Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Учебное пособие-3.pdf
6. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВАРИАЦИИ
ЗНАЧЕНИЕ И НЕОБХОДИМОСТЬ ИЗУЧЕНИЯ
6.1.
ВАРИАЦИИ ПРИЗНАКОВ
Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одина-
кова, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее
мало, в другом – отличия велики. Иначе говоря, в одном случае вариация
признака мала, в другом – велика.
Это можно увидеть на простом примере заработной платы рабочих
в двух бригадах (табл. 3).
Таблица 3
Данные о заработной плате рабочих
Бригада Заработная плата отдельного рабочего, руб.
1 5430 6200 9120 7894 10 370
2 7340 7450 7400 8460 8364
Средняя заработная плата в обеих бригадах 7802,8 руб. Но очевидно,
что отклонения индивидуальных значений признака от средней в 1-й бри-
гаде значительнее, чем во 2-й, вследствие чего можно утверждать, что
вторая совокупность рабочих более однородна и ее средняя величина бо-
лее типична по сравнению с первой.
Отклонения индивидуальных значений признака от средней регули-
руются как общими (систематическими) для всех единиц совокупности
причинами, так и случайными (несистематическими) факторами. Оценить
связи и зависимости различных факторов и явлений можно с помощью
показателей вариации признака.
Изучение вариации имеет большое значение и для оценки устойчиво-
сти явлений и процессов. Так, важно определять не только средний уро-
вень, но и ритмичность выполнения плановых заданий в разрезе всех зве-
ньев, начиная с отдельных исполнителей и заканчивая предприятиями
51
и экономикой в целом. Чем ритмичнее работа, тем меньше колеблются
показатели выполнения плана по объектам и во времени. То же относится
к любым варьирующим явлениям, количественные стороны которых
обобщаются при помощи средних величин, когда важно знать не только
саму среднюю, но и ее устойчивость во времени и в пространстве.
Таким образом, при изучении и оценке социально-экономических яв-
лений нельзя ограничиться только средними величинами, надо знать
и масштабы отклонений от средней и закономерность их распределения.
6.2. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ ИСЧИСЛЕНИЯ
В статистической практике для изучения и измерения вариации ис-
пользуются различные показатели (меры) вариации в зависимости от по-
ставленных исследователем задач.
При характеристике колеблемости признака применяются абсолют-
ные и относительные показатели.
К абсолютным показателям вариации относятся:
‒ размах вариации;
‒ среднее линейное отклонение;
‒ дисперсия;
‒ среднее квадратическое отклонение.
К относительным показателям вариации относятся:
‒ коэффициент вариации;
‒ коэффициент осцилляции.
Абсолютные показатели вариации измеряются в тех же единицах изме-
рения, что и сам признак, относительные – в процентах или долях единицы.
Рассмотрим способы исчисления перечисленных показателей.
Размах вариации () является наиболее простым способом измере-
ния колеблемости и рассчитывается как разность между максимальным
и минимальным значениями признака, т. е.:
=
52
.
Этот показатель обозначает пределы, в которых колеблется признак.
Но он имеет существенный недостаток, а именно: улавливает только
крайние значения и не характеризует общую вариацию, которая зависит
от каждого значения признака.
Среднее линейное отклонение (
) представляет собой более точную
характеристику вариации, поскольку учитывает не только амплитуду,
но и распределение отклонений. Величина среднего линейного отклоне-
ния рассчитывается как средняя из модулей отклонений вариантов при-
знака от средней. Среднее линейное отклонение рассчитывается по фор-
муле средней арифметической простой – по несгруппированным данным:
|
=
|
или средней арифметической взвешенной – по вариационному ряду рас-
пределения:
|
|
,
=
где – индивидуальные значения признака;
– среднее значение признака;
– объем совокупности;
– веса.
Дисперсия – это средний квадрат отклонений значений варьирующе-
го признака от его средней; определяется по формулам простой или взве-
шенной средней квадратической:
;
( )
=
( )
=
.
