Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления электрооборудованием и электротехнологиями в сельском хозяйстве. Учебное пособие.pdf
Продолжение таблицы 2.2
C
1
U
вх
R
1
C
2
U
вых
R
2
C
1
U
вх
R
1
С
2
U
вых
Задание 19 Задание 20
C
1
R
1
U
U
вх
вых
С
2
U
вх
R
2
C
2
L
C
1
U
R
1
вых
Задание 21 Задание 22
R
U
вх
C
1
1
C
2
R
2
U
вых
L
U
вх
C
R
2
U
R
вых
1
L
Задание 23
Задание 24
51
Окончание таблицы 2.2
C
1
U
вх
R
1
C
2
U
вых
L
U
вх
C
R
2
U
R
вых
1
Задание 25 Задание 26
R
1
R
U
U
вх
вых
C
C
1
U
вх
R
1
C
2
U
вых
R
2
Задание 27 Задание 28
C
1
U
вх
R
1
C
2
U
вых
R
2
С
L
U
вх
R
1
1
R
2
U
вых
L
2
Задание 29 Задание 30
52
2.2. Типовые и элементарные звенья
,y kx=
( )
HS k
системы управления
Любая система управления может рассматриваться как совокупность взаимодействующих элементов, обладающих определенными статическими и динамическими свойствами. Эти элементы
обычно называют звеньями. Звенья отличаются друг от друга функциональным назначением, конструкцией, математическим описанием. Различают типовые и элементарные звенья. Типовые звенья
отличаются друг от друга своими динамическими свойствами. Если
типовые звенья нельзя разбить на более мелкие, то их называют
элементарными. Известны следующие элементарные звенья: пропорциональное, дифференцирующее, интегрирующее, инерционное, колебательное и запаздывающее. Каждое из этих звеньев имеет
свою передаточную функцию, а значит, свои динамические свойства.
Порядок дифференциальных уравнений этих звеньев не превышает
двух. При изучении этих звеньев рассматривают их дифференциальные уравнения, передаточные функции и переходные характеристики, под которыми понимают зависимость выходной величины
от времени.
2.2.1. Пропорциональное
(безынерционное, усилительное) звено
У него выходная величина у пропорциональна входной величи-
не х. Поэтому ее уравнение имеет вид:
где k – коэффициент усиления, передачи или пропорциональности.
Передача сигнала в этих звеньях производится мгновенно, без инерции. Поэтому такое звено называют еще безинерционным, иногда
усилительным. Передаточная функция этого звена:
(2.22)
Примером такого звена являются усилитель, рычаг, редуктор.
YS
= =
( )
XS
( )
53
,
(2.23)
а переходная характеристика:
( ) ( ) ( ) ( )
11
.yt L Y S L H S X S
−−
= =
( )
1
XSS=
( )
( )
[ ]
1 11
1
1,
HS
k
ytL LkLk
S SS
− −−
= = = =
(2.24)
Для определения переходной характеристики надо договориться о том, какое типовое воздействие подается на вход звена. Обычно
в качестве такого типового воздействия принимают единичное сту-
пенчатое (рис. 2.5), для которого
(см. таблицу 2.1 преоб-
разований Лапласа). Поэтому
(2.25)
а переходная характеристика имеет вид, представленный на рисунке 2.6. Как видно, усилительное звено не искажает выходную
величину и изменяет ее в k раз.
X
Y
1
0
K
t
0
t
Рис. 2.5. Единичное ступенчатое
воздействие
54
Рис. 2.6. Переходная характеристика
безынерционного звена
2.2.2. Дифференцирующее звено
.
dx
yk
dt
=
( )
( )
Y S kSX S
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
11
11
1
1,
yt L Y S L H S X S
L kS kL k t
S
−−
−−
= = =
= = = δ
У такого звена выходная величина пропорциональна производной от входной, т.е.
(2.26)
Примерами такого звена являются идеальный трансформатор,
конденсатор, индуктивность, электрический тахометр.
Передаточная функция звена:
H S kS
= = = (2.27)
( )
XS XS
( )
а переходная характеристика:
график которой имеет вид, представленный на рисунке 2.7. Иными
словами, эта характеристика представляет собой мгновенный бесконечно большой импульс.
