Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория случайных процессов. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
2. Законы распределения случайных процессов
И теперь найдем вероятность события
пользуя одномерный закон распределения случайной величины
Y
i
p
i
Можем окончательно записать:
Замечание 8: Так как понятие дифференцируемости для случайных функций определяется
особым образом. Далее в разделе, где будут рассматриваться вопросы сходимости, непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости случайных процессов будет показано,
'
действительно является производной случайного процесса
что
2
tttYX
в среднем квадратическом.
2ttY
PY PY
()PG P t
–1 1
12 12
01
возрастают при
1
.
2
Y :
00tPY
. Ис-
Пример 2.5. Дан случайный процесс
Причем
вероятность того, что реализации случайного процесса при 0t возрастают.
Решение:
1. Введем обозначение, пусть событие
реализаций случайного процесса дифференцируема по аргументу
возрастания функции на интервале, (для того, чтобы дифференцируемая функция
интервале
То есть для нашей случайной функции можем записать:
Y имеет симметричное относительно нуля распределение и
была возрастающей, необходимо и достаточно, чтобы для каждого
,ab
'
,,tab
).
0ft
tXtYt
Gt
возрастают при
, где X и Y – случайные величины.
00PY
. Так как каждая из
0t
t , то используя критерий
'
или
. Найти
на
ft
0t
'
. А для этого необходимо и достаточно, чтобы случайная ве-
20 2ttY Y t
личина
ной, то можно подобрать такое значение параметра
Y
была неотрицательной, т.е. 0Y , потому что если Y могла бы быть отрицатель-
t при котором
31
'
. Други-
20ttY
ми словами, условие
x
x
y
Теория случайных процессов
'
должно выполняться для всех t из указанного интервала, но
0t
при 0Y оно выполняется не для всех
И теперь найдем вероятность события
дачи известно, что
ковым является стандартное нормальное распределение с параметрами
Y имеет симметричное относительно нуля распределение (например, та-
()PG P t
.
0,t
возрастают при
. Из условия за-
0t
0, 1a
)
и также известно, что значение вероятности
писать:
2 вариант решения: (решение взято из сборника задач авторы: Прохоров, Ушаков)
В математическом анализе было дано следующее определение возрастающей функции на
некотором промежутке:
Если для любых значений
неравенство:
данном промежутке.
PY PY PY
000
из некоторого промежутка, таких, что
,
x
12
fxxf
12
то функция
1
.
2
fx
00PY
называется возрастающей функцией на
, поэтому окончательно можем за-
, выполняется
x
12
32
2. Законы распределения случайных процессов
P
Используем это определение. Рассмотрим события
Покажем, что событие случайная величина Yнеотрицательна
0.Y
лентно событию
tt
12
22 22
ttYttY tt Ytt
122 1212
tttt Ytt ttYtt
1212 12 12 12
Когда
1212
tt
12
t tYXt tYX t tYXt tYX
1
Рассмотрим событие
пар точек
12
. Т.е. если мы объединим по всем таким
0tt
tt
12
0
22 22
11 22 11 22
.
00
00
0ttttY
? Если
12 12
0Yt t Y t t
12
0tt Y
, т.к.
tt
12
для любых
12
, эквива-
0Y
0
и
0tt
12
0tt
всегда при
.
tt
12
, это должно выполняться для любых
, то получим событие
12
0tt
tt
12
0
, которое эквивалентно событию, что
tt
12
Реализации процесса возрастают при всех
tXtYt
iii
значение Y
неотрицательно.
12
.
0Y
только те, у которых в уравнении
0tt
Окончательно можем записать:
tt
12
.
Так как известно, что
00PY
. Вероятность
0
Y
Y имеет симметричное относительно нуля распределение и
PY
1
0
.
tt
12
0
2
Пример 2.6. Поток покупателей является простейшим потоком с параметром
ного потока вероятность того, что за время
k
ется формулой Пуассона
k
e
k
!
появится ровно k покупателей, определя-
.
. Для дан-
Процесс
представляет собой число покупателей пришедших от 0 до t
t
начала рабочего дня и до момента времени
этого процесса.
(например, от
t ). Найти одномерную функцию распределения
33
Теория случайных процессов
F
x
Решение: Реализации процесса
временем, могут выглядеть так:
с дискретным множеством состояний и непрерывным
t
Любое из сечений такого процесса дискретная случайная величина, множество значений ко-
торой
0,1, 2, 3,.., n
может быть скачок реализации равный
. У нас дан пуассоновский процесс, у которого в любой момент времени
единице.
Найдем одномерную функцию распределения. Согласно определению:
(, ) (() ),
xt P t x
11
случайного процесса
а это на самом деле вероятность того, что любая из реализаций
, пересечет сечение
t
, ниже уровня x. Т.е. нам нужно найти веро-
t
1
t
i
ятность тех значений, дискретной случайной величины, получающейся в сечении случайного
процесса, которые лежат ниже какого-то наперед заданного
. И очевидно, эта вероятность
может быть найдена так:
x
i
t
(,) (() ) () () 0 () 1 ...
