Теория случайных процессов и системы массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
71
Предельная вероятность состояния 0 для схемы рождения-гибели имеет вид
p0 = 1 + |
|
+ |
2 |
+ + |
n |
|
1 |
|
2! 2 |
n! n |
|
èëè ïðè = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p0 = 1 + + |
2 |
|
|
n |
|
1 |
|
|
+ + |
|
; |
||||
2! |
n! |
||||||
|
|
|
n |
|
|
||
p1 = p0; : : : ; pn = |
|
p0: |
|
||||
n! |
|
||||||
Вероятности p0; p1; : : : ; pn+1 вычисляются по следующим формулам Эрланга:
|
(n+2 |
||
|
|
1 |
|
p0 = |
|
1 n+2 |
|
|
|
1 |
|
6= 1 |
pk = kp0; k = 1; 2; : : : ; n + 1: |
= 1 |
|
Поскольку заявка получает отказ, если СМО занята, а в очереди находятся n заявок, то Potk = pn.
Приведенная интенсивность потока заявок вычисляется, как и выше, по
формуле = |
|
|
|
|
|
|
|
q |
. Далее получаем для относительной пропускной способности |
|
|||||||
|
|
|
n |
|
||||
q = Pserv = 1 Potk = 1 pn = 1 |
|
p0 |
|
|||||
n! |
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
||
го, справедливы формулы |
n |
A = |
q = (1 |
|
p0): Кроме то- |
|||
n! |
||||||||
и для абсолютной пропускной способности |
|
|
|
|
|
|
|
|
P
k = k=0 kpk: Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность
системы A есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных систе-
мой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает
в среднем заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов
A n k = = 1 n! p0 :
Формулы для расчетов
Приведенная интенсивность потока заявок вычисляется по формуле = : Вероятности p0; p1; :::; pn вычисляются по формулам Эрланга:
8p0 |
= k |
k=0 k! |
|
|
1 |
; |
|||||
|
|
n |
|
k |
|
|
|
|
|||
<pk |
= k!P0 |
; k |
= 1 2 |
; : : : ; n: |
|||||||
: |
|
|
p |
|
|
|
|
; |
|
||
72
Поскольку заявка получает отказ, если все каналы обслуживания заняты, то
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
Potk = pn = |
|
|
|
p0: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Кроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
q = 1 Potk = 1 |
|
p0; |
A = q = |
1 |
|
p0; |
||||||||
n! |
n! |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
n |
|
|||||
Pserv = 1 Potk = q; |
k |
= |
|
|
1 |
|
|
p0 : |
||||||
|
n! |
|||||||||||||
Пример 9. В условиях примера 1 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.
Решение. Интенсивность нагрузки канала = 9030 = 3, т. е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора
tserv = 2 мин поступает в
среднем 3 заявки на переговоры.
Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n = = 2; 3; 4; : : : и определим характеристики обслуживания для получаемой n- канальной СМО. Например, при n = 2 имеем
p0 = 1 + 3 + |
32 |
|
1 |
|
= 0; 118 0; 12; |
||
2! |
q = 1 322 0; 118 = 0; 471 0; 47; A = 90 0; 471 = 42; 4: 2!
Расчет значений характеристик СМО
Значение характеристик СМО сведем в табл. 4.
По условию оптимальности q 0; 9, следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае q = 0; 9 (см. табл. 4). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок ( A = 80; 1, а
среднее число занятых телефонных номеров (каналов)
k = 80,1/30 = 2; 67.