53
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень
второй степени из дисперсии и рассчитывается по формуле:
простое
(
невзвешенное);
=
( )
( )
=
взвешенное.
Среднее квадратическое отклонение имеет те же единицы измерения,
что и анализируемый показатель.
Среднее квадратическое отклонение больше среднего линейного от-
клонения. В симметричных или умеренно асимметричных распределени-
ях составляет примерно 1,25
. Чем асимметричнее распределение, тем
больше это соотношение. Смысловое содержание среднего квадратиче-
ского отклонения такое же, как и среднего линейного отклонения. Чем
меньше , тем, следовательно, однороднее совокупность, типичнее сред-
няя, устойчивее явление.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение недостаточно полно
характеризуют колеблемость признака, так как показывают абсолютный
размер отклонений, что затрудняет сравнение изменчивости признаков.
Для характеристики колеблемости явлений среднее квадратическое
отклонение сопоставляют с его средней величиной и выражают в процен-
тах. Такой показатель называется коэффициентом вариации, обозначается
буквой и рассчитывается по формуле:
× 100
=
.
Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего
квадратического отклонения к средней арифметической. Данный показа-
тель выражают в процентах, что дает возможность приводить различные
54
абсолютные среднеквадратические отклонения к одному основанию и срав-
|
|
|
|
|
|
|
|
до 3
8
2
16
3
24
9
72
Итого
100
–
500 – 148 – 324
нивать колеблемость величин различных признаков. Чем меньше коэффи-
циент вариации, тем меньше колеблемость признака, и наоборот.
Критическим значением коэффициента вариации является 33 %.
Коэффициент осцилляции определяется по формуле:
× 100
=
.
Рассмотрим пример расчета основных показателей вариации (табл. 4).
Имеются данные о распределении работников коммерческих банков
по стажу их работы.
Таблица 4
Данные для исчисления показателей вариации
Стаж,
лет
3–5
5–7
7–9
свыше 9
Численность
работников,
50
30
8
4
Середина
интервала,
Определить:
1) средний стаж работников;
4
6
8
10
1
1
9
25
200
180
64
40
1
1
3
5
50
30
24
20
50
30
72
100
2) размах вариации;
3) среднее линейное отклонение;
4) дисперсию;
5) среднее квадратическое отклонение;
6) коэффициент вариации.
55
Решение. При определении среднего стажа работников используем
среднюю арифметическую взвешенную:
=
=
500
= 5.
100
Размах вариации определяем по формуле:
=
= 10 2= 8.
Среднее линейное отклонение:
|
=
|
148
=
100
Дисперсия:
( )
=
=
Среднее квадратическое отклонение:
= 1,48.
324
100
;
= 3,24.
=
=3,24 = 1,8.
Коэффициент вариации:
× 100
=
1,8 × 100
=
= 36%.
5
Вывод. Совокупность, для которой рассчитаны показатели вариации,
является разнородной, средняя – нетипичной, так как коэффициент вариа-
ции превышает 33 %.
56
6.3. РАСЧЕТЫ ДИСПЕРСИИ СОКРАЩЕННЫМИ СПОСОБАМИ
0–5
4
2,5
–1
–4
4
25,00
Итого
20
– – 8
22
2275,00
При расчете дисперсии по интервальному вариационному ряду с рав-
ными интервалами вычисления можно значительно упростить, если при-
менить способ расчета от условного нуля или способ моментов.
Расчет дисперсии по способу моментов основан на использовании ее
свойств. Если в качестве условного начала выбирается какое-либо чис-
ло А, то формула расчета дисперсии по способу моментов имеет вид:
=
× (
)
,
где
– индивидуальные значения варьирующего признака (середины ин-
тервалов);
– средняя величина данного вариационного ряда;
– частоты;
и – какие-либо постоянные числа.
