Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Учебное пособие-3.pdf
8. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Табельный
номер рабочего
Среднегодовая
тыс. руб.
И МОДEЛИРОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ИЗУЧЕНИЯ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ
8.1.
Статистика изучает социально-экономические явления во взаимной
связи, зависимости и обусловленности. Для количественного выражения
взаимосвязей применяются различные приемы и методы: сопоставление
параллельных рядов, группировок, балансовый, корреляционный.
При использовании первого метода сопоставляется параллельность ря-
дов. Единицы совокупности располагаются в возрастающем или убываю-
щем порядке (в зависимости от эволюции процесса и целей исследования)
по факторному признаку. Параллельно записываются значения результатив-
ного признака. Путем сопоставления расположенных таким образом рядов
значений выявляется существование связи и определяется ее направление.
Методом аналитической группировки выявляется зависимость вели-
чины одного признака или явления от величины другого. Для этого едини-
цы статистической совокупности группируются по фактическому признаку,
затем для каждой группы рассчитывается средняя или относительная вели-
чина по результативному признаку. Затем изменения средних или относи-
тельных значений результативного признака сопоставляются с изменения-
ми факторного признака для выявления характера связи между ними.
Например, можно сгруппировать рабочих по их стажу (факторный
признак, х) с целью установления зависимости выработки (результатив-
ный признак, у) от стажа по данным табл. 13.
Таблица 13
Стаж и выработка одного рабочего
Стаж, лет 5 7 3 5 6 7 8 9 4 10
выработка,
001 002 003 004 005 006 007 008 009 010
46 58 40 64 68 76 82 90 35 88
71
Распределим рабочих по статусу на три группы:
1
46 40 64 35 185
46,25;
44
у
+++
= = =
2
58 68 76 82 284
71, 0;
44
у
+++
= = =
3
90 88 178
89,0.
22
у
+
= = =
1-ая группа – со стажем до 5 лет включительно (номера рабочих 001,
003, 004, 009);
2-ая группа – со стажем 6–8 лет (номера рабочих 002, 005, 006, 007);
3-я группа – со стажем 9–10 лет (табельные номера рабочих 008, 010).
По каждой группе определим среднюю годовую выработку одного
рабочего, тыс. руб.:
‒ по 1-ой группе:
‒ по 2-ой группе:
‒ по 3-й группе:
Таким образом, из расчетов видно, что увеличение стажа оказало вли-
яние на рост среднегодовой выработки одного рабочего.
В статистике при анализе взаимосвязей общественных явлений также
широко применяется балансовый метод.
Сущность этого метода заключается в том, что при его использовании
строится двойная балансовая таблица, в которую помещаются данные
взаимосвязанных показателей. Итоги отдельных частей должны быть рав-
ны между собой и составлять баланс.
Балансовый метод применяется для выявления взаимосвязи между
отраслями народного хозяйства, между производством и распределени-
ем продуктов, для характеристики межрегиональных экономических свя-
зей и т. д.
Балансовая форма не только дает возможность анализировать показа-
тели во взаимной связи, но и позволяет осуществлять взаимный контроль
данных, а также рассчитывать недостающие показатели.
Простейшим балансом такого рода является товарный баланс, при
помощи которого распределяются размеры продажи отдельных товаров
и товарных групп.
72
Такой баланс можно представить в виде следующего равенства:
где
+ = +
– товарные запасы на начало отчетного периода;
,
– поступило товаров за отчетный период;
– расход товаров за отчетный период;
– товарные запасы на конец отчетного периода.
8.2. ПОНЯТИЕ О КОРРЕЛЯЦИОННОЙ СВЯЗИ
По характеру связи между явлениями существует два вида зависи-
мости:
– функциональная,
– корреляционная.
При функциональной зависимости (полной, жесткой) определенно-
му значению одной переменной строго соответствует одно или несколько
определенных значений другой переменной. Такие связи мы обычно
встречаем в точных науках (математика, физика и т. п.). Например, пло-
щадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса.
Характерной особенностью функциональной связи является ее прояв-
ление с одинаковой силой у каждой единицы совокупности. Поэтому
установив при изучении любой единицы совокупности ту или иную зако-
номерность, ее можно распространить как на каждую единицу совокупно-
сти, так и на всю изучаемую совокупность. Значение функциональных за-
висимостей в том, что они позволяют абсолютно точно прогнозировать
события.
