Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления электрооборудованием и электротехнологиями в сельском хозяйстве. Учебное пособие.pdf
В этом случае уравнение (2.45) имеет два действительных кор-
( )
( )( )
12
1
12
1,
tt
TT
k
y t L k ce ce
SS S
−−
−
= =−+
+α +β
12
12
21 21
;.
TT
cc
TT TT
= =
−−
22
12
−=
2
T
ня α и β. Тогда переходная характеристика
где
(2.50а)
График функции (2.50) имеет вид, представленный на рисунке 2.11.
(2.50)
Y
K
0
Рис. 2.11. Переходная характеристика инерционного звена второго порядка
T
1
T
2
t
Эта характеристика очень напоминает характеристику, представленную на рисунке 2.10, и отличается от нее перегибом в начальной части. Такую характеристику называют характеристикой
инерционного звена второго порядка.
Второй случай
4 0,TT
(2.51)
т.е.
1
T
2.
= (2.51а)
61
В этом случае переходная характеристика
( )
( )
1
2
11 .
t
T
kt
yt L k e
T
ss
−
−
= = + +λ
+λ
22
12
−<
2
T
1
2
2
T
T
= ξ
22 2 2 22
1
21 2 2 2
22
22
1
1 2 1,
T
TS TS T S S TS TS
TT
+ += + + = +ξ +
12
2TT= ξ
2
(2.52)
По внешнему виду она мало отличается от характеристики,
приведенной на рисунке 2.11, т.е. и в этом случае мы имеем дело
с инерционным звеном второго порядка.
Третий случай
4 0,TT
(2.53)
т.е.
1
2.
< (2.53а)
T
В этом случае уравнение имеет комплексные корни. Пусть
. Тогда знаменатель передаточной функции (2.43)
где
, а
ξ=
.
1
2TT
При этом переходная характеристика
( ) ( )
T S TS
1
− −γ
= = − λ +θ
yt L Сe t
k
22
+ξ +
21
1 sin ,
t
(2.54)
(2.55)
где
62
2
T TT
1
2
0
T
T
ξ= =
1
1
; arctg ; ;С
= θ= γ= λ=
λξ
−ξ
(2.55а)
λγ
(см. таблицу 2.1 обратных преобразований Лапласа, поз. 34).
Y
t
0
Рис. 2.12. Переходная характеристика колебательного звена
Графически эта характеристика показана на рисунке 2.12 и
представляет собой затухающие синусоидальные колебания. Все
параметры этих колебаний легко подсчитываются по приведенным
формулам. Если Т1 = 0, то
вативное, т.е. колебания становятся незатухающими (см. рис. 2.13).
Y
0
Рис. 2.13. Переходная характеристика колебательного
, и звено превращается в консер-
t
(консервативного) звена
63
Примером колебательного звена является резонансный контур,
( )
PS
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
22
21
22
21
; 1; ;
1
1
1.
kk
HS HS kTS HS
TS
T S TS
H S k T S TS
= =−=
−
−+
= −+
( )
.
s
H S ke−τ=
состоящий из индуктивности и емкости.
Таким образом, в п. 2.2.1–2.2.6 мы рассмотрели все известные
элементарные звенья. Одновременно они являются типовыми, т.к.
имеют свои специфические, только им присущие переходные характеристики. Однако существуют типовые звенья, которые не являются элементарными, т.к. представляют собой соединение нескольких
звеньев.
2.2.7. Неминимально-фазовые звенья
Пусть в этом случае передаточная функция звена
Hs
= (2.56)
( )
где P(S) и Q(S) полиномы от S.
При этом корни уравнения P(S) = 0 называют нулями, а корни
уравнения Q(S) = 0 – полюсами передаточной функции. Звено называют минимально-фазовым, если все нули и полюса его передаточ-
ной функции имеют отрицательные или равные нулю вещественные
части. Звено называют неминимально-фазовым, если хотя бы один
нуль или полюс его передаточной функции имеет положительную
вещественную часть.
Все рассмотренные выше элементарные звенья относят к минимально-фазовым. Примерами неминимально-фазовых элементарных звеньев являются звенья с передаточными функциями:
К неминимально-фазовым звеньям относят и звено чистого
запаздывания с передаточной функцией:
QS
( )
,
64
2.2.8. Неустойчивые звенья
( )
,
1
k
HSTS=
−
( )
22
2
.
1
k
HS
T S TS=−+
( )
YS
Звенья, у которых корни передаточной функции положительны,
относят не только к неминимально-фазовым, но и к неустойчивым.
Примером неустойчивого звена является инерционное звено
с передаточной функцией:
(2.57)
или неустойчивое колебательное звено:
(2.58)
Подробнее о неустойчивых звеньях будет сказано в разделе 2.6,
посвященном устойчивости САУ.
2.3. Соединения звеньев
2.3.1. Общие положения
В системах управления отдельные звенья могут соединяться
между собой. Существует три вида соединения звеньев: последовательное, параллельное и встречно-параллельное.
При последовательном соединении выход первого звена явля-
ется одновременно входом второго, выход второго – входом третьего
и т.д. Определим передаточную функцию такого соединения:
X
1
X
HS
= .