Числа и выбираются по тем же правилам, что и при расчете сред-
ней арифметической способом моментов, а именно: в качестве постоянно-
го числа выбирают середину центрального интервала или варианту,
имеющую наибольшую частоту, в качестве постоянного числа – вели-
чину интервала.
Рассмотрим расчет дисперсии этим способом по данным о стаже ра-
боты и численности работников предприятия, приведенным в табл. 5.
Таблица 5
Данные для расчета дисперсии способом «моментов»
Стаж,
лет
5–10
10–15
15–20
Численность
работников,
7
6
3
Середина
интервала,
7,5
12,5
17,5
(
= 7,5)
= 5)
(
0
1
2
57
393,75
937,50
918,75
0
6
6
0
6
12
Решение:
1. Найдем :
= +
× = 7,5 +
8
× 5 = 9,5.
20
2. Рассчитаем дисперсию:
22
=
× 25 (9,5 7,5
)
= 23,5.
20
Дисперсию можно также рассчитать по формулам:
= (
)
;
= 23,5.
;
или
=
2275
=
(
9,5
)
20
Таким образом, видно, что расчет дисперсии различными способами
дает одинаковый результат.
6.4. ВИДЫ ДИСПЕРСИЙ. ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ
Если совокупность разбивается на группы по изучаемому признаку,
то для этой совокупности могут быть исчислены дисперсии: общая, внут-
ригрупповые (частные), средняя из внутригрупповых и межгрупповая
(т. е. дисперсия групповых средних). В математической статистике дока-
зано, что общая дисперсия равна дисперсии групповых средних плюс
средняя из внутригрупповых дисперсий. Это называется правилом сло-
жения дисперсий:
+
,
=
58
где
Выработ-
Число
(
)
Выработ-
Число
(
)
5
4
20
21,16
10
6
60
24
Итого
30
219
56,30
Итого
50
602
70
– общая дисперсия;
– средняя из внутригрупповых дисперсий;
– межгрупповая дисперсия.
)
×
,
где
– варианты в группе;
(
=
– среднее значение вариант в группе;
– количество признаков в группе.
Внутригрупповая дисперсия является необъясненной дисперсией, она
вызывается случайными причинами.
Межгрупповая дисперсия является объясненной дисперсией. Она вы-
зывается влиянием фактора признака, положенного в основу группировки,
обозначается символом
:
( )×
=
,
где – средняя общая.
Пример. Определим общую дисперсию выработки рабочих III и IV
разрядов (табл. 6).
Распределение рабочих по среднечасовой выработке
Рабочие III разряда Рабочие IV разряда
ка, шт.
в день,
6
7
8
9
рабо-
чих,
5
7
6
8
30
49
48
72
8,45
0,63
2,94
23,12
в день,
ка, шт.
11
12
13
14
рабо-
чих,
10
16
12
6
110
192
156
84
Таблица 6
10
0
12
24
59
Средняя выработка у рабочих III разряда:
=
219
=
= 7,3.
30
Средняя выработка у рабочих IV разряда:
=
602
=
= 12.
50
Внутригрупповая дисперсия для рабочих:
56,3
III разряда:
IV разряда:
=
70
=
50
= 1,88;
30
= 1,4.
Средняя из внутригрупповых дисперсий:
1,88 × 30 + 1,4 × 50
=
80
Определяем межгрупповую дисперсию
56,4 + 70
=
80
= 1,58.
, для этого рассчитываем
среднюю выработку для III и IV разрядов рабочих:
7,3 × 30 + 12 × 50
=
80
(7,3 10,24)× 30 + (12 10,24)
=
219 + 600
=
80
= 10,24;
× 50
= 5,18.
80
Используя правило сложений дисперсий, определяем общую дис-
персию:
= 1,58 + 5,18 = 6,76.
Аналитические группировки, образованные в строгом соответствии
с научными методами группировок, характеризуют общие черты изучае-
мой связи, ее тенденцию. Но они не дают количественного измерения си-
60