Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Учебное пособие-3.pdf
Вычисление показателей этого вида производится путем деления одной
части целого на другую часть целого. В зависимости от поставленной за-
дачи та или иная часть совокупности может быть принята за базу. Поэто-
му для одной и той же совокупности можно исчислить несколько относи-
тельных показателей координации.
7. Относительными величинами сравнения называют показатели,
представляющие собой частное от деления одноименных абсолютных ста-
тистических величин, характеризующих разные объекты (предприятия,
фирмы, районы, области, страны и т. д.) и относящихся к одному и тому
же периоду (или моменту) времени. Например, соотношение между уров-
нями цен определенного вида товара, продаваемого на двух территориях,
между уровнями доходов населения в разных регионах (при одинаковой
методике счета).
5.3. ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН
В статистике рассматривают два класса средних величин: степенные
и структурные средние (рис. 1).
Рис. 1. Виды средних величин
41
Общая формула степенной средней имеет вид:
Степенные простые
Степенные взвешенные
Арифметическая простая
=
Арифметическая взвешенная
=
Гармоническая простая
=
1
Гармоническая взвешенная
=
1
Квадратическая простая
=
Квадратическая взвешенная
=
Геометрическая простая
= …
Геометрическая взвешенная
=
…
,
=
где – степенная средняя;
– индивидуальные значения признака (варианты);
– количество вариант;
– показатель степени средней.
Виды степенных средних (табл. 1) могут быть исчислены как по ин-
дивидуальным значениям осредняемого признака, так и по сгруппирован-
ным (с указанием статистических весов). В первом случае вычисленная
средняя будет называться невзвешенной (простой), а во втором – взве-
шенной.
К структурным средним относят моду и медиану. Это показатели осо-
бого рода, которые используют для описательной характеристики струк-
туры вариационных рядов.
Таблица 1
Виды степенных средних величин
42
Изменения значения показателя степени средней () определяет вид
средней величины: среднюю арифметическую ( = 1); среднюю квадратическую ( = 2); среднюю гармоническую ( = –1); среднюю геометрическую ( = 0). Из перечисленных видов степенных средних наиболее часто
применяется в статистике средняя арифметическая, реже – средняя гармо-
ническая, средняя геометрическая применяется только при исчислении
средних темпов динамики, а средняя квадратическая – только при исчис-
лении показателей вариации.
При выборе средней величины для расчетов необходимо определить
ее исходное соотношение (ИСС):
=
.
Например, средняя заработная плата работающих предприятия опре-
деляется отношением:
=
.
5.4. СВОЙСТВА СРЕДНЕЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ
И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ СПОСОБОМ МОМЕНТОВ
Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые имеют
большое практическое значение для вычисления средней по данным вари-
ационного ряда.
1. Средняя арифметическая из постоянных чисел равна этому посто-
янному числу.
Пусть = , тогда
=
= ×
43
= .
2. Постоянный множитель может быть вынесен за знак средней:
= .
Откуда следует: если все варианты уменьшить или увеличить в раз,
то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится во
столько же, т. е. в раз.
Пусть
=
, тогда
=
=
1
×
=
1
× ,
откуда
=
.
3. Сумма отклонений отдельных вариантов от их средней равна нулю:
( ) = × = 0 – для простой средней;
(
)= = 0 – для взвешенной средней.
4. Если все варианты уменьшить или увеличить на какое-либо число,
то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится на
столько же.
Уменьшаем все варианты на , то есть = .
Тогда:
=
)
=
= .
(
Среднюю арифметическую первоначального ряда можно получить
следующим образом:
= + .
44
5. Средняя арифметическая не изменится, если пропорционально из-
менить (уменьшить или увеличить) все веса (частоты). Так, если все веса
уменьшить в раз, то:
=
=
.
Перечисленные свойства средней могут быть использованы для
упрощения расчета средней арифметической из вариационного ряда.
Такой способ расчета с использованием ее свойств известен в статистике
как способ «условного нуля» или «условной средней», а также способ мо-
ментов.
По указанному способу средняя арифметическая вариационного ряда
вычисляется по следующей формуле:
= + ,
где , – какие-либо постоянные числа;
– момент первого порядка:
=
.
В качестве постоянного числа , которое вычитается из всех вариант,
как правило, выбирают середину центрального интервала или варианту,
имеющую наибольшую частоту.
В качестве постоянного числа , на которое делят все варианты, как
правило, выбирают величину интервала.
45
5.5. СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ
Как уже отмечалось, средняя гармоническая – это вид степенной
средней при показателе степени = 1 (см. рис. 1).
Наряду с другими видами средних величин средняя гармоническая
служит обобщающим показателем признака у единиц совокупности.
Выбор средней гармонической в ряде случаев определяется характе-
ром исходных данных и смыслом производных расчетов. Средняя гармо-
ническая вычисляется тогда, когда в исходных данных веса вариантов
осредняемого признака непосредственно не заданы, а входят как сомно-
житель в один из имеющихся показателей.
Средняя гармоническая рассчитывается по следующим формулам:
=
простая;
1
=
взвешенная.
где
– объем признака:
= .
По существу, средняя гармоническая – это преобразованная средняя
арифметическая, которая применяется в случае, когда неизвестна числен-
ность совокупности и приходится взвешивать варианты по объемам при-
знака. Учитывая формулу, преобразуем арифметическую взвешенную
в среднюю гармоническую взвешенную:
=
.
