Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления электрооборудованием и электротехнологиями в сельском хозяйстве. Учебное пособие.pdf
( )
VUω
( )
K
HSS=
( )
.
K Kj
Kjjω= =−
ωω
( )
.
K
V ω=−
ω
ϕω= =ω (2.86)
arctg 0.
( )
( )
В свою очередь АФХ представляет из себя точку на вещественной оси, удаленную от начала координат на величину K.
Частотные характеристики в виде графиков представлены на
рисунках 2.33–2.35.
U, W
K
0 ω 0 ω 0
Рис. 2.33 Рис. 2.34 Рис. 2.35
Из графиков следует, что амплитуда выходной величины не зависит от частоты, а выходные колебания совпадают с входными по
фазе на всех частотах.
Передаточная функция интегрирующего звена
этому комплексная передаточная функция:
Отсюда видно, что действительная частотная характеристика
U(ω) = 0, а мнимая:
V, φ jV
UK
2.5.2. Интегрирующее звено
. По-
(2.87)
(2.88)
81
Амплитудно-частотная характеристика:
( ) ( ) ( )
22
.
K
W UVω= ω+ ω =
ω
( ) ( )
arctg arctg arctg .
02
VK
U
π
ϕ ω = = − = −∞ = −
ω⋅
2
π
( )
,K j Kjω= ω
2
π
(2.89)
Фазо-частотная характеристика:
(2.90)
Частотные характеристики звена представлены на рисунках 2.36–2.39. Так как U(ω) = 0, V(ω) – отрицательная величина,
то амплитудно-фазовая характеристика направлена вдоль линии отрицательной оси к началу координат (рис. 2.39).
U
0 ω 0 ω
Рис. 2.36 Рис. 2.37 Рис. 2.38 Рис. 2.39
W, –V jV
Из рисунка 2.38 следует, что сигнал на выходе интегрирующего
звена отстает от входного сигнала на угол
2.5.3. Дифференцирующее звено
Передаточная функция этого звена H(S) = KS.
Комплексная передаточная функция:
φ
0
0
ω
U
.
(2.91)
82
откуда следует, что
( ) ( )
0, а.U VKω= ω= ω
( )
arctg arctg arctg .
02
VK
U
ωπ
ϕ ω = = = ∞=
2
π
( )
,
1
K
HSTS=
+
2
π
(2.92)
В свою очередь амплитудно-частотная характеристика также
равна W(ω) = Kω, а фазо-частотная характеристика:
(2.93)
Частотные характеристики дифференцирующего звена показаны на рисунках 2.40–2.43. Так как U(ω) = 0, а V(ω) = Kω, т.е.
положительная величина, то амплитудно-фазовая характеристика
направлена вдоль мнимой положительной оси от начала координат
(рис. 2.43).
U
0 ω 0 ω
Рис. 2.40 Рис. 2.41 Рис. 2.42 Рис. 2.43
V, W
Из рисунка 2.43 следует, что сигнал на выходе дифференциру-
ющего звена опережает входной сигнал на угол
2.5.4. Инерционное (апериодическое) звено первого порядка
Передаточная функция этого звена:
а комплексная передаточная функция:
83
φ
0
jV
ω
0
U
на всех частотах.
(2.94)
( )
( )
22
1
1
.
11
1
K jT
K jT
Kj
Tj j T
T
−ω
−ω
ω= ⋅ =
ω+ − ω
+ω
Отсюда действительная характеристика:
( )
22
,
1
K
UTω=
+ω
( )
22
.
1
KT
V
T
ω
ω=−
+ω
( ) ( ) ( )
2 2 22
22
22
1
1
.
1
K
W UV T
T
K
T
ω = ω + ω = ⋅ +ω =
+ω
=
+ω
( )
( )
( )
( )
arctg arctg arctg .
V
TT
U
ω
ϕ ω = = −ω = − ω
ω
( )
2
U ω
( )
( )
2
2
2
22
,
1
K
UTω=
+ω
а мнимая:
Амплитудно-частотная характеристика:
(2.95)
(2.96)
(2.97)
(2.98)
Фазо-частотная характеристика:
Найдем значение
Аналогично:
. Оно равно:
84
(2.99)
(2.100)
( )
( )
222
2
2
22
.
1
KT
V
T
ω
ω=
+ω
Складывая (2.100) и (2.101), получим:
( ) ( )
( )
( )
( )
2 22
2
22
2 22
22
1
.
1
1
KT
K
U V UK
T
T
+ω
ω+ ω= = = ω
+ω
+ω
( ) ( ) ( )
22
0.U V UKω+ ω− ω =
2
4
K
( ) ( )
22
22
.
44
KK
U V UKω+ ω− + =
2
2
2
,
24
KK
UV
− +=
2
K
2
K
2
π
Отсюда:
(2.101)
(2.102)
(2.103)
Добавляя в обе части равенства
, получим:
(2.104)
Откуда:
(2.105)
что представляет собой формулу окружности.
Таким образом, АФХ инерционного звена представляет собой
половину окружности радиусом
тельно начала координат на величину радиуса
, центр которой сдвинут относи-
в положительном
направлении действительной оси. Частотные характеристики инерционного звена представлены на рисунках 2.44–2.48.
