Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления электрооборудованием и электротехнологиями в сельском хозяйстве. Учебное пособие.pdf
о том, что соответствующая система находится на границе устойчивости, так как кривая проходит через эту точку. Наконец, кривая 3 характеризует неустойчивую систему, т.к. точка А охватывается АФХ
этой системы.
jV
2
A
3
Рис. 2.62. Определение устойчивости по методу Найквиста
0
1
U
На рисунке 2.63 показан вариант АФХ разомкнутой системы.
Определите самостоятельно, устойчива ли система в замкнутом состоянии.
jV
0
–1
Рис. 2.63. Вариант АФХ разомкнутой системы
U
Отметим, что по АФХ можно определить не только устойчивость системы, но и запас устойчивости. Для этого (рис. 2.64) через
точку с координатой [–1, j0] проводится окружность единичного радиуса, которая касается АФХ в одной точке А. Угол φ между отрицательным направлением оси абсцисс и радиусом ОА представляет собой запас устойчивости по фазе. Если из точки А провести прямую,
101
параллельную оси ординат, то расстояние от точки с координатой
[–1, j0] до этой прямой Δ представляет собой запас устойчивости по
амплитуде.
jV
Δ
0
–1
Рис. 2.64. Определение запаса устойчивости
φ
A
U
Правило второе. Система, находящаяся на границе устойчивости в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если дуга окружности бесконечно большого радиуса между
АФХ и положительной осью абсцисс не охватывает точку с координатой [–1, j0].
Кривая 1 (рис. 2.65) соответствует АФХ реального интегрирующего звена. Эта кривая вместе с ее пунктирным продолжением не
охватывает точку с координатой [–1, j0]. Значит, замкнутая система
устойчива. Кривая 2 соответствует АФХ реального интегрирующего
звена второго порядка. Эта кривая вместе с ее пунктирным продолжением охватывает точку с координатой [–1, j0]. Значит, замкнутая
система неустойчива.
jV
2
–1
0
1
Рис. 2.65. Определение устойчивости по второму правилу
102
U
Правило третье. Система, неустойчивая в разомкнутом состо-
( )
( )( )
( )
123
.
11 1
K
HS
TS T S TS
=
−−+
янии, может быть устойчива в замкнутом состоянии, если разница
между числом переходов АФХ через действительную ось левее точки с координатой [–1, j0] сверху вниз и снизу вверх равна половине
корней с положительной действительной частью.
Соответствующая этому правилу кривая представлена на рисунке 2.66.
jV
–1
0
а б
Рис. 2.66. Определение устойчивости по третьему правилу
U
–1
jV
0
U
На рисунке 2.66 б стрелкой показано изменение вектора комплексной передаточной функции при изменении ω от 0 до ∞. Число
переходов АФХ сверху вниз левее точки [–1, j0] равно 2. Число пере-
ходов снизу вверх равно 1. Следовательно, разница между числом
переходов сверху вниз и снизу вверх равна 1. Это возможно только
в том случае, если число положительных корней передаточной функции разомкнутой системы равно 2, т.е. если, например, передаточная
функция имеет вид:
Очень часто вместо обычного критерия Найквиста используют
логарифмический критерий (рис. 2.67). В этом случае на графике откладывают две характеристики ЛАЧХ и ЛФЧХ. Точка пересечения
ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза. Если логарифмическая фазочастотная характеристика ЛФЧХ разомкнутой системы
103
пересекает линию φ = –π при частотах больше частоты среза, то
4
n
m >
система устойчива. Если это пересечение происходит при частоте
среза, то система находится на грани устойчивости. Кривые 3 и 4,
которые пересекают линию φ = –π при частотах, меньших частоты
среза, соответствуют неустойчивой системе. Для устойчивой системы логарифмические характеристики позволяют определить запас
устойчивости по амплитуде ΔL, по фазе Δφ. Методика такого определения понятна из рисунка 2.67.