11 1 1
i
,0
ix ix i
iFxtPtx P Pt Pt Pt
1
t
e
!
i
34
2. Законы распределения случайных процессов
X
X
F
P
p
F
p
F
Пример 2.7. Случайный процесс задан соотношением
величина с непрерывной функцией распределения, а 1
Найти вероятность события:
Решение: Введем обозначение. Пусть
событие заключается в том, что функция
один корень, т.е. можем записать:
Так как 0
выполняться
случайная величина
ности попадания случайной величины
t, когда tX
X
01
, или 0 X
X : и 0X , и X
, или
, что очевидно выполняется только в случае, если
хотя бы для одного
0Pt
:,0At
, t
0AX t
t
. Т.е. вероятность нашего события равна вероят-
X в интервал
– детерминированная постоянная.
имеет на интервале
хотя бы для одного
. Поскольку 01t , следовательно должно
,0tX tt
0,1t
хотя бы для одного
. Теперь можем найти искомую
,0
, где X
.
– случайная
по крайней мере
0,1
0,1t
.
0,1t
. Это
вероятность:
непрерывной функцией распределения
Пример 2.8. Случайный процесс представляет собой
ная величина с плотностью
ния процесса
Решение:
1.
Найдем одномерную функцию распределения случайного процесса и его одномерную
плотность. Согласно определению
распределения случайного процесса
величины .V Очевидно, что и плотности распределения случайного процесса
t
.
V
. Из условия известно, что X – случайная величина с
0PA P X
()
x
, тогда
X
0
AP X dFx
. Найти одномерную и двумерную плотности распределе-
x
(,)(())( ) ()
xt Pt x PVx Fx
совпадает с функцией распределения случайной
t
0()
tV
.
X
, где V– непрерывная случай-
, т.е. функция
V
:(,)tpxt
и
()
dF x
случайной величины :V
x
() ()
xpydy
где
V
V
, т.к.
будут совпадать. По определению плотности
x
V
(,) ()
Fxt F x
V
, то и
35
pxt px
,.
V
()
dF x
V
dx
()
pxdx
V
V
,
Теория случайных процессов
F
x
xxx
x
x
p
x
x
2. Попробуем найти двумерную плотность случайного процесса. Запишем по определению
функцию распределения:
,))( , , ) ( ( ) , ( ) ) ( , ) ( min( , ) min( ,
xxtt Pt x t x PVxVx PV xx F xx
1212 1 1 2 2 1 2 12 12
V
По определению двумерной плотности:
(, ,)
pxxtt
,
1212
2
(,,,)
Fxxtt
1212
xx xx
12 12
2
(min( , )
Fxx
V
12
)
Найдем первую частную производную:
0,
x
(min ( , )) (min ( , ))
Fxx xx
V
0, 0,
pxxxxpxxx
12 12
xx
11
xx xx
12 12
(min ( , )), ( ),
VV
12 1 2 1 1 2
(min( , )) (min( , ))
pxx pxx
VV
12 12
1,
12
xx
12
Запишем полученное выражение в более компактном виде, используя функцию Хэвисайда,
которая определяется так:
()
Т.е. можем переписать:
0, 0
1, 0
(min ( , ))
Fxx
x
или
12
1
()
xx
21
0,
xx
12
(),
px xx
V
0, 0 0,
1, 0 1,
112
xxx
21 12
21 12
xxx
xxx
() ( );
121
V
Теперь можем найти:
2
(,,,) ( )
Fxx tt x x
1212 2 1
xx x x
12 2 2
() ( )
px x x
121
V
()
px
1
V
;
Т.к. производной от функции Хэвисайда является дельта функция, определяющаяся так:
,
x
0,
21
;
x
21
()
xx
21
То можем переписать окончательно выражение для двумерной плотности:
2
(, ,,)
Fxxtt
(, ,,) () ( );
pxxtt p x x x
1 212 1 2 1
1 212
xx
12
V
36
2. Законы распределения случайных процессов
x
x
x
x
x
x
На самом деле очевидно, что это формальное выражение для двумерной плотности. Двумерной плотности в обычном ее смысле конечно же не существует.
Можно иначе рассуждать, показывая, что двумерной плотности не существует.
По определению двумерной плотности:
() , ( )
xtxxx txx
P
p xxtt
,
(, ,) lim
1212
lim lim
,0 ,0
xx xx
12 12
,0
xx
12
P
xVx xx Vx x
1112 22
11112 222
xx
12
PV
,
xx xx
12 12
,,
xx xx x
11 1 2 2 2
Рассмотрим событие
,,Vxxx xxx
11 1 2 2 2
, т.е. случайная величина V , должна при-
надлежать пересечению двух интервалов, но указанные интервалы пересекаются тогда и
только тогда, когда
, тогда
x
1 2
ложив:
lim lim
,0 min, 0
xx xx
12 12
xx
12
PV x x x x x x PV xx x
xx
112
.
