Теория случайных процессов и системы массового обслуживания. Учебное пособие

42

стояний Xk = f0; 1; 2; : : : ; kg и рассмотрим переходы из множества Xk â ìíî-

Поскольку процесс (t) не является процессом рождения-гибели, решение полученной системы не удается найти в явном виде. Однако можно получить

некоторые рекуррентные формулы на основе (8.3). Обозначим rk = pk ; k 0 è

p0

в силу (8.3) получим

где l среднее число заявок в группе, а в правой части получим (1 p0), откуда следует, что l = (1 p0): Таким образом,

и мы видим, что условие < 1 является необходимым для существования ста-

43

k-е уравнение системы на zk и суммируя, получим

Решая последнее уравнение, получим

1 z

P (z) = (1 ) (1 z) z(1 L(z)):

Моменты числа заявок в системе нетрудно получить, вычисляя производные функции P (z) в точке z = 1.

=1

Наконец, стационарная средняя длина очереди Q равна

Q = N :

Стационарное распределение времени пребывания заявки в системе

Если поступившая заявка застала в системе k заявок, то первая заявка из

группы будет ожидать обслуживания в течение некоторого промежутка времени, величина которого распределена по закону Эрланга Ek(x) с параметрами

; k, если k > 0, но с другой стороны, она равна нулю, если система свободна, т. е. k = 0. Воспользовавшись формулой полной вероятности, получим, что преобразование Лапласа ! (s) стационарного распределения W (x) времени ожидания начала обслуживания первой заявки из поступившей группы имеет вид

Для вывода выражения для стационарного распределения времени ожидания начала обслуживания произвольной заявки напомним, что заявка поступает с вероятностью kll=l в группе, содержащей k заявок, причем с одинаковой веро-

то она ждет начала своего обслуживания после момента начала обслуживания

44

первой заявки из группы в течение времени, распределенного по закону Эрланга с параметрами , j 1. Таким образом, по формуле полной вероятности

мы получим, что произвольная заявка будет ждать начала обслуживания после момента начала обслуживания первой заявки из группы такой случайный период времени, для которого преобразование Лапласа его распределения имеет вид

Наконец, общее время ожидания начала обслуживания произвольной заявки состоит из времени ожидания начала обслуживания первой заявки из группы, в которую она поступила, и времени между началом обслуживания первой и произвольной заявки. Поэтому преобразование Лапласа стационарного распределения времени ожидания начала обслуживания произвольной заявки имеет

Стационарное распределение V (x) времени пребывания заявки в систем имеет преобразование Лапласа вида

Стационарное среднее время ожидания начала обслуживания и время пребывания в системе имеют вид

45

Нестационарные характеристики

Для того чтобы найти нестационарные характеристики рассматриваемой СМО, рассмотрим производящую функцию процесса (t), описывающего число

заявок в системе в момент t, т. е. функцию

1

X

P (t; z) = pk(t)zk;

k=0

ãäå pk(t) = P f (t) = kg, и применим к ней преобразование Лапласа, чтобы

следовалось соответствующее уравнение для СМО MjMj1j1.

10. Система MjMj1j0 с повторными заявками

Рассмотрим СМО в которых входящий поток заявок представляет собой сумму новых заявок и заявок, пытавшихся ранее попасть в систему на обслуживание, так называемых повторных заявок. Такие СМО встречаются, например, в различных телефонных системах. С одной стороны, заявка, заставшая занятыми все n приборов в системе, получает отказ, с другой стороны, она может

повторить попытку попасть в систему, становясь повторной заявкой. Рассмотрим простейшую СМО такого типа систему MjMj1j0 с повторными

заявками. В этой системе, так же как и в рассмотренной выше СМО MjMj1j0, входящий поток пуассоновский с параметром , времена обслуживания заявок распределены по экспоненциальному закону с параметром . Заявка, получив-

шая отказ, становится повторной заявкой. Мы предполагаем, что повторная заявка не может попасть на прибор сразу, как только прибор освободился. Она может попасть в систему, только предприняв повторную попытку и застав прибор свободным. Повторные попытки каждая заявка производит через случайное

46

время, которое, по предположению, распределено по экспоненциальному закону с параметром . При этом после каждой неудачной попытки заявка (как

вновь поступившая, так и повторная) может принять решение не возвращаться в систему с вероятностью q.

Пусть (t) число повторных заявок в системе в момент времени t и (t) величина, равная 1 в момент времени t, если прибор занят, и 0, если прибор свободен. Рассмотрим двумерный процесс (t) = ( (t); (t)) с пространством состояний X = f(k; j); k = 0; 1; : : : ; j = 0; 1g, где пребывание в состоянии (k; j) означает, что в системе имеется k повторных заявок и прибор свободен, если j = 0 и занят, если j = 1. Двумерный процесс является марковским, и его пере-

ходные вероятности за промежуток времени могут быть описаны следующим образом.

