Теория автоматического управления электрооборудованием и электротехнологиями в сельском хозяйстве. Учебное пособие

По определению

( )

YS U S

( )

1

c

XSCS=

( )

L

X S LS=

( ) ( )

U S i SR



= ++

 

( )

CS

LC

( ) ( )

1

2

22

21

.

1

K

HS K S

T S TS

= ⋅⋅

⋅ + ⋅+

HS

( )

= =

XS U S

( )

вых

.

( )

вх

Известно, что изображение активного сопротивления R, ем-

костного

Тогда

вых вх

Подставляя значения U

, индуктивного

=

,

U S i S LS R

вых

.

( ) ( )

вх вх

1

СS

(S) и Uвх(S) в исходную формулу,

получим:

i SR

= =

HS

( )

i S LS R

вх

1



( )



вх



++

RCS

1

RCS LCS

++

2

Введем обозначения:

K1 = 1; Т1 = RC; T2 =

; K2 = RC.

Получим:

.

Данная система состоит из последовательно соединенных колебательного звена (или инерционного звена второго порядка при условии, что Т1 ≥ 2Т2) и дифференцирующего звена.

Пример 2. Определить передаточную функцию электрической схемы, представленной на рисунке 2.3.

Данный пример отличается от примера 1 следующими особенностями:

31

а) ток входа и ток выхода не равны;

( ) ( ) ( )

;i S iS i S= +

11

=

 



+ ++



б) ток входа равен сумме двух токов:

вх 1 2

в) когда имеется несколько параллельных ветвей, то необходимо складывать проводимости и определять общее сопротивление как величину, обратную этой проводимости.

R

1

U

вх

R1, R2, R3 – активные сопротивления; L – индуктивность; C1 – емкость;

Uвх – напряжение на входе схемы; U

R

C

1

Рис. 2.3

2

L

U

вых

R

3

– напряжение на выходе

вых

Так, в данном примере общее сопротивление двух ветвей равно:

R LS R R LS R

++ ⋅ ++

( )

23 23

CS CS

Z

= =

11

R LS R RCS LCS RCS

+++ + + +

CS CS

23 21 1 31

11

=

LC S C R R S

1 12 3

( )

LS R R

++

( )

2

+ ++

( )

1

23

2

.

1

US iSRZ iS R

= += ⋅ + =

( ) ( )( ) ( )

вх вх 1 вх 1

32

LS R R

++

2

LC S C R R S

1 12 3

23

( )

1

( )

2

11 1123 1 23

123

RLCS RCRR LSRRR

( ) ( )

( )

( ) ( )

31 2

,U S i S LS R U S U S= += −

1

U S i S i S R LS R i S Z

= ⋅ = ⋅ ++ = ⋅

( ) ( )

2 22

.US iS R= ⋅

( )

,i S R LS R i S Z⋅ ++ = ⋅

23

Z

23

,

RZ

23

  

=⋅ =⋅=

⋅=

= =

=

iS

R LC S R C R R S R LS R R

iS

( )

вх

1 1 11 2 3

( )

вх

вых 2

+ + ++ ++

2

+ ++

LC S C R R S

1 12 3

2

+ + + + ++

( )

LC S C R R S

1 12 3

( )

2

+ ++

( )

1

( )

1

.

где

то

( ) ( ) ( )

11 2 2 3вх

Т.к.

22 3вх

iS i S

= ⋅

( ) ( )

2 вх

Следовательно,

iS iS

( )

вх вх

iS

= ⋅

CS

R LS R

++

US i S

2 вх

U S iS Z

вых вх

ZR Z LS R ZR Z LS R

( )

вх

= ⋅− =

( ) ( )

+ +− +

( )

2 32 3

R LS R R LS R

++ ++

23

( )

2

LC S C R R S

1 12 3

iS

= ⋅

( )

вх

( )

.

= ⋅

( ) ( )

LS R R LS R

++ +

23 3

+ ++

( )

LS R

( )

2

LC S C R R S

+ ++

1 12 3

( )

2

R LS R

++

RZ

2

R LS R

++

23

( )

R LS R

++

1

+

3

( )

.

