Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория случайных процессов и системы массового обслуживания. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

585 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Величину D, определяемую как среднее число заявок, обслуженных системой за единицу времени, называют иногда интенсивностью выхода D = = (1 ) = n.

Стационарное среднее число заявок в системе можно определить, воспользовавшись соотношением N = Q + n.

Стационарное распределение времени пребывания заявки в системе

Стационарное распределение W (x) времени ожидания начала обслуживания заявки, поступившей в систему MjMjnjr, вычисляется так же, как и для системы MjMj1j1. При этом заявка, заставшая в системе k других заявок, немедленно поступает на обслуживание, если k < n, и ждет начала обслуживания столько времени, сколько необходимо для обслуживания k n + 1 заявок полностью загруженной системой, если n k < n + r. При полностью загруженной системе заявки выходят после обслуживания с интенсивностью n .

Поэтому время ожидания начала обслуживания заявки, заставшей в системе n+k, 0 k r заявок, распределено по закону Эрланга Ek+1(x). Воспользовав-

шись формулой полной вероятности и учитывая то, что распределение W (x) является условным (при условии принятия заявки в систему), получаем

W (x) =

"n 1 pk + r 1 pn+kEk+1(x)#

"Pw=0

+ r 1 pn+kEk+1(x)#;

k=0

откуда, применяя преобразование Лапласа, получаем

"Pw=0 + n pn

r 1

# =

!(s) =

e sxdW (x) =

(s + n )k+1

k=0

Pw=0

+ n pn

s+n

s + n

Поскольку время обслуживания не зависит от времени ожидания, то стационарное распределение времени пребывания в системе заявки, принятой к обслуживанию, имеет преобразование Лапласа вида

			2			1		r
	1 e sxdV (x) =	1
'(s) =		1		Pw=0	+ n pn		s+n			:
'(s) =		1		Pw=0	+ n pn	s + n				:
Z0		1				s + n			3 s +
			4						5
			4						5

Стационарное среднее время ожидания начала обслуживания w и пребывания заявки в системе v задается соотношениями

			r
w = !0(0) =	n		(n )2			1 pn ;
w = !0(0) =		n	(n )2			1 pn ;
				[(r + 1)n	r ]

v = '0(0) = w + 1:

Нестационарные характеристики

Для нахождения нестационарного распределения числа заявок в системе следует вернуться к решению системы (6.1) и задать начальное распределение pk(0):

Если r < 1, то система (6.1) представляет собой систему обыкновенных

дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Если же r = 1, то удобно перейти к рассмотрению производящей функции P (t; z) = P1k+0 pk(t)zk. При этом возникнет уравнение, которое будет содержать n неизвестных функций p0(t); : : : ; pn 1(t), преобразование Лапласа которых определяется из тех же соображений о нулях числителя и знаменателя, которые были использованы выше.

7. Система MjMj1j1 с нетерпеливыми заявками

Рассмотрим одноканальную СМО, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с параметром , имеющую неограниченный накопитель. Пусть

время обслуживания заявки распределено по экспоненциальному закону с параметром . Мы будем считать, что среди поступивших заявок могут находиться

нетерпеливые заявки, которые могут покинуть систему, не дождавшись обслуживания. При этом заявка может уходить только из очереди, прождав случайное время, имеющее экспоненциальный закон распределения с параметром .

Обозначим (t) число заявок в системе. При этом (t) это марковская цепь с непрерывным временем, переходные вероятности pkj(t) = P f (t) = jj (0) = kg которой можно описать следующим образом. За время цепь может перейти из состояния k в состояние j с вероятностью pkj( ). Ïðè ýòîì

pk;k+1( ) = + o( );

pk;k 1( ) = + (k 1) + o( ):

Переход из состояния k в состояние k 1 может происходить либо за счет того,

что закончено обслуживание очередной заявки, либо за счет того, что одна из k 1 заявок, стоящих в очереди, оказалась нетерпеливой и покинула систему.