При корреляционной зависимости (соотносительной, неполной) из-
менение результативного признака () обусловлено влиянием фактического признака () не полностью, а лишь частично, так как возможно влияние
73
прочих факторов. Такого рода зависимости проявляются либо при обоб-
щении, либо при усреднении, либо при массовом наблюдении.
Слово «корреляция» заимствовано из английского (сorrelation –
«соотношение, соответствие»). Оно удачно отражает особенности зависи-
мости между показателями, у которых определенному значению одного
показателя может соответствовать несколько значений другого.
По форме корреляционные связи бывают:
– прямыми и обратными;
– прямолинейными и криволинейными;
– однофакторными и многофакторными.
Прямые и обратные связи различаются в зависимости от направления
результативного признака. Если он изменяется в том же направлении,
в котором изменяется факторный признак (т. е. при увеличении факторно-
го признака результативный увеличивается, а при снижении – снижается),
то это – прямая связь. Если же результативный признак меняется в другом
направлении – связь обратная. Пример прямой связи: чем выше квалифи-
кация рабочего (разряд), тем выше уровень производительности труда.
Пример обратной связи: чем выше производительность труда, тем ниже
себестоимость продукции.
Статистическую связь между двумя признаками можно изобразить
графически (построить поле корреляции) и по графику судить о наличии,
направлении и форме связи.
Для этого на оси абсцисс откладываются значения факторного при-
знака, на оси ординат – результативного. Каждое пересечение линий, про-
водимых через эти оси, обозначается точкой.
Трактовка графика:
а) если точки беспорядочно разбросаны по всему полю, то зависи-
мость между изучаемыми признаками х и у отсутствует;
б) если точки концентрируются вокруг оси, идущей от левого нижне-
го угла в правый верхний, то имеется прямая зависимость;
в) если точки концентрируются вокруг оси, идущей от верхнего лево-
го угла в нижний правый, то имеется обратная зависимость.
74
8.3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
Методы корреляции позволяют решать следующие задачи:
– составлять модели влияния действующих факторов;
– давать количественную характеристику тесноты связи между явле-
ниями.
При решении первой задачи используются уравнения разного рода
зависимости (прямолинейной и криволинейной).
Если результативный признак с увеличением факторного равномерно
возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выра-
жается уравнением прямой:
= + × ,
где
– индивидуальные значения результативного признака;
– индивидуальные значения факторного признака;
– коэффициент регрессии;
– свободный член.
Параметры уравнения
и
определяются путем решения системы
нормативных уравнений, полученных по методу наименьших квадратов:
× + × = ;
× + × = .
Параметры уравнения можно определить также по следующим фор-
мулам:
×
=
(
= .
75
;
)
Связь между двумя факторами аналитически выражается еще и дру-
гими уравнениями:
=
+
(
гипербола);
= + × + × +. . . +
= +
(степенная функция).
(
парабола);
Взаимная зависимость только двух явлений называется парной корре-
ляцией.
При множественной корреляции уравнение зависимости содержит
уже не один, а несколько коэффициентов регрессии (, , …
) и имеет
вид:
= + × + × +. . . +
.
В экономическом анализе часто используют рассчитываемые на осно-
ве уравнений регрессии коэффициенты эластичности результативного
признака относительно факторного. Коэффициент эластичности () пока-
зывает, на сколько процентов изменяется в среднем результативный при-
знак при изменении факторного на 1 %.
Коэффициент эластичности для большинства форм связи – величина
переменная, т. е. изменяется с изменением фактора х. Так, для линейной
зависимости коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:
=
×
+
.
На примере данных десяти предприятий о среднегодовой стоимости
основных производственных фондов (ОПФ) и выпуске продукции вычис-
лим линейное уравнение связи и поясним его параметры (табл. 14).
76
Данные для вычисления линейного уравнения связи
Выпуск
Расчетные данные
1
15
5,0
75,0
225
25,00
6,48
2
11
4,6
50,6
121
21,16
4,80
3
13
6,5
84,5
169
42,25
5,64
4
14
7,0
98,0
196
49,0
6,06
5
10
4,5
45,0
100
20,25
4,38
6
12
5,6
67,2
144
31,36
5,22
7 8 4,0
32,0
64
16,0
3,54
8
10
4,0
40,0
100
16,0
4,38
9 6 2,4
14,4
36
5,76
2,70
10 9 3,6
32,4
81
12,96
3,96
Итого
108
47,2
539,1
1236
239,74
47,16
0,18 0, 42 .ух
х
=+⋅
Таблица 14
№
п/п
ОПФ,
млн руб.