L
20lgK
ΔL
0
ω
ср
lgω
0
–π
–φ
Рис. 2.67. Определение устойчивости по логарифмическому критерию
Δφ
lgω
В ряде случаев по структуре системы можно сразу определить,
что система неустойчива.
Структурно неустойчивой (СНС) называют систему, которая
не может быть устойчивой ни при каких значениях определяющих
эту систему параметров.
Структурно-неустойчивыми являются системы:
– содержащие два и более интегрирующих звена;
– содержащие два и более неустойчивых инерционных звеньев;
– системы, которые имеют число колебательных звеньев
где n – порядок характеристического уравнения.
Систему можно сделать устойчивой, если охватить одно или
несколько таких звеньев местной обратной связью.
104
,
2.7. Качество систем автоматического регулирования
( ) ( ) ( )
.t xt ytε= −
2!
СС
ε= + + +
()
0
s
()
0
s
→
()
( )
( )
1
1
HS
HS
ε
=
+
и их коррекция
Качество системы характеризует уровень выполнения предъявляемых к этой системе требований. Обычно качество системы оценивается для двух режимов – установившегося и переходного.
Показателем качества в установившемся режиме является
функция ошибки ε(t), физический смысл которой нетрудно понять
с помощью рисунка 2.68.
X Y
Рис. 2.68. Система автоматического регулирования
ε
H(S)
Как видно из рисунка,
(2.146)
Для подсчета этой функции пользуются выражением:
12
t Cxt x t x t
( ) ( ) ( )
0
′ ′′
1!
( )
где С0, С1, С2 – коэффициенты ошибки;
x(t), x'(t), x"(t) – входная величина и ее производные.
В свою очередь
С HS
=
0
ε
dH S
С
,
→
1
ε
=
,
dS
C
2
dH S
=
(2.147)
,
2
ε
2
dS
0
→
s
,
(2.148)
где
– передаточная функция ошибки.
105
Качество переходного процесса оценивается по переходной
характеристике. Среди показателей качества переходного процесса
отметим:
– длительность переходного процесса tp;
– максимальное динамическое отклонение Δ
max
;
– декремент затухания Д;
– колебательность М;
– запас устойчивости.
y
y
max1
A
+5%
–5%
y
уст
0
t
н
t
р
y
max2
t
Рис. 2.69. Оценка качества переходного процесса
по переходной характеристике
Важнейшей характеристикой переходного процесса явля-
ется его длительность. При наличии переходной характеристики
(рис. 2.69) длительность переходного процесса определяется следующим образом.
1. Задаются требуемой точностью. Обычно для расчетов до-
статочно оценить установившееся значение выходной величины
с точностью до 5 %.
2. Определяется установившееся значение выходной величи-
ны y
.
уст
3. Проводится линия y = y
, параллельная оси абсцисс.
уст
106
4. Параллельно этой линии на расстоянии 0,05 y
100 %;
yy
−
Д.
yy
yy
−
проводятся
уст
две параллельные линии, которые образуют коридор, ограниченный
тонкими линиями.
5. Точка А, которая характеризует окончательный заход кри-
вой переходного процесса в пятипроцентную зону, является точкой
окончания переходного процесса, ибо дальше с точностью до 5 %
выходная величина не отличается от y
уст
.
Кроме того, по графику (рис. 2.69) можно определить время
нарастания переходного процесса tн, а также максимальное y
и установившееся y
значения выходной величины.
уст
max1
Обычно требуемые характеристики переходного процесса
определяются технологией. Помимо длительности переходного процесса его важнейшими характеристиками являются:
– максимальное динамическое отклонение:
∆=
max
max1 уст
y
уст
(2.149)
– декремент затухания:
max1 уст
=
max 2 уст
−
(2.150)
Колебательность (или показатель колебательности) определя-
ется по величине относительного максимума амплитудно-частотной
характеристики замкнутой системы (рис. 2.70).