Наконец,

pkk( ) = 1 [ + + (k 1) ] + o( ):

Все остальные переходы из состояния k в состояние k j при j > 1 совершаются с вероятностью o( ): Таким образом, (t) это неоднородный процесс рождения-гибели, у которого k = ; k 0 k = + (k 1) ; k 1. Соответствующие прямые уравнения Колмогорова для распределений pk(t) = P f (t) = kg имеют вид

(pk0	(t) =	( + + (k			1) )pk(t) + pk 1(t) + ( + i )pk+1(t);	k 1: (7.1)
p00	(t) =	p0	(t) + p1	(t);

Полученная бесконечная система сложна для исследования, и мы попытаемся вначале найти ее стационарное решение pk. Стационарные вероятности pk того, что в системе находится k заявок, при этом удовлетворяют системе алгебраических уравнений:

(0 =	(	0+ + (k1		1) )pk(t) + pk 1(t) + ( + k )pk+1(t);	i 1:	(7.2)
0 =	p (t) + p		(t);

Уравнение локального баланса имеет вид
				pk = ( + k )pk+1; k 0:		(7.3)

Из соотношений (7.3) вытекают следующие выражения для стационарных вероятностей pk:

pk = p0

k 1:

(7.4)

( + )

( + (k

1) );

Поскольку ряд

( + ) ( + (k 1) )

расходится, а ряд

( + )

( + (k

1) )

сходится при любых значениях параметров, то стационарное распределение существует при любых значениях параметров. Вероятность p0 определяется из

условия нормировки Pk1=0 pk = 1 и имеет вид							1
		1		k
p0	=	"1 +				#	:
p0	=	"1 +	( + )	( + (k	1) )	#	:
		Xk
		=1

Стационарное среднее число заявок N в системе и средняя длина очереди Q определяются соотношениями

k k

N =

( + )

(

+ (k

1) );

k=1

kpk = p0

Q =

(k 1)p = p

(k 1) k

( + (k

1) )

k=1

Просуммировав уравнения локального баланса (6.3) по всем i, получим

= (1 p0) + (k 1)pk = (1 p0) + Q:

k=1

Физический смысл этого соотношения состоит в том, что в стационарном режиме интенсивность входящего потока равна сумме интенсивности (1 p0)

потока обслуженных заявок и интенсивности Q потока нетерпеливых заявок.

Стационарное распределение времени пребывания заявки в системе

Рассмотрим вначале поведение терпеливой заявки, т. е. заявки, не покидающей очередь. Обозначим Wk(x) функцию распределения времени ожидания начала обслуживания для заявки, заставшей в момент прихода в системе k

других заявок. Первая из этих заявок уйдет из системы через время, распределенное по экспоненциальному закону с параметром + (k 1) . Заметим, что

это может быть как заявка, завершившая обслуживание, так и заявка, не дождавшаяся начала обслуживания. Следующая заявка уйдет из системы через время, распределенное по экспоненциальному закону с параметром + (k 2)

и т. д. Преобразование Лапласа функции распределения Wk(x) имеет вид

!	(s) =	1 e sxdW	(x) =	+ (k 1)	+ (k 2)		:
				s + + (k 1)	s + + (k 2)
k	Z0	k				s +

Функция распределения общего времени ожидания начала обслуживания для терпеливой заявки определяется по формуле полной вероятности и имеет преобразование Лапласа вида

"1 +

#p0:

!(s) = !k(s)pk =

s + + (k

s +

k=0

Одна из основных характеристик системы с нетерпеливыми заявками это стационарная вероятность PS того, что заявка будет обслужена. Как следует из приведенных выше рассуждений, заявка, заставшая в момент прихода в системе k других заявок, закончит ожидание в интервале времени (x; x + dx)

с вероятностью dWk(x), если до момента x не уйдет из очереди. Но вероятность того, что она не уйдет из очереди до момента x, равна e x. Таким образом,

используя формулу полной вероятности, мы получим, что вероятность того, что заявка, заставшая в системе k заявок, дождется момента обслуживания,

задается выражением

Z 1

PS;k =

e xdWk(x) = !k( ) =

+ (k 1)

+ (k 2)

s + + (k

s + + k

Применяя еще раз формулу полной вероятности, получим

PS =

k=0

	1		k
PS;kpk = p0	"1 +				# =	(1	p0): (7.5)
PS;kpk = p0	"1 +	( + )		( + k )	# =	(1	p0): (7.5)
	Xk
	=1

Определим в заключение стационарное распределение времени пребывания заявки в системе. Заявка, заставшая в момент прихода в системе k других за-

явок, на интервале (x; x+dx) может с вероятностью e x[1 Wk(x)] не дождаться начала обслуживания и уйти из системы, а может с вероятностью e xdWk(x)

дождаться начала обслуживания и поступить на обслуживание. При этом она дополнительно проведет в системе случайное время , имеющее экспоненциаль-