1

;

Найдем передаточную функцию, подставив в исходную формулу значения Uвх(S) и U

вых

(S):

33

( )

US

HS

  

SS

++

( )

11 2 3

11

123 123

1

;;

RC R R L

KT

RR R RR R

++

= =

++ ++

11

2 2 33

123 3

;;.

R LC

L

T K RT

RR R R

= = =

++

( )

1

23

22

21

1.

1

K

HS K T S

T S TS

= ⋅ ⋅ ⋅+

⋅ + ⋅+

( )

iS

⋅

( )

вx

= =

RLCS RCRR LSRRR

iS

вx

1 1 11 2 3 123

⋅

( )

= =

RLCS RCRR LSRRR

2

1 1 11 2 3 123

LC S C R R S

2

+ + + + ++

( )

LC S C R R S

+ + + + ++

( )

RS

= =

R LC

++ ⋅ + +

RR R S S

( )

123

=

R LC

11

++ ++

RR R RR R

123 123

11

++ ++

RR R RR R

123 123

++

RR R

R

123 3

вых

= =

US

( )

вх

LS R

+

( )

2

+ ++

1 12 3

3

( )

2

+ ++

LS R

+

( )

3

1 12 3

( )



L

+



3



R

3

2

1

R

3

RC R R L

( )

11 2 3

2



L

⋅+



1

S



RC R R L

11 2 3

++

( )

1

( )

1

++

.

1

Введем обозначения:

Получим:

34

Данная система состоит (рис. 2.4) из последовательно соединенных колебательного звена (или инерционного звена второго порядка при условии, что Т1 ≥ 2Т2) и форсирующего звена (т.е. параллельно соединенных дифференцирующего и безынерционного звеньев).

H1(S) H2(S)

H3(S)

Рис. 2.4

Домашнее задание № 1 выполняется по вариантам, представленным ниже. Выбор вариантов производится по следующему правилу:

1. Выписывается номер зачетной книжки. Пусть этот номер

99731.

2. Из этого номера оставляют две последние цифры. В нашем

примере 31.

3. Если предпоследняя цифра четная, она заменяется цифрой два, если нечетная – единицей, ноль остается нулем. В нашем примере выбирается вариант 11 из таблицы 2.2 «Варианты домашних заданий». Если обе последние цифры нули, то выбирается вариант 30.

35

Таблица 2.1 – Обратные преобразования Лапласа

1

S

2

1

S

11nS+

!

n

t

n

( )

1

1S TS +

1–te

−α

1

T

α=

( )

11S

S TS

τ+

+

( )

1 –1te

−α

+ ατ

1

T

α=

( )

1

S

S TS

τ−

+

( )

11

te−α

− + ατ +

1

T

α=

( )

2

1

1S TS +

( )

1

–1tet

−α

+

α

+

1

T

α=

( )

2

11S

S TS

τ+

+

( )

1tce t

−α

−+

1

α

1

T

α=

( )

2

01

2

1

bS bS

S TS

++

+

12

t

etcc

−α

+ +

11

1

–cb=

α

2

01

2

1bb

c

α − α+

=

α

1

T

α=

( )

3

1

1S TS +

( )

2

1

2

t

tt

e−α− −+

α

1

T

α=

№

п/п

1 1

2

3

4

5

6

7

8

Изображение Оригинал

δ(t)

1

t

, где

10

11

9

, где

и

, где

36

;c =τ−

;

( )

3

11S

S TS

τ+

+

( )

1–

t

cte−α+

1

T

α=

( )

2

1

1S TS +

( )

1– 1tt e

−α

+α

1

T

α=

( )

2

1

1S TS +

( ) ( )

2

–1 1

tt

e t e

−α −α

α

+ ++

1

T

α=

( )

2

3

1

1S TS +

( ) ( )

2

3

12

2

tt

ee

−α −α

− −+ α

α

1

T

α=

( )

2

11S

S TS

τ+

+

( )

1– 1 1– t+ α ατ





1

T

α=

( )

2

01

2

1

bS bS

S TS

++

+

( )