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
число телефонных номеров |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
относительная пропускная способность |
0,25 |
0,47 |
0,65 |
0,79 |
0,90 |
0,95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
абсолютная пропускная способность |
22,5 |
42,4 |
58,8 |
71,5 |
80,1 |
85,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет показателей эффективности одноканальной СМО с ограни- ченной очередью
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
|
|
|
Список используемых терминов и обозначений |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Термин |
|
Обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Длина очереди |
|
m (m > 0) |
|
|
|
|
|
||
2 |
|
Интенсивность входящего потока заявок |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
3 |
|
Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
4 |
|
Приведенная интенсивность потока заявок |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
5 |
|
Вероятность того, что СМО свободна и может |
|
|
||
|
|
|
|
обслужить заявку |
|
p0 |
6 |
|
Вероятность того, что СМО занята, а в очереди нет заявок |
|
p1 |
||
7 |
|
Вероятности того, что СМО занята, а в очереди находятся |
|
|
||
|
|
1; 2; : : : ; m заявок соответственно |
|
p2; : : : ; pm+1 |
||
8 |
|
Относительная пропускная способность СМО |
|
q |
||
|
|
|
|
|
||
9 |
|
Абсолютная пропускная способность СМО |
|
A |
||
|
|
|
|
|
||
10 |
|
Вероятность того, что заявка будет обслужена |
|
Pserv |
||
11 |
|
Вероятность того, что заявка получит отказ |
|
Potk |
||
12 |
|
Среднее число заявок, стоящих в очереди |
|
r |
||
|
|
|
|
|
||
13 |
|
Среднее число заявок в СМО (обслуживаемых |
|
|
||
|
|
|
и стоящих в очереди) |
|
||
|
|
|
|
|
|
k |
14 |
|
Среднее время ожидания заявки в очереди |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
twait |
15 |
|
Среднее время пребывания заявки в СМО |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
tCMO |
Постановка задачи |
|
|
|
|||
|
Параметры m; и известны. |
|
|
|||
|
Требуется найти |
; p0 |
|
|
||
|
|
|
; p1; p2; : : : ; pm+1; q; A; Pserv; Potk; r; k; twait; tCMO. |
|||
74
Расчет показателей эффективности одноканальной СМО с неограни- ченной очередью
|
|
Таблица 6 |
|
|
Список используемых терминов и обозначений |
||
|
|
|
|
N |
Термин |
Обозначение |
|
|
|
|
|
1 |
Длина очереди |
1 |
|
2 |
Интенсивность входящего потока заявок |
|
|
|
|
|
|
3 |
Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок |
|
|
|
|
|
|
4 |
Приведенная интенсивность потока заявок |
|
|
|
|
|
|
5 |
Вероятность того, что СМО свободна |
|
|
|
и может обслужить заявку |
p0 |
|
6 |
Вероятность того, что СМО занята, а в очереди |
|
|
|
нет заявок |
p1 |
|
7 |
Вероятности того, что СМО занята, а в очереди |
p2; : : : , |
|
|
находятся 1; : : : ; m; : : : заявок, соответственно |
pm+1; : : : |
|
8 |
Относительная пропускная способность СМО |
q |
|
|
|
|
|
9 |
Абсолютная пропускная способность СМО |
A |
|
|
|
|
|
10 |
Вероятность того, что заявка будет обслужена |
Pserv |
|
11 |
Вероятность того, что заявка получит отказ |
Potk |
|
12 |
Среднее число заявок, стоящих в очереди |
nw |
|
13 |
Среднее число заявок в СМО (обслуживаемых |
|
|
|
и стоящих в очереди) |
n |
|
14 |
Среднее время ожидания заявки в очереди |
twait |
|
15 |
Среднее время пребывания заявки в СМО |
t |
|
Постановка задачи
Параметры и известны. Требуется найти ; p0; p1; : : : ; pm+1; q, A, Pserv,
,
Potk, r,k twait, tCMO:
Формулы для расчетов
Приведенная интенсивность потока заявок вычисляется, как и выше, по формуле = < 1:
Если в формулах перейти к пределу при m ! 1, то получим следующие формулы:
(
p0 = 1 ;
pk = kp0; k = 1; 2; : : : :
75
В случае очереди бесконечной длины каждая заявка в конце концов будет об-
служена. Следовательно, Potk = 0; |
q = 1 Pserv; |
A = : |
|
|
|
|
||||||||
Кроме того, справедливы формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
r = |
1 |
; |
k = |
1 |
; |
twait |
= |
(1 ) |
; |
tCMO |
= |
(1 ) |
: |
|
Пример 10. На вход многоканальной СМО с отказами поступает поток заявок, интенсивность которого составляет 11 заявок/час. Среднее время обслуживания одной заявки 0,15 часа. Каждая заявка приносит доход 130 руб., а содержание одного канала обходится в 122 руб./час. Найти оптимальное число каналов СМО.