ное распределение с параметром . Заметим, что время пребывания в первом

случае будет иметь преобразование Лапласа вида e sx, а во втором e sx s+ : Применяя формулу полной вероятности, получим выражение

Z 1 Z 1

'k(s) = e sxdVk(x) = e sx e x[1 Wk(x)]dx+

0 0

1
+ Z0	e sx		e xdWk(x)
		s +

для преобразования Лапласа 'k(s) функции распределения Vk(x). Вычисляя первый интеграл по частям, получим

'k(s) =

[1 !k(s + )]

!k(s + ) =

s +

( )s

(s + ); k

s +

(s + )(s + ) k

Применяя еще раз формулу полной вероятности, получим

'(s) =

1 e sxdV (x) =

(s)p

!(s + ):

k=0

(s + )(s + )

s +

Нестационарные характеристики

Введем в рассмотрение производящую функцию P (t; z) =

k1=0 pk(t)zk: Óìíî-

жая k-е уравнение (8.1) на z

и суммируя по k = 0; 1; : : : ,

получим

@P (t; z)

+ (z 1)

= (z

1) P (t; z) +

1)p

(t):

P (0; z) = P (z) =

pk(0)zk; p0(t) = P (t; 0):

Вводя преобразование Лапласа

(s; z) = Z0

1 e stP (t; z)dt;

0(s) = Z0

1 e stp0(t)dt;

мы получим линейное дифференциальное уравнение

s (s; z) P (z) + (z

(s; z) =

= [ (z

1)] (s; z) +

(s):

(7.6)

Решение уравнения (7.6), с учетом начального условия

(s; 0) = 0(s), имеет

âèä

(s; z) = z

s z

P (u)

s u

du: (7.7)

(s)

u) e

Поскольку (1 z) s

стремится к бесконечности при z ! 1 и s > 0, а (s; z)

стремится к конечному пределу (s; 1) =

1 e stdt = 1

части (8.7) должен стремиться к нулю,

s , то интеграл в правой

0(s) = 1 0

откуда следует

u 1(1 u)s 1P (u)e u du 0

u 2(1 u)s e u du

Если же < , то решение уравнения (8.6) можно представить в виде

(s; z) = z1

(1 z) e

(s)

P (u) +

du + z 1 (s) :

(1 u) e

(s)u

Используя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим следующее выражение для 0(s):

0(s) = Z0

u 1(1 u) 1P (u)e

du ( Z0

2[(1 u) e

1]du +

Случай = исследуется аналогично.

8. Системы с конечным числом источнииков

Рассмотрим одноканальную СМО конечной емкости m, на вход которой поступают заявки от m одинаковых источников. Каждый источник посылает только

одну заявку и, пока она не будет обслужена, других заявок не посылает. Время от момента возвращения заявки в иcточник до момента следующего поступления ее в систему распределено по экспоненциальному закону с параметром .

Время обслуживания каждой заявки также распределено по экспоненциальному закону с параметром . Примером такой системы является обслуживание

одним наладчиком системы m станков.

Обозначим (t) число заявок в системе в момент t. Процесс (t) имеет конеч- ное число состояний X = f0; 1; 2; : : : g. Опишем вероятности переходов системы(t) за малое время . За время система может перейти из состояния k в состояние k 1 с вероятностью pk;k 1( ) = + o( ), в состояние k + 1 с вероятностью pk;k+1( ) = (m k) + o( ), поскольку если в системе находится k заявок, то число источников, из которых может поступить заявка, равно m k,

а каждый такой источник посылает заявку с вероятностью + o( ). Наконец, вероятность того, что система останется в состоянии k за время равна pkk( ) = 1 [ (m k) + ] + o( ) ïðè k = 1; : : : ; m è pkk( ) = 1 m + o( )

ïðè k = 0.