W
W
0
0
Рис. 2.70. Амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы
W
max
ω
107
( )
,
М
W
ω
max
=
W
(2.151)
0
где W
– максимальное значение АЧХ;
max
W0 – значение АЧХ при ω = 0.
Для улучшения качества переходного процесса систему управ-
ления корректируют. Суть коррекции заключается в том, что в систему включают дополнительное корректирующее звено, которое может включаться последовательно с другими звеньями системы или
параллельно какому-то звену, как правило, наихудшему по своим
динамическим характеристикам.
Рассмотрим последовательную коррекцию (рис. 2.71).
L
нск
Рис. 2.71. Последовательная коррекция системы
L
к
Пусть логарифмическая амплитудно-частотная характеристика
(ЛАЧХ) системы до коррекции L
. Если включить последователь-
нск
но корректирующее звено, ЛАЧХ которого Lк, то общая ЛАЧХ после
коррекции будет:
Lcк = L
+ Lк. (2.152)
нск
Если мы хотим получить систему с заданными свойствами,
т.е. желаемой характеристикой Lж, то
Lк = Lж – L
. (2.153)
нск
Поэтому для получения ЛАЧХ корректирующего звена надо
знать желаемую ЛАЧХ. Обычно значения ЛАЧХ определяются требованиями к переходному процессу. Методика построения желаемой
ЛАЧХ состоит в следующем (рис. 2.72).
108
ЛАЧХ разбивается на три участка:
,
n
π
– низкочастотный, который определяет точность системы;
– среднечастотный, который определяет устойчивость системы;
– высокочастотный, который мало влияет на динамические
свойства.
1. В первую очередь строится среднечастотный участок. Для
этого необходимо определить частоту, при которой ЛАЧХ пересекает ось абсцисс. Эта частота называется частотой среза и определяется как
ω=
ср
(2.154)
t
р
где n – величина, зависящая от максимального динамического отклонения δ (табл. 2.3):
tр – длительность переходного процесса.
Таблица 2.3 – Зависимость величины n от максимального
динамического отклонения
δ, % 10 20 25 30 40
n 1,5 2,4 3,0 3,5 5,2
Через точку А, в которой ω = ωср, проводится прямая под углом
–20 дБ/дек.
2. Затем строится низкочастотный участок. Для этого находит-
ся значение Lж = 20lgK, которое откладывается на характеристике
при частоте ω = 1. Через эту точку и проводится низкочастотная характеристика, график которой зависит от требований к точности системы.
3. Для статической системы низкочастотный участок должен
быть параллелен оси абсцисс, для астатической системы (одно
интегрирующее звено) первого порядка он проводится под углом
–20дБ/дек, для астатической системы второго порядка под углом
–40 дБ/дек и т.д.
109
4. Т.к. возможен случай, когда низкочастотная часть характери-
стики имеет наклон –20дБ/дек, т.е. такой же наклон, как и среднечастотная часть, то целесообразно выделить промежуточный участок
с наклоном –40дБ/дек.
5. Границы между участками определяются следующими соот-
ношениями:
а) граничная частота низкочастотной области
ω1 = (0,17…0,25)∙ωср.
б) граничная частота среднечастотной области
ω2 = (2 ÷ 4) ωср.
в) высокочастотная часть начинается с частоты
ω3 = (6 ÷ 8)∙ωср.
L
низкочастотный
50
участок
40
30
20
10
0
0,1 1,0 10 100 1000
10
20
30
40
ω
1
среднечастотный
участок
ω
0
высокочастотный
участок
ω
ω
ср
ω
2
3
ω
Рис. 2.72. Построение желаемой ЛАЧХ
6. Точка пересечения оси абсцисс, с промежуточным участком:
22
ωω
ср ср
ω= = = ω
0 ср
ω ÷ω
68
( )
3 ср
0,12 0,17 .
(2.155)
110