Решение. Воспользовавшись данными из условия задачи и обозначениями, принятыми выше, проведем следующие вычисления:
= 11 заявок/час; = |
|
1 |
|
= 6; 67 заявок/час; |
= |
|
= |
11 |
= 1; 65: |
0; 15 |
|
6; 667 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
Из условия задачи также вытекает, что в случае, если СМО имеет n каналов, она приносит доход D = D(n), который можно определить по формуле
D = 130A 122n;
где A = A(n) абсолютная пропускная способность СМО. В случае когда число каналов n = 1, получаем
|
p0 = |
|
1 |
|
|
|
|
= 0; 38; A = (1 p0) = 11(1 1; 65 0; 38) = 4; 1; |
|||||||||||||||||
|
1 + |
||||||||||||||||||||||||
|
|
D = 130 A 122 n = 130 7; 26 122 2 = 699; 8 ðóá./÷àñ. |
|||||||||||||||||||||||
Ïðè n = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1; 652 |
|
|
|
|||||||
p0 = |
|
|
|
|
|
|
= 0; 25; |
A = (1 |
|
p0) = 11(1 |
|
|
|
|
0; 25) = 7; 26: |
||||||||||
1 + + |
2 |
2! |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ïðè n = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1; 653 |
|
|||||
p0 = |
|
|
|
|
|
|
= 0; 21; |
A = (1 |
|
p0) = 11(1 |
|
|
|
0; 21) = 9; 27; |
|||||||||||
1 + + |
2 |
|
+ |
3 |
|
3! |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D = 130 A 122 n = 130 9; 27 122 3 = 839; 1 ðóá./÷àñ.
76
Ïðè n = 4
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1; 654 |
|
|
|
|
|||||||||||||
p0 = |
|
|
|
|
|
|
|
= 0; 25; |
A = (1 |
|
|
p0) = 11(1 |
|
|
|
|
|
|
0; 2) = 7; 26: |
||||||||||||
1 + + |
|
2 |
|
2! |
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ïðè n = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1; 653 |
|
|||||||||
p0 = |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= 0; 20; A = (1 |
|
p0) = 11(1 |
|
|
|
|
|
|
0; 2) = 10; 32; |
||||||||||||
1 + + |
2 |
+ |
3 |
|
4! |
4! |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
3! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
D = 130 A 122 n = 130 10; 32 122?4 = 853; 6 ðóá./÷àñ. |
||||||||||||||||||||||||||||
Ïðè n = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1; 654 |
|
|
|
|
|||||||||||||
p0 = |
|
|
|
|
|
= 0; 25; |
A = (1 |
|
|
p0) = 11(1 |
|
|
|
|
|
|
0; 2) = 7; 26: |
||||||||||||||
1 + + |
|
2 |
|
2! |
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ïðè n = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1; 655 |
|
|
|
|||||||||||||
p0 = |
|
|
|
|
|
|
|
= 0; 19; |
A = (1 |
|
p0) = 11(1 |
|
|
0; 19) = 10; 79; |
|||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
k |
|
5! |
120 |
|||||||||||||||||||||||
|
1 + + Pk=2 k! |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ðóá./÷àñ. |
||||||||||||||||||
|
|
|
D = 130 A 122 n = 130 10; 79 122 5 = 792; 7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Сравнивая доходы, поступающие от СМО в случаях n = 1; 2; 3; 4; 5, замечаем,
что при увеличении числа каналов от одного до четырех доход растет и при n = 4 становится наибольшим. Это значение и является оптимальным.
Ответ. Оптимальным является наличие в СМО 4 каналов.
Пример 11. К пункту мойки автомашин, рассчитанному на одну автомашину, подъезжает в среднем 5 машин в час. Процесс мойки одной автомашины занимает в среднем 15 минут. Рядом с пунктом мойки расположена площадка для ожидающих мойки автомашин, вмещающая 3 автомашины. Если площадка занята, то приезжающие для мойки автомашины уезжают в другие пункты мойки. Определить показатели эффективности этой СМО.
Решение. Данная СМО является одноканальной СМО с очередью на 3 заявки. Интенсивность входящего потока заявок = 5 заявок/час. Интенсивность
выходящего потока обслуженных заявок = 6015 заявок/час. Приведенная ин- тенсивность = = 54 = 1; 25.
Воспользовавшись далее соответствующими формулами, получим
p0 = |
1 |
= 0; 12; p4 = 4p0 = 0; 29; Potk = p4 = 0; 29; |
|
1 5 |
|||
|
|
77
q = Pserv = 1 Potk = 1 p4 = 1 0; 29 = 0; 71; |
A = q = 5 0; 71 = 3; 55: |
||||||||||||
r = |
2[1 3(4 3 )] |
= |
1; 252[1 1; 253(4 3 1; 25)] |
= 1; 57; |
|||||||||
(1 5)(1 ) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
(1 1; 255)(1 1; 25) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
1:57 |
|||
k = r + 1 p0 = 1; 57 + 1 0; 12 = 2; 45; twait = |
|
|
= |
5 |
= 0; 31; |
||||||||
|
|
r |
|
|
0; 71 |
|
|
|
|
|
|
||
|
tcmo = |
|
+ q = twait + q = 0; 31 + |
4 |
|
= 0; 49: |
|
||||||
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.Дан простейший поток событий, интенсивность которого составляет 15 событий в минуту. Найти:
1.1.Среднюю длину отрезка времени между последовательными событиями.
