиду условия (11.1). Учитывая это, отбросим второе уравнение в (11.1), а в первое подставим

p1(t) = 1 p0(t). В результате мы полуим уравнение

dp0

p0(t) + (1

p0(t))

èëè

dp0

= (

+ )p0(t) + ;

p0(0) = 1:

(11.4)

Если = const, то решение (11.4) имеет вид

p0(t) =

e ( + )t:

(11.5)

Нетрудно видеть, что при t ! 1 получим limt!1 p(t) = + . В одноканаль- ной системе с отказами вероятность p0 совпадает с пропускной способностью q.

Действительно, есть вероятность того, что в данный момент канал свободен, иначе говоря это вероятность того, что заявка, пришедшая в систему, будет обслужена. В пределе при t ! 1, когда процесс обслуживания установился,

предельное значение относительной пропускной способности равно:



q =				:				(11.6)
	+
A = q:								(11.7)
В пределе при t ! 1
A =					:
		+
Potk = 1 q = 1						=		:

			+				+

Вероятность отказа средняя доля необслуженных заявок среди всех поступивших. Нахождение предельных вероятностей состояний системы p0 (âå- роятность того, что в системе находится 0 заявок) и p1 (вероятность того, что в системе находится 1 заявка) несложно отыскивается на основании решений уравнений Колмогорова для стационарного режима.

Многоканальная система с отказами

Рассмотрим многоканальную систему с отказами, содержащую n каналов. Состояния этой системы это множество V = f0; 1; : : : ; ng, где k = 0; : : : ; n состояние, при котором k каналов заняты. Граф состояний такой СМО при n = 5 имеет следующий вид (рис. 11.2).

2	3	4		5
1	2	3	4		5
1	2	3	4		5

Рис. 11.2 Уравнения Колмогорова для многоканальной СМО с отказами имеют вид

8dpdt0		= p0 + p1;
>
>	dp		: :(: : :+: : :):p:1: +: : : :p:0:+: : :2: :p:2:;: : : ;				(11.8)
>:dt:1: :=: :			: :(: : :+: : :):p:1: +: : : :p:0:+: : :2: :p:2:;: : : ;				(11.8)
>
>
>dpk		=	( + k )pk + pk 1 + (k + 1) pk+1; 0 < k < n;
< dt		=	( + k )pk + pk 1 + (k + 1) pk+1; 0 < k < n;
>dpdtn =				n pn	+ pn	1:
>

Во многих практических задачах нас интересуют именно характеристики предельного установившегося режима обслуживания. Можно доказать, что для любой системы с отказами такой предельный режим существует при больших временах, т. е. что при t ! 1 все вероятности p0(t); : : : ; pn(t) стремятся к по-

стоянным пределам p0; : : : ; pn, а все их производные к нулю. Чтобы найти предельные вероятности p0; : : : ; pn (вероятности состояний системы в установившемся режиме), заменим в нестационарных уравнениях все вероятности их пределами, а все производные положим равными нулю. Получим систему уже не дифференциальных, а алгебраических уравнений

> p0 + p1 = 0;

> p0 ( + )p1 + 2 p2 = 0;

pk 1 ( + k )p1 + (k + 1) pk+1
> pn 2 ( + (n 1) )pn 1 + n pn
>	pn
>	pn	1 n pn = 0:
>
>
>
>

=0; 0 < k < n 1;

=0; 0 < k < n;

К этим уравнениям необходимо добавить условие

pk = 1:

k=0

(11.9)

(11.10)

Разрешим систему (11.9) относительно неизвестных p0; : : : ; pn. Из первого уравнения имеем

p1 =

p0:

(11.11)

Из второго, с учетом (11.11),

[ p0 + ( + )p1) =

p2 =

p0;

(11.12)

2 2

аналогично из третьего, с учетом (11.11) и (11.12),

p3 =

[

]p0 =

p0;

2 2

3! 3

и вообще для любого k n

pk =

p0:

(11.13)

k! k

Введем обозначение

	=	(11.14)

и назовем величину приведенной плотностью потока заявок. Это есть не что

иное, как среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки. Действительно,

a = = tserv;

ãäå

tserv среднее время обслуживания одной заявки. В новых обозначениях формула (11.5) примет вид

	k
pk =	k! p0:	(11.15)

Формула (11.7) выражает все вероятности pk через p0. Чтобы выразить их непо- средственно через a и n, воспользуемся условием (11.10). Подставив в него (11.15), получим

n	n	k
Xk	X
pk = p0	k=0	k!	= 1;
=0	k=0

откуда

p0 =

(11.16)

Подставляя (11.16) в (11.15), получимP

k=0 k!

окончательно

pk =

; 0 k n:

(11.17)

Pk=0 k!

Формулы (11.16), (11.17) называются формулами Эрланга. Они задают предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности системы обслуживания. Полагая k = n в формуле (11.17), получим вероятность отказа (вероятность того, что

поступившая заявка найдет все каналы занятыми):

Potk = pn =	n			1			;	(11.18)
			n			k
	n!	Pk=0
					k!

В частности, для одноканальной системы ( n = 1)

Potk = p1 =		;	(11.19)
	1 +

			57
а относительная пропускная способность
q = 1 Potk =	1	:	(11.20)

	1 +

Формулы Эрланга (11.17) и их следствия выведены для случая показательного распределения времени обслуживания. Однако исследования последних лет показали, что эти формулы остаются справедливыми и при любом законе распределения времени обслуживания, лишь бы входной поток был простейшим.

Одноканальная СМО с неограниченной очередью MjMj1j1

Рассмотрим граф, отвечающий финальному состоянию СМО с одним каналом и неограниченной очередью. Он имеет следующий вид (рис. 11.3).