1–

t

c Bt e

−α

+

bT

T

2

01

3

B

b bT T

T

−=+

1

T

α=

( )

3

1

1S TS +

22

2

1– 1tt e

t

−α



+

 

α

α+

1

T

α=

( )

3

2

1

1S TS +

2

33

2

t

t te

−α



α

− ++ + +



αα



1

T

α=

Продолжение таблицы 2.1

№

п/п

12

13

14

15

16

17

Изображение Оригинал

, где

где

, где

c

=

;c =τ−

α

,

2

−

0

;

2

18

19

;

, где

,

где

37

( )

4

1

1S TS +

22 32

11

26

t

tt

te

−α



αα

− +α + +

 

1

T

α=

( )( )

12

1

11

S

S TS T S

τ+

++

12

1 eecc

−α τ −α τ

++

1

12

1

c

T

TT

=

τ−

−

2

1

c

T

TT

−=τ

−

1

i

T

α=

( )( )

2

01

12

1

11

bS bS

S TS T S

++

12

,1–

tt

eecc

−α −α

+

( )

2

0 11 1

1211

c

b bT T

TT T

−=+

−

( )

2

0 11 2

2221

c

b bT T

TT T

−=+

−

1

i

T

α=

( )( )

3

12

1

11S TS T S++

12

2

–

tt

A Bt c c

t

ee

−α −α

+−+

22

1 12 2

A T TT T= ++

12

BT T= +

3

1

21

;

T

c

TT

=

−

3

2

21

;

T

c

TT

=

−

1

i

T

α=

Продолжение таблицы 2.1

№

п/п

20

21

22

Изображение Оригинал

где

;

где

,

;

23

38

где

,

;

( )( )

2

12

1

11S TS T S++

( )

12

1

tt

c cBeet

−α −α

+−+

12

1

B

TT

=

−

2

12

( )

2

12

2

12

2T TT

c

TT

−

=

−

1

i

T

α=

( )( )

2

12

1

11

S

S TS T S

τ+

++

( )

12

1

tt

c cBeet

−α −α

++−

( )

2

1 22

T

B

T TT

τ−

=

−

( ) ( )

11

1

2

12

TT

c

TT

τ−

=

−

( )

1 2 12

2

12

2T T TT

c

TT

τ+ −

=

−

1

i

T

α=

( )( )

2

01

2

12

1

11

bS bS

S TS T S

++

( )

12

1

tt

c cBeet

−α −α

+−+

( )

02 2

2

1 22

i

b T bT

B

T TT

+−

=

−

( )

0 1 11

1

2

12

b T bT

c

TT

+−

=

−

( )

0 11 1 2 2

2

12

2b bT T T T

c

TT

−+ −

=

−

1

i

T

α=

Продолжение таблицы 2.1

№

п/п

24

25

Изображение Оригинал

где

;

c

1

где

=

TT

( )

;

,

T

1

;

2

−

,

;

,

26

39

где

;

( )( )

2

12

1

11S TS T S++

( )

12

tt

At eec c Bt

−α −α

++ − +

( )

23

1 22 1

T TT T

2

12

T

B

TT

=

−

3

12

( )

2

1 22

2

12

32T TT

c

TT

−

=

−

1

i

T

α=

( )( )

3

12

1

11S TS T S++

( )

12

2

1 21 2

1

tt

Bec c t Bt e

−α −α

++− +

21

2TT

−

( )

2

2 12

1

2BT TT

=

−

3

21

( )

3

1 21

2

3

21

T TT

c

TT

+−

=

−

1

i

T

α=

( )( )

3

12

1

11

S

S TS T S

τ+

++

( )

12

2

1 21 2

1

tt

Bec c t Bt e

−α −α

++− +

( )

1 2 12

1

2

12 2

2T T TT

B

TT T

τ+ −

=

−

Продолжение таблицы 2.1

№

п/п

27

28

Изображение Оригинал

32

=

B

1

−

TT

( )

12

;

c

=

1

=

TT

( )

−

где

A

где

−

2

T

1

TT

−

( )

;

2

;

,

;

2

,

29

T

1

c

1

=

TT

( )

;

3

−

;

,

где

;

40