1.2.Вероятность того, что интервал времени между последовательными событиями составит от 8 до 12 секунд.
2.Ателье по ремонту бытовой техники имеет четырехканальную телефонную линию. Интенсивность потока входящих телефонных звонков составляет 0,4 вызова в минуту. Средняя продолжительность разговора сотрудника ателье
ñклиентом по телефону равна 4 минутам. Найти:
2.1.Вероятность того, что в телефонной линии занято ровно 3 канала.
2.2.Вероятность того, что клиент не смог соединиться с ателье.
2.3.Относительную пропускную способность этой СМО.
2.4.Абсолютную пропускную способность этой СМО.
2.5.Среднее число занятых каналов.
3. На автозаправочной станции (АЗС) есть только одна топливораздаточ- ная колонка (ТРК). Автомобили прибывают на АЗС в соответствии с пуассоновским процессом, имеющим интенсивность 20 автомобилей/час. Прибывший автомобиль, заставший на АЗС n машин, немедленно покидает АЗС с вероятно-
ñòüþ qn = n4 и занимает очередь с вероятностью 1 qn; n = 0; 1; 2; 3; 4: Машины обслуживаются в порядке очереди. Время обслуживания распределено по экс-
поненциальному закону. Среднее время обслуживания 3 минуты.
1.Найти стационарное распределение числа автомобилей на АЗС.
2.Найти среднее число автомобилей на АЗС.
3.Определить среднее общее время, проведенное на АЗС (sojourn time = время ожидания плюс время обслуживания), для водителя, решившего заправиться на данной АЗС.
78
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.Что называется потоком событий?
2.Какой поток событий называется простейшим потоком?
3.Что называется интенсивностью потока событий?
4.Какая СМО называется многоканальной СМО?
5.Как классифицируются СМО?
6.Что называется абсолютной пропускной способностью СМО?
7.Что называется относительной пропускной способностью СМО?
8.Что называется приведенной интенсивностью потока заявок?
9.В чем состоит схема расчета показателей эффективности одноканальной СМО с отказами?
10.В чем состоит схема расчета показателей эффективности многоканальной СМО с отказами?
11.В чем состоит схема расчета показателей эффективности одноканальной СМО с ограниченной очередью?
12.В чем состоит схема расчета показателей эффективности одноканальной СМО с неограниченной очередью?
Рекомендуемая литература
1.Кельберт М., Сухов Ю. Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения / М. Кельберт. М.: МЦНМО, 2010.
2.Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания / Г. И. Ивченко. М.: Наука, 2012. .
3.Рыков В., Козырев Д. Основы теории массового обслуживания. Основной курс. Марковские модели, методы марковизации: уч. пособие / В. Рыков.М.: Инфра-М, 2016.
4.Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория массового обслуживания / П. П. Бо- чаров. М.: Изд-во РУДН, 1995.
Оглавление
1.Случайные величины и их характеристики . . . . . . . . . . . . . . 3
2.Марковские цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.Цепи Маркова с дискретным временем . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. Марковские цепи с непрерывным временем . . . . . . . . . . . . . 16
5.Системы массового обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6. Система MjMjnjr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.Система MjMj1j1 с нетерпеливыми заявками . . . . . . . . . . . . 32
8.Системы с конечным числом источнииков . . . . . . . . . . . . . . 37
9. |
Система с групповым поступлением заявок . . . . . . . . . . . . . |
41 |
10. |
Система MjMj1j0 с повторными заявками . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
11. |
Практикум и примеры практических заданий . . . . . . . . . . . |
52 |
Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
78 |
|
Учебное издание
Белопольская Яна Исаевна
Васильчук Владимир Юрьевич
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Учебное пособие
Редактор и корректор Е. Г. Терскова Компьютерная верстка В. Ю. Васильчука
Подписано к печати 15.10.2019. Формат 60 84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 4,65. Тираж 100 экз. Заказ 127. ¾С¿ 61. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4. Отпечатано на МФУ. 198095, Санкт-Петербург, ул. Розенштейна, д. 32, лит. А.