Y
0
Рис. 2.7. Переходная характеристика дифференцирующего звена
( )
,
(2.28)
t
55
2.2.3. Интегрирующее звено
0
.
t
y k xd t=
∫
( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
11
11
2
11
,
yt L Y S L H S X S
k
L kL kt
SS
S
−−
−−
= = =
= ⋅= =
У этого звена выходная величина пропорциональна интегралу
от входной, т.е.
(2.29)
Примерами интегрирующего звена являются идеальный электродвигатель и гидравлический усилитель. Передаточная функция
такого звена
Здесь
HS
– коэффициент усиления, а Т – постоянная време-
kT=
YS
= = =
( )
X S S TS
( )
1
k
(2.30)
.
ни интегрирования.
В свою очередь переходная характеристика
(2.31)
что непосредственно следует из таблицы преобразований Лапласа
(табл. 2.1, поз. 3).
Y
t
0
Рис. 2.8. Переходная характеристика интегрирующего звена
56
Для двигателя выходная величина представляет собой угол по-
( )
0
.
st
Y S Ye dt
∞
−
= ⋅
∫
,t −τ=λ
,a .t dt d=λ+τ = λ
ворота вала двигателя, а входная – напряжение на зажимах двигателя. График переходного процесса, построенный в соответствии
с выражением (2.31), представлен на рисунке 2.8.
2.2.4. Запаздывающее звено
Особенностью звена является отставание выходного сигнала
от входного на время τ, что представлено графиком на рисунке 2.9.
Y
1
лента, трубопровод.
определена следующим образом.
откуда
0
Рис. 2.9. Переходная характеристика запаздывающего звена
τ
t
Примерами запаздывающего звена являются транспортерная
Передаточная функция запаздывающего звена может быть
Как известно,
(2.32)
Введем обозначения:
(2.33)
57
Тогда
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
00 0
0
.
s
st st
s ss
Y S ye dt x t e dt x e d
e x e d e xS
∞∞ ∞
− λ+τ
−−
∞
−τ −λ −τ
= = −τ = λ ⋅ λ=
= λ ⋅ λ=
∫∫ ∫
∫
( )
( )
.
()
s
YS
HS e
XS
−τ
= =
.
dy
T y kx
dt
+=
( ) ( ) ( )
.TSYS YS kXS+=
( )
YS
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
11 1
1
1.
1
t
T
k
ytLYSLHSXSL ke
TS S
−
−− −
= = = ⋅= −
+
(2.34)
Отсюда передаточная функция:
(2.35)
2.2.5. Инерционное (апериодическое) звено
Дифференциальное уравнение звена имеет вид:
(2.36)
Примерами инерционного звена являются печь, нагревательное устройство, магнитные усилители. Переходя к изображению,
получим:
Тогда передаточная функция:
k
HS
( )
= =
X S TS
( )
.
1
+
В свою очередь переходная характеристика:
58
(2.37)
(2.38)
(2.39)
Графически переходная характеристика имеет вид, представ-
2
2
21
2
.
d y dy
T T y kx
dt
dt
+ +=
( ) ( ) ( ) ( )
22
21
.TSYS TSYS YS kXS+ +=
( ) ( )
1.
( )
( )
( )
22
21
.
1
YS
k
HS
XS
T S TS
= =
⋅+ +
ленный на рисунке 2.10. Здесь Т – постоянная времени.
Y
T
K
0
Рис. 2.10. Переходная характеристика инерционного звена первого порядка
t
2.2.6. Звенья второго порядка
Рассмотрим звено, дифференциальное уравнение которого
(2.40)
Переходя к изображениям, получаем:
(2.41)
Тогда
Y S T S T S kX S
22
+ +=
21
(2.42)
Отсюда передаточная функция
(2.43)
Переходная характеристика:
59
уtLYSLHSXSL
21
2
1
22
22
1
0.
T
SS
TT
+ +=
2
11
1,2
2 42
2 22
1
.
24
TT
S
T TT
=−+ −
22
22
12
12
42
22
4
4
Ä.
42
TT
TT
TT
−
−
= =
22
12
−>
2
T
( ) ( ) ( ) ( )
22
T S TS
21
11 1
−− −
= = = ⋅
Найдем корни уравнения:
k
++
1
1
S
.
(2.44)
22
1 0.T S TS+ += (2.45)
Или, что равносильно:
(2.46)
Решение квадратного уравнения, как известно,
(2.47)
Отсюда дискриминант уравнения:
(2.48)
Здесь возможны три случая.
Первый случай
4 0,TT
т.е.
1
2.
> (2.49а)
T
60
(2.49)