,, ,
11 1 2 2 2
xx
12
, во всех других случаях пересечение пусто. Пусть например,
x
1 2
в силу малости
. Поэтому продолжаем оценивать предел по-
1
min( , )
xx
12
, где
2
min ,xxx
12
Т.е. двумерная функция плотности действительно не существует.
Пример 2.9. Пусть случайный процесс
2
и
ная величина с параметрами
a
скую функцию случайного процесса
,
t
t
– неслучайная функция. Найти характеристиче-
.
,0,1ttVt
, где V – гауссовская случай-
Решение. Согласно определению, характеристическая функция конечномерного распределе-
ния случайного процесса:
gut ut M i tu
Введем обозначение, пусть
nn
сать
kk
() ()
ut utV
kk kk
11
n
(,,..., ,) exp () .
11
n
ut
k
1
kk
nn k k
, тогда в силу того, что
()
k
1
, выносим V за знак суммы:
() ()
ttV
kk
Vu t
n
kk
k
1
, можем запи-
, – гаус-
()
совская случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия равны:
37
Теория случайных процессов
nnk
MMVutMVMutautm
kkk
() () ()
kk kk k k
111
n n
DDVut тк DV t DV t u t D
k k
() .. ()
kk kk
1 1
2
2
2
.
Учитывая, что для нормально распределённой случайной величины с параметрами распре-
деления
m
и
D
2
характеристическая функция имеет вид:
iu
exp)(
D
2
uiumeMug
,
2
получаем выражение для характеристической функции (t):
11
n
1
k
kknn
i
exp)1()(exp),,,,(
1
DimgeMutiMtutug
.
2
Задачи по теме для самостоятельного решения
1. Случайный процесс ()t формируется так: на оси Ot имеется простейший поток собы-
тий с интенсивностью . Случайный процесс попеременно принимает значения +1 и –
1, при наступлении очередного события в простейшем потоке случайный процесс скач-
ком меняет свое состояние с +1 на –1 или наоборот. Записать одномерный закон распределения этого процесса в виде функции распределения.
2. Пусть U – случайная величина, заданная функцией распределения
мейство конечномерных распределений случайного процесса
3. Случайный процесс задан соотношением
чина с непрерывной функцией распределения, а 1
ная. Пусть
ность события:
– некоторое конечное или счетное подмножество. Найти вероят-
0,D
хотя бы для одного
0Pt
tD
,0tX tt
– детерминированная постоян-
.
, где X
Fx
– случайная вели-
. Найти се-
U
,0tUtt
.
38
2. Законы распределения случайных процессов
s
X
4. Случайный процесс задан в виде
распределенная по нормальному закону с параметрами
плотность распределения случайного процесса
5. Случайный процесс
между собой процессов: сигнала
что сигнал есть детерминированная функция
нормальный стационарный шум с нулевым средним и дисперсией
мерный закон распределения этого процесса.
6. Пусть
торой имеет вид
случайного процесса. При каких
,tt
, где 0t и – случайная величина, плотность распределения ко-
px e x
представляет собой аддитивную смесь некоррелированных
t
x
,0
tVt
. Найти n-мерные функции распределения данного
существуют n-мерные плотности распределения?
n
2
, где V – непрерывная случайная величина,
и помехи
t
.
t
, т.е.
nt
2
. Найти многомерную
и
a
cosst A Bt
() ().tstnt
, а помеха
2
.
Известно,
nt
Записать одно-
–
7. Пусть случайный процесс
чина, с функцией распределения
распределения случайного процесса
8. Пусть случайный процесс
U и V – независимые случайные величины с функциями распределения
Fy
мерную функции распределения.
9. В условиях задачи 8 построить пучок траекторий процесса
10. Случайный процесс
ны с одинаковым гауссовским распределением
. Определить вид реализаций данного процесса
V
.
0,1VR
,0tt
2
,0,1ttVt
Fx
, а
V
.t
, определяется соотношением:
,0,tXtYtt
, где V – некоторая случайная вели-
. Найти многомерную функцию
0t
и его одномерную и n-
t
t
где ,
Y – независимые случайные величи-
. Найти вероятности следующих
0,1N
, если
Fx
U
1, 0UR
где
,tUtV
и
и
событий:
a)
A
b)
At
траектория процесса монотонно не убывает;
1
min 0 .
2
0
t
39
Теория случайных процессов
X
11. Найти плотность вероятности гармонического колебания
щего постоянными амплитуду
пределенную равномерно на интервале
12. Случайный процесс задан соотношением
независимые случайные величины, имеющие гауссовское распределение
Найти вероятности следующих событий:
a)
At
1
b)
At
2
c)
3
счетное подмножество.
d)
4
монотонно не убывает;
неотрицателен;
хотя бы для одного
0At
хотя бы для одного
0At
A и частоту
.
tD
0,t
, но случайную начальную фазу , рас-
,
, где
.
0,D
22
2,0,tX tYtt
– некоторое конечное или
sintA t
. Имею-
где ,
Y -
0,1N
.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]