Ñпомощью стандартных рассуждений отсюда следует, что вероятности pk(t) =

=P f (t) = kg удовлетворяют следующей системе уравнений

><p00(t) = m p0(t) + p1(t);

p0k(t) = ((m k) + )pk(t) + (m 1 + 1) pk 1(t) + pk+1

:p0m(t) = pm(t) + pm 1(t):

Стационарное распределение очереди

(t); k m 1;

(8.1)

Процесс является процессом рождения-гибели с конечным числом состояний, и все его состояния общаются между собой. Его стационарные вероятности удовлетворяют системе (рис. 8.1):

>0 = m p0(t) + p1(t);

0 = ((m k) + )pk(t) + (m 1 + 1) pk 1(t) + pk+1(t); k m 1;

:0 = pm(t) + pm 1(t):

(8.2)

k 1	(m k + 1)	k	(m k)	k + 1	(m k 1)	k + 2	(m k 2)	k + 3

Ðèñ. 8.1

Применяя принцип локального баланса, получаем следующие уравнения локального баланса:

(m k)pk = pk+1;	k = 0; : : : ; m 1;					(8.3)
решая которые находим			" m	(m)k k# 1
pk = p0(m)k k; k = 1; : : : ; m;	p0 =	m	" m	(m)k k# 1	;	(8.4)
		Xk	X
		=0	k+0

ãäå = ; (m)k = (m k)(m (k 1)) : : : 3 2.

Стационарное среднее число N заявок в системе задается соотношением

m
Xk	k(m)k k:
N = p0	k(m)k k:
=1

Для стационарной средней длины очереди Q получаем

m
Xk	(k 1)(m)k k = N (1 p0):
Q = p0	(k 1)(m)k k = N (1 p0):
=1

Таким образом, справедливо равенство

N = Q + 1 p0:

(8.5)

Еще одно полезное соотношение можно получить из (8.2) суммированием этих равенств по k, в результате чего получим

(m N) = (1 p0):

(8.6)

Соотношение (8.3) отражает равенство интенсивностей потоков заявок, поступающих в систему и обслуженного ею. Это позволяет определить пропускную способность D:

D = (1 p0) = (m N):

Важной характеристикой рассматриваемой системы, называемой системой Энгсета, является вероятность kг того, что произвольно выбранный источник мо-

жет послать заявку. В примере с ремонтником kг представляет собой стацио-

нарную вероятность того, что станок находится в рабочем состоянии, и его называют коэффициентом готовности. Если в системе находится k заявок, то

произвольный источник находится среди способных посылать заявку с вероятностью m k

m . Воспользовавшись формулой полной вероятности, получим

kã =	m	m k	p = p	m	(m 1) k =		m N	=		(1 p ):
kã =	X		p = p		(m 1) k =			=		(1 p ):
	X	m k 0		Xk		k	m		m 0
	k=0			=0

Стационарное распределение времени пребывания заявки в системе

Так же как в системе MjMj1j1, время ожидания начала обслуживания заявки, заставшей при поступлении k других заявок, распределено по закону Эр-

ланга Ek(x) с параметрами и k и, следовательно, имеет преобразование Лапласа вида "k(s) = (s+ )k. Если же k = 0, то поступающая заявка сразу поступает

на обслуживание, т. е. "0(s) = 1.

При вычислении стационарной вероятности наличия в системе k заявок

непосредственно перед поступлением произволной заявки следует иметь в виду, что входящий поток не является пуассоновским и, следовательно, эта ве-

роятность не совпадает с pk. В связи с этим введем в рассмотрение случайные

величины k = ( k 0), ãäå k момент поступления k-й заявки. Последовательность f k ; k 1g образует однородную цепь Маркова, множество состояний

которой совпадает с множеством X n fmg, и существует ее предельное стацио-

нарное распределение limt!1 P f k = jg = pj > 0.

Ïðè ýòîì pk это стационарная вероятность наличия в системе k заявок в момент прихода новой заявки. Стационарные вероятности pk è pk связаны

соотношениями

p = kpk ; k = 0; : : : ; m 1;

k D

ãäå k = (m k); D = (m N): Отсюда с учетом (8.3) получим

pk = p0	(m)k=1 k
			; k = 0; : : : ; m 1:
	m	N

Воспользовавшись формулой полной вероятности, вычислим преобразование Лапласа стационарного распределения W (x) времени ожидания начала об-

служивания:

!(s) =

m 1

k=0

+ s

k	pk =		p0		m 1 k(m)k+1	:

		m		N k=0 ( + s)k
					X

Преобразование Лапласа стационарного распределения V (x) времени пре-

бывания заявки в системе получим, с учетом того, что оно складывается из времени ожидания начала обслуживания и экспоненциально распределенного времени обслуживания, в виде

'(s) = !(s):

+ s

Стационарное среднее время ожидания w начала обслуживания и время пребывания заявки в системе v имеет вид

m 1 k k(m)k+1

w = !0(0) =

(8.7)

k+1

1)(m)k k

= D ;

v = '0(0) =

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]