продукции,
млн руб.
Для решения используем уравнение прямой линии:
= + × .
Определим параметры уравнения:
×
=
()
;= .
Необходимые данные для расчета возьмем из табл. 14.
53,91 10,8 4,72
=
123,6 116,64
;
= 4,72 0,42 10,8.
Уравнение примет следующий вид:
77
Подставим вместо х его значения, определим теоретические уровни:
= 0,18 + 0,42 15 = 6,48;
= 0,18 + 0,42 11 = 4,8;
и т. д.
Исчисленные показатели поместим в последнюю графу табл. 14.
Вывод: параметр
(коэффициент регрессии) показывает, что выпуск
продукции предприятий увеличился на 0,42 млн руб. за счет увеличения
среднегодовой стоимости основных производственных фондов; параметр
(свободный член) показывает, что выпуск продукции увеличился на
0,18 млн руб. под влиянием прочих неучтенных факторов.
При решении второй задачи (дать количественную характеристику тес-
ноты связи между явлениями) используются показатели тесноты связи –
коэффициенты корреляции.
Они показывают, насколько тесно связаны между собой явления.
Коэффициенты корреляции обозначаются как R («большое») и r («ма-
лое») и меняются в пределах от 0 (полное отсутствие связи) до ±1 (нали-
чие очень тесной связи). Плюс говорит о прямой связи, минус – об обрат-
ной. При значении от 0 до 0,3 связь считается слабой, от 0,3 до 0,6 –
средней и от 0,7 до 1 – очень тесной.
Квадрат коэффициента корреляции (
) показывает, какая часть ко-
леблемости изучаемого явления определяется колеблемостью действую-
щего фактора.
Так, при R = 0,7 половина колеблемости изучаемого явления опреде-
ляется влиянием действующего фактора, так как
= 0,49 ≈ 0,5.
Чтобы измерить тесноту линейной связи между двумя признаками,
используется парный коэффициент корреляции (), основная формула:
=
78
×
.
Основную формулу коэффициента корреляции для линейной связи
можно представить в более удобных для вычисления трех видоизменен-
ных формулах.
Первая формула линейного коэффициента корреляции:
×
где =
=
=
– средняя величина признака х;
– средняя величина признака у;
=
– средняя величина из парных произведений сопоставляемых
×
,
признаков х и у;
=
(
)
=
()
– среднее квадратическое отклонение для
признака у;
=
(
)
=
()
– среднее квадратическое отклонение для
признака х.
Вторая формула линейного коэффициента корреляции:
1
( )( )
=
×
.
Третья формула:
× ×
=
[
()
]×[
()
.
]
Пример. Используя данные предыдущего примера (см. табл. 14), рас-
считаем линейный коэффициент корреляции:
=
10 539,1 108 47,2
(
10 1236 108
)(
10 239,74 47,2
79
)
=
293,4
= 0,854.
343,5
Таким образом, связь между признаками тесная, прямая.
Наиболее удобной с точки зрения техники вычисления является
именно третья формула линейного коэффициента корреляции.
Для изучения тесноты множественной связи используют совокупные
и частные коэффициенты корреляции. Например, в случае трех признаков
(результативного и двух факторных и ) совокупный коэффициент
корреляции показывает степень вариации признака у, зависящий от сов-
местного изменения двух факторных признаков и .
Частный коэффициент корреляции в случае трех взаимосвязанных
признаков (, , ) характеризует тесноту линейной связи результативного
признака () с одним из факторных признаков () при исключении воздействия другого факторного признака ().
Теоретическое корреляционное отношение (h) представляет собой от-
носительную величину, получающуюся в результате сравнения среднего
квадратического отклонения выровненных значений результативного при-
знака, рассчитанных по уравнению регрессии, со средним квадратическим
отклонением эмпирических (фактических) значений результативного при-
знака:
=
=
(
( )
)
=
.
Подкоренное выражение корреляционного отношения представляет
собой коэффициент детерминации. Коэффициент детерминации показы-
вает долю вариации результативного признака под влиянием изменения
факторного признака
:
=
.
Теоретическое корреляционное отношение применяется для измере-
ния тесноты связи при линейной и криволинейной зависимостях между
факторным и результативным признаками. При криволинейных связях
80