46
5.6. СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Достоинством средней как обобщающего показателя является то, что
она одной величиной характеризует целую совокупность различных вели-
чин. Но для всесторонней характеристики совокупности, как и для решения
некоторых практических задач, нужны и такие обобщающие показатели, ко-
торые характеризуют структуру совокупности, особенности распределения
ее единиц по величине изучаемого признака. К таким показателям относятся
мода и медиана, которые называются структурными средними. Последние
относятся к средним потому, что они привлекаются и для определения ти-
пических характеристик совокупности, несмотря на то что типичность этих
характеристик отличается от типичности других средних.
Мода () – это значение варьирующего признака, наиболее часто
встречающееся в данном ряду. Например, цена, по которой чаще всего ре-
ализуется данный товар на рынке, является модой (или модальной ценой).
Месячная заработная плата, которая чаще всего встречается в данном кол-
лективе, является для него модальной заработной платой.
В дискретном ряду мода определяется как варианта, имеющая
наибольшую частоту. Определение моды в интервальном ряду требует
расчета по формуле:
где
=
– нижняя граница модального интервала;
– верхняя граница модального интервала;
– частота интервала, предшествующего модальному;
– частота модального интервала;
+
(
)
+ (
(
×
)
)
,
– частота следующего за модальным интервалом.
Модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту.
Медиана () – это значение признака (варианта), которое приходит-
ся на середину упорядоченного ряда. Медиана делит ряд на две равные
части. Одна часть единиц совокупности имеет значение варьирующего
признака меньшее, чем медиана, другая – большее.
47
В упорядоченном ряду с нечетным числом членов медианой является
Выработка одного
Количество
Накопленная
до 8
12
12
Итого
146
–
значение признака, приходящееся на центральный член ряда.
В интервальном вариационном ряду медиана определяется по формуле:
(
×
)
,
=
+
2
где
– нижняя граница медианного интервала;
– верхняя граница медианного интервала;
– общая численность вариант (последняя накопленная частота);
– накопленная абсолютная численность вариант до начала медиан-
ного интервала;
– накопленная абсолютная численность вариант до конца медиан-
ного интервала.
Медианным называется интервал, в котором накопленная абсолютная
численность вариант менее половины общей численности.
Исчислим моду и медиану на примере данных о выработке рабочих
(табл. 2).
Таблица 2
рабочего, шт. в час
8–10
10–12
12–14
14–16
16–18
18–20
свыше 20
Группировка рабочих по их выработке
рабочих
20
24
28
20
18
14
10
48
численность
32
56
84
104
122
136
146
Для исчисления моды определяем модальный интервал. Это интервал
12–14.
28 24
= 12 +
(
28 24)+ (28 20)
(
×
14 12
)
= 12,7.
Самая распространенная выработка у рабочих составляет 12,7 шт.
в час.
Для определения медианы рассчитаем абсолютную численность.
Данные показывают, что медианным также является интервал 12–14.
146
56
= 12 +
2
(
×
14 12
)
= 13,2.
84 56
Из расчета следует, что одна половина рабочих имеет выработку ме-
нее 13,2 шт. в час, вторая половина – более 13,2 шт. в час.
Моду и медиану можно определить графически. Для нахождения мо-
ды строится гистограмма – столбиковая диаграмма, для построения кото-
рой на оси абсцисс откладывают отрезки, соответствующие величине ин-
тервалов вариационного ряда. На оси ординат откладывают соответству-
ющие частоты или частости и восстанавливают прямоугольники с основа-
нием на оси абсцисс. Высота прямоугольников соответствует частотам
или частостям. Затем в самом высоком прямоугольнике гистограммы от
границ двух смежных прямоугольников проводят две линии: левый верх-
ний угол самого высокого прямоугольника соединяют с одним из углов
прямоугольника, стоящего справа, и наоборот, правый угол – с одним из
углов стоящего слева прямоугольника. Затем из точки их пересечения
опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абс-
цисс, соответствующее перпендикуляру, и будет модой.
Медиану можно определить графически с помощью построения ку-
муляты. Затем из точки на шкале накопленных частот (частостей), соот-
ветствующей порядковому номеру медианы, проводится прямая, парал-
лельная оси до пересечения с кумулятой. Далее из точки пересечения
49
указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс.
Значение признака на оси абсцисс, соответствующее проведенной ордина-
те (перпендикуляру), и будет медианой. Построение кумуляты: на ось
абсцисс наносятся значения вариантов (точки для дискретного ряда или
интервала для интервального) и из каждой точки или верхней границы ин-
тервала восстанавливается перпендикуляр (ордината), высота которого
соответствует накопленной частоте (или частости) данного варианта, а за-
тем вершины перпендикуляров последовательно соединяются плавной
линией. Полученная кривая и именуется кумулятой или кривой сумм.
Контрольные вопросы
1. Поясните сущность и значение средних величин.
2. Назовите виды средних величин.
3. Приведите формулы средней арифметической простой и взвешен-
ной. Каковы случаи их использования?
4. Приведите формулу средней гармонической взвешенной.
5. Чем обусловлен выбор средней величины?
6. Как определить моду в интервальном ряду?
7. Дайте определение медианы. Как определить медиану в интерваль-
ном ряду?
8. Как определить моду с помощью построения гистограммы?
9. Как определить медиану с помощью построения кумуляты?
50