( )
XS
( )
X
2
H1(S)
Y
Рис. 2.14. Последовательное соединение звеньев
H2(S) H3(S)
1
65
X
3
Y
2
Y
Y
3
Из рисунка 2.14 видно, что вход первого звена X1 одновремен-
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 33 23
223 123
3
112 3
123
1
.
i
i
YS Y S X SH S Y SH S
HS
XS XS XS XS
X SH SH S Y SH SH S
XS XS
X SH SH SH S
H SH SH S H S
XS
=
= = = = =
= = =
= = =
∏
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
123 1
1
3
23
123
23
1
,
i
i
YS YS YS YS YS
HS
XS XS X S
YS YS
HSHSHS HS
XS XS
=
++
= = = +
++ =++=
∑
но является входом всей системы X, выход первого звена Y1 – входом второго X2, выход второго звена Y2 – входом третьего X3, а выход
третьего звена Y3 – выходом всей системы Y. Поэтому передаточная
функция всей системы равна:
(2.59)
Иными словами, передаточная функция последовательного со-
единения звеньев равна произведению передаточных функций этих
звеньев.
При параллельном соединении звеньев (см. рис. 2.15) один
и тот же входной сигнал X подается на входы всех звеньев, а выходы
всех звеньев суммируются. Поэтому передаточная функция системы:
H1(S)
X Y
H2(S)
H3(S)
Рис. 2.15. Параллельное соединение звеньев
66
(2.60)
то есть передаточная функция параллельного соединения звеньев
1 oc
,X XX= ±
( ) ( ) ( )
1 oc
.XS X S X S=
( )
( )
( )
.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1
1 oc
oc
1
1
.
1
1
HS
HS
H SH S
HS
HS
= =
равна сумме передаточных функций этих звеньев.
X Y
Рис. 2.16. Встречно-параллельное соединение звеньев
Если выход звена с передаточной функцией H1(S) подается через
звено с передаточной функцией Hос(S) на его вход, то такое соединение
звеньев называется встречно-параллельным. Из рисунка 2.16 видно,
что сигнал, подаваемый на вход звена с передаточной функцией H1(S)
где знак «+» соответствует положительной обратной связи, а знак
«–» отрицательной обратной связи. Отсюда следует, что
Тогда передаточная функция встречно-параллельного соединения
HS
YS YS YS
= = =
( )
XS X S X S
( )
X
1
H1(S)
X
ос
Hос(S)
( ) ( )
1 ос
(2.61)
(2.62)
YS
( )
HS
( )
1
YSH S
( ) ( )
(2.63)
oc
тельной обратной связи, а знак «+» к отрицательной.
T.к. Y(S) = Y1(S), то
(2.64)
Понятно, что знак «–» в выражении (2.64) относится к положи-
67
2.3.2. Реальное дифференцирующее звено
( ) ( ) ( )
2
12 1
.
11
K
KS
HSHSHSKS
TS TS
= = =
++
( ) ( ) ( ) ( )
11
11
11
.
11
t
T
yt L Y S L H S X S
KS
L KL Ke
TS S TS
−−
−
−−
= = =
= ⋅= =
++
Сначала введем понятия «идеальное звено» и «реальное звено».
Под идеальным мы будем понимать звено, лишенное инерции, под
реальным – звено, обладающее инерцией. Как мы уже отмечали,
идеальный трансформатор, т.е. трансформатор без потерь, – это
дифференцирующее звено; точнее, идеальное дифференцирующее
звено с передаточной функцией H1(S) = K1S. Реальное звено обладает
инерцией, реальный трансформатор имеет потери.
Поэтому его можно представить как последовательное соединение двух звеньев: дифференцирующего и инерционного (рис. 2.17).
X Y
K1S
Рис. 2.17. Реальное дифференцирующее звено
K
2
1 + TS
То есть
Переходная характеристика такого звена:
Y
K
(2.65)
(2.66)
0
Рис. 2.18. Переходная характеристика реального дифференцирующего звена
t
68
В отличие от идеального дифференцирующего звена сигнал на
( )
1
1
K
HSS=
( )
2
2
.
1
K
HSTS=
+
( ) ( ) ( )
( )
( )
12
12
,
11
KK
K
HS H SH S
S TS S TS
= = =
++
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
(
)
11 1
1
2
1
1
1
1.
1
t
T
K
ytLYSLHSXSL
S TS S
KL K T e t
S TS
−− −
−
= = = ⋅=
+
= = −+ +
+
выходе конечен и падает до нуля не сразу, а постепенно (см. рис. 2.18).
2.3.3. Реальное интегрирующее звено
По аналогии с реальным дифференцирующим реальное интегрирующее звено будет представлять собой последовательное соединение интегрирующего звена с передаточной функцией
(2.67)
и инерционного звена (рис. 2.19)
(2.68)
X Y
K
1
S
Рис. 2.19. Реальное интегрирующее звено
тогда переходная характеристика реального интегрирующего звена
69
K
2
1 + TS
(2.69)
(2.70)
Иными словами, в отличие от идеального звена, у которого
( ) ( ) ( )
2
12 1 1
1
1 1 1,
K
H S K K S K S K TS K TS
K
=+ = + = +=+
2
1
K
TK=
у нарастает по прямой, у реального звена эта зависимость выражается графиком, представленным на рисунке 2.20.
Y
0
Рис. 2.20. Переходная характеристика реального интегрирующего звена
t
2.3.4. Форсирующее звено
Соединим параллельно безынерционное и дифференцирующее
звенья (рис. 2.21).
K
1
X Y
K2S
Рис. 2.21. Форсирующее звено
Тогда
где K = K1, а
.
(2.71)
Такое звено называют форсирующим. Переходная характеристика этого звена
70