Из графика 2.47 следует, что фаза выходного сигнала отстает от
фазы входного сигнала, причем по мере увеличения частоты от 0 до
∞ это отставание растет от 0 до
.
85
( )
,
S
H S Ke
−τ⋅
=
( )
cos sin .
j
K j Ke K jK
− ⋅ω⋅τ
ω = = ωτ − ωτ
( )
cos ,UKω = ωτ
( )
sin .VKω = − ωτ
U
K W
0
ω
K
0 ω
Рис. 2.44 Рис. 2.45 Рис. 2.46
φ
0
π
4
π
2
Рис. 2.47 Рис. 2.48
–W
1/T
2.5.5. Запаздывающее звено
Так как передаточная функция этого звена:
то комплексная передаточная функция:
0
jV
0
K
2
U
(2.106)
ω
Отсюда действительная частотная характеристика:
а мнимая частотная характеристика:
(2.107)
(2.108)
(2.109)
86
Амплитудно-частотная характеристика:
( ) ( ) ( )
22
.W UV Kω= ω+ ω=
( )
( )
( )
( )
sin
arctg arctg arctg tg .
cos
V
K
UK
ω
− ωτ
ϕ ω = = = − ωτ = −ωτ
ω ωτ
( ) ( )
( )
2 2 22 2 2
sin cos ,UV K Kω + ω = ωτ + ωτ =
(2.110)
Фазо-частотная характеристика:
(2.111)
Из выражений (2.108) и (2.109) нетрудно получить:
(2.112)
что представляет собой уравнение окружности радиусом K, центр
которой находится в начале координат.
Частотные характеристики запаздывающего звена представлены на рисунках 2.49–2.53.
U
0
Рис. 2.49 Рис. 2.50
W
K
0
Рис. 2.51 Рис. 2.52 Рис. 2.53
ω
ω
0
–φ
V
0
ω
87
jV
ω
K
0
U
Из рисунка 2.52 следует, что разность фаз выходного и входно-
2
2
lg 2 lg .LW W= =
20lg .LW=
го сигналов растет пропорционально частоте в сторону отставания.
2.5.6. Логарифмическая частотная характеристика
Рассмотрим отношение мощностей сигнала на входе и выходе
звена:
вых
2
вх
2
(2.113)
.АWА=
Логарифм этого отношения будет равен:
(2.114)
Поскольку обычно эта величина измеряется не в беллах, а в децибеллах, то:
(2.114а)
По оси ω при построении логарифмических характеристик откладывают lgω. Это делается потому, что ω обычно изменяется на
несколько порядков. Разность между каким-либо значением частоты
и ее десятикратным значением в логарифмическом масштабе есть
величина постоянная, называемая декадой. Логарифмический масштаб показан на рисунке 2.54.
0,01 ω0,1 1 10 100 1000 10 000
Рис. 2.54
В инженерных расчетах используются два вида логарифмических частотных характеристик: логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазо-частотная
характеристика (ЛФЧХ).
По оси абсцисс в обоих случаях откладывается lgω, а по оси
ординат в первом случае откладывается величина L, а во втором φ.
88
Рассмотрим логарифмические характеристики для типовых
20lg .LK=
20lg 20 lg 20 lg .LW K= = −ω
20lgLK=
20lg 20lg 20lg .L KW K W= = +
звеньев.
1. Пропорциональное звено
Для этого звена:
(2.115)
Кривая ЛФЧХ имеет такой же вид, что и ФЧХ.
2. Интегрирующее звено
В этом случае:
(2.116)
Для построения этой характеристики сначала находят точку
с координатой ω = 1; при этом
.
Из выражения (2.116) видно, что график функции L имеет вид
прямой, имеющей наклон –20 дБ/дек.
L
20lgK
20 дБ
Рис. 2.55. ЛФЧХ интегрирующего звена
ЛФЧХ интегрирующего звена не отличается от ФЧХ.
3. Дифференцирующее звено
У этого звена:
Из выражения (2.117) видно, что в отличие от характеристики
интегрирующего звена, в данном случае наклон будет не отрицательный, а положительный (рис. 2.56).
1 10
89
lgω
(2.117)
22
22
20lg 20 lg 20 lg 1 .
1
K
L KT
T
= = − +ω
+ω
( 0)ω→
20lg 20 lg 20lg .
K
L KT
T
= = −ω
ω
L
20lgK
20 дБ
1 10
Рис. 2.56. ЛФЧХ дифференцирующего звена
lgω
ЛФЧХ дифференцирующего звена, как и интегрирующего, не
отличается от его ФЧХ.
4. Инерционное звено первого порядка
В этом случае:
(2.118)
При весьма малых частотах
:
L = 20lgK. (2.119)
При больших частотах:
(2.120)
Из выражения (2.120) видно, что ЛАЧХ на участке больших
частот представляет прямую линию с наклоном –20 дБ/дек. Таким
образом, характеристика L состоит из двух участков, первый из них
параллелен оси абсцисс, а второй имеет наклон –20 дБ/дек.
90