	10		21			32		43
0	01	1	12		2	23	3	34	4 : : : : : :
0		1			2		3		4 : : : : : :
				Ðèñ. 11.3
Для начального состояния 0 имеем
				01p0 = 10p1:					(11.21)
Для следующего состояния 1 имеем
			( 12 + 10)p1 = 01p0 + 21p2						(11.22)

и в силу (11.21) имеем 12p1 = 21p2 и далее k 1;kpk 1 = k;k 1pk. Таким образом, финальные вероятности удовлетворяют уравнениям

> 01p0 = 10p1;

k;k

(11.23)

1;k

<: : : : : :

= n;n

1pn;

> n

1;kpn

и условию нормировки

pk = 1:

(11.24)

: : : : : :

58 Решая эту систему уравнений, получим

								p1 =				01		p0;								(11.25)
								p1 =				10		p0;								(11.25)
												10
				p2		=		12		p1 =				12 01				p0;				(11.26)

								21						21 10
								21						21 10
è								k 1;k : : : 12 01
				pk		=		k 1;k : : : 12 01										p0:				(11.27)
								k;k 1 : : : 21 10
Ïðè ýòîì																n 1;n : : : 12 01
	01				12 01											n 1;n : : : 12 01						(11.28)
p0(1 +			+						+				+						) = 1
p0(1 +	10		+		21 10				+				+			n;n 1 : : : 21 10			) = 1
è		01					12 01										n 1;n : : : 12 01				1
		01					12 01				+						n 1;n : : : 12 01				1
p0 = (1 +				+											+					)		:
p0 = (1 +		10		+		21 10									+		n;n 1 : : : 21 10			)		:

Формулы Литтла

Обозначим через X(t) число заявок, прибывших в СМО до момента t, через Y (t) число заявок, покинувших СМО до момента t, и, наконец, Z(t) = = X(t) Y (t) число заявок в системе. Среднее число заявок, находящееся в системе к моменту t, вычисляется по формуле

N = T Z0

Z( )d = T

ti =

ti :

(11.29)

T число заявок, пришедших в систему за время T . Если мы разделим сумму всех времен ti на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе Wsyst: Таким образом,

N = Wsyst; Wsyst = 1N:

Многоканальная СМО с ограниченной очередью

Рассмотрим n-канальную систему массового обслуживания с ожиданием.

Будем считать входящий поток заявок на обслуживание простейшим потоком с интенсивностью . Интенсивность потока обслуживания равна . Длитель-

ность обслуживания случайная величина, подчиненная показательному закону распределения с параметром . Поток обслуживаний является простейшим

пуассоновским потоком событий. Размер очереди допускает нахождение в ней

r заявок. Для нахождения предельных вероятностей можно использовать следующие выражения:

pk =

p0; k = 1; 2; n;

n+1

pn+i

p0;

i = 1; : : : ; m;

n n!

n m k

p0 = 1 +

k=1

n k

(

)k+1

1 :

= 1 +

n+m

Potk = pn+m = nmn! ; q = 1 Potk = 1 nmn! p0;

n+m

A = 1 nmn! po :

Среднее число занятых каналов

Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает (в отли- чие от СМО с отказами) со средним числом заявок в системе. Отличие равно числу заявок, ожидающих в очереди. Обозначим ns среднее число занятых ка-

налов. Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени, а СМО в целом A заявок в единицу времени. Разделив A на , получим

	A		n+m
ns =		= 1		po :
			nmn!

Среднее число находящихся в очереди заявок

Для нахождения среднего числа ожидающих в очереди заявок в случае, если= n 6= 1, можно использовать выражение

nw =	n+1	p0	1 m(m + 1 m )	:
			(1 )2
	nn!

Åñëè = 1, òî

	n+1
nw =	nn! p0[1 + 2 + + m]:

Среднее число находящихся в системе заявок

n = ns + nw:

Среднее время

tw ожидания заявки в очереди

Среднее время ожидания заявки в очереди можно найти из выражения ( 6= 1):

tw =	1	nw =	nw	=	n	p0	1 m(m + 1 m )	:
					n n!		(1 )2

Среднее время пребывания заявки в системе

Так же как и в случае с одноканальной СМО, имеем:

	nw	+ q :
t = tw + ts =		+ q :

Показатели эффективности СМО

Рассмотрим примеры расчета показателей эффективности СМО. Важнейшими показателями эффективности СМО с отказами являются сле-

дующие параметры:

1)абсолютная пропускная способность системы;

2)относительная пропускная способность системы.

Абсолютной пропускной способностью СМО называется среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени Относительной пропускной способностью СМО называется средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой, т. е. отношение среднего числа заявок, которое может обслужить система за единицу времени, к среднему числу заявок, поступивших

âсистему за это время.

Âнекоторых практических задачах используются и другие показатели эффективности СМО с отказами, например среднее число занятых каналов, среднее относительное время простоя системы, среднее относительное время простоя отдельного канала и т. п. В качестве показателей эффективности СМО с неограниченным ожиданием применяются следующие параметры:

1) среднее число заявок в очереди;

2) среднее число обслуживаемых заявок;

3) среднее время ожидания заявки в очереди;

4) среднее время обслуживания заявки.

Поскольку в СМО с неограниченным ожиданием каждая заявка в конце концов обслуживается, то для таких систем абсолютная пропускная способность совпадает с интенсивностью входящего потока заявок.

У СМО с ограниченным ожиданием в качестве показателей эффективности используются как показатели эффективности СМО с отказами, так и показатели эффективности СМО с неограниченным ожиданием.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]