Из состояния (k; 0); i 0 за малое время можно перейти в состояние (k; 1) с вероятностью + o( ) за счет того, что в систему поступила новая заявка, которая сразу поступает на обслуживание, и в состояние (k 1; 1) с вероятностью k + o( ) за счет того, что одна из k повторных заявок совершила

удачную повторную попытку.

Из состояния (k; 1) за малое время можно перейти в состояние (k; 0) с вероятностью + o( ) за счет того, что окончилось обслуживание заявки, находившейся на приборе, в состояние (k +1; 1) с вероятностью (1 q) +o( )

за счет того, что поступила новая заявка и, застав прибор занятым, с вероятностью 1 q осталась в системе и стала повторной, и в состояние (k 1; 1) с веро-

ятностью k q + o( ) за счет того, что одна из k повторных заявок совершила

неудачную повторную попытку и после этого ушла из системы. Вероятности остальных переходов имеют порядок o( ).

Очевидно, что процесс (t) не является процессом рождения-гибели. Обозначим через pk0(t) = P f (t) = k; (t) = 0g вероятность того, что в

системе в момент t находится k повторных заявок и прибор свободен, а че- рез pk1(t) = P f (t) = k; (t) = 1g вероятность того, что в системе в момент t находится k повторных заявок и прибор занят. Тогда pkj(t) удовлетворяют следующей системе уравнений Колмогорова:

>

>

>

:+ pk0(t) + (k + 1)pk+1;0(t) + q(k + 1)pk+1;1(t); k 1:

48

ãäå

XY

Можно показать, что если q > 0, то ряд (9.5) сходится при всех значениях ;

и > 0, а если q = 0, то только при = < 1. Более того, в этих случа- ях существуют стационарные вероятности pkj; k 1; j = 0; 1; которые можно

вычислить, используя (10.4) и (10.5).

Приведем вывод этих формул с помощью производящей функции.

Пусть Pj(z) = P1 pkjzk; j = 0; 1. Умножая k-е уравнение на zk и сумми-

k=0

руя, получим

Эта система линейных однородных дифференциальных уравнений может быть сведена к уравнению Бесселя. Полагая q = 0, что соответствует случаю абсо-

лютно настойчивых заявок, мы получим систему

Выражая из первого уравнения P1(z) через P0(z) и подставляя во второе, по-

лучим

(1 z)P00(z) P0(z) = 0;

ãäå = загрузка системы, а = . Решение этого уравнения имеет вид

P0(z) = C(1 z) 1 :

Отсюда с учетом первого уравнения в (10.7) вытекает, что

P1(z) = C(1 z) 1 1 :

49

Производящая функция стационарного распределения числа повторных заявок в системе задается выражением

P (z) = P0(z) + P1(z) = C[1 + (1 z)](1 z) 1 1 :

Постоянная C определяется из условия нормировки P (1) = 1, а значит, C = = (1 )1+ 1 : Дифференцируя по z функции P0(z) è P1(z) и подставляя z = 0, покажем, что pk0 è pk1 имеют вид

При q = 0 стационарное среднее число N повторных заявок в системе и

стационарная вероятность Pw=0 того, что поступившая в систему заявка будет обслужена с первой попытки, имеют вид

N = P 0(1) = (1 + );(1 )

1

X

Pw=0 = pk0 = P0(1) = 1 :

k=0

Нестационарные характеристики

Пусть q = 0. Для нахождения нестационарных вероятностей pkj(t) рассмотрим производящую функцию

50

Применяя преобразование Лапласа и обозначая

ãäå P0(z) = P1k=0 pk0(0)zk; P1(z) = P1k=0 pk1(0)zk: Выражая из уравнения (10.10)1(s; z) через 0(s; z) и подставляя в уравнение (10.11), получаем

= ( + + s z)P0(z) + P1(z):[ z2 ( + + s)z + ]

Уравнение

z2 ( + + s)z + = 0

имеет два положительных корня z1(s) z2(s) при всех s > 0, причем z1(s) < 1, z2(s) > 1. Поэтому, разлагая входящие в уравнение (10.12) дроби на простые, можно записать его в виде

где a = a(s); b = b(s); а D = D(s; z) функция непрерывная по переменной z в области jzj < 1 при всех s > 0. Нетрудно показать, что a < 0. Решая последнее уравнение, получаем

Z

0(s; z) = jz z1jajz z2jb D(z)jz z1j ajz z1j 1jz z2j bdz + C :

Для определения C необходимо заметить, что 0(s; z) непрерывная по z при jzj < 1 функция, в том числе и в точке z1. Но тогда выражение в квадратных скобках должно быть равно нулю в этой точке, следовательно,

Z z2

0(s; z) = jz z1jajz z2jb D(u)ju z1j aju z1j 1ju z2j bdu:

z1