Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Система эвристических приёмов решения задач по физике. Теория, методика, примеры. Учебно-методическое пособие.pdf
Разобьём задачу на три подзадачи:
1
V
1
)( gVgm
m
ВКЛ
ρ
=+
Л
m
К
m
В
ρ
,
1
В
К
В
Л
В
КЛ
m
mm
m
V
ρρ
ρ
+=
+
=
Л
V
В
Л
Л
m
Vρ=
К
К
К
m
Vρ=
К
ρ
К
К
В
Л
КЛ
m
m
VV
V
ρ
ρ
+=+=
2
12
VV <
В
К
ρρ
>
чкм /21=
υ
чкм /62=
υ
Рис. 5.1.б.
Рис 5.1.а.
1. Найдём объём воды, вытесняемый лодкой и камнем в начале;
2. Найдём объём воды, вытесняемый лодкой и камнем в конце;
3. Сравним вытесняемые телами объёмы; сделаем вывод об изменении
уровня воды в пруду.
Решение первой подзадачи. Изобразим на рисунке начальное со-
стояние системы (см. рис. 5.1.а.). Лодка, плавающая с камнем, вытесняет
объем воды
. Из условия плавания тел
,
где
стоянная силы тяжести, находим
- масса лодки,
- масса камня,
- плотность воды, g - по-
(1)
Решение второй
подзадачи. Изобразим на
рисунке состояние системы (см. рис.5.1.б.). Лодка
без камня вытесняет объём
воды
. Из условия пла-
вания тел находим
. Камень, погруженный в воду, вытесняет объём воды, равный
собственному
, где
- плотность камня. Получаем, что, пла-
вающая лодка и камень на дне вытесняют объём
(2)
Решение третьей подзадачи. Сравнивая (1) и (2) легко заметить, что
, т.к.
. Следовательно, после перекладывания камня в во-
ду камень и лодка стали вытеснять меньший объём воды. Значит, после
перекладывания камня в воду уровень воды в пруду понизится.
Задача 5.2. (6.7.) «Средняя скорость» Одну пятую часть всего пути от
дома до школы ученик, задумавшись, шёл со скоростью
, затем, вспомнив о школе, он ускорил шаг и треть ос-
тавшегося времени двигался со скоростью
, однако, за-
метив, что не успевает к началу урока, оставшуюся часть пути он
81
пробежал со скоростью
чкм /9
3
=
υ
t
s
ср
=
υ
ост
υ
ост
ост
ост
ост
ср
ss
s
s
s
s
tt
s
υυ
υυ
υ
5
4
5
1
1
1
1
+
=
+
=
+
=
1
1
1
4
5
5
4
5
1
1
υυ
υυ
υυ
υ
+
⋅
=
+
=
ост
ост
ост
ср
ост
ост
ост
t
s
=
υ
ост
остост
ост
ост
ост
t
tt
t
tt
t
ss
3
2
3
1
32
332232
υυ
υυ
υ
+
=
+
=
+
=
32
3
2
3
1
υυυ
+=
ост
Дано
чкм /21=
υ
s
s
5
1
1
=
чкм /62=
υ
ост
tt
3
1
2
=
чкм /93=
υ
?−
ср
υ
на всём пути.
Перекодируем текст в схему: запишем краткое условие задачи.
Следуя принципу простоты, запишем основное уравнение для вы-
. Определите среднюю скорость
числения средней скорости
После сокращения получаем
перь решим мини задачу по нахождению средней скорости на оставшемся
участке» пути (втором и третьим участках):
показывает, что больше информации имеется об интервалах времени, поэтому будем преобразовывать числитель дроби, чтобы выразить отдельные
интервалы пути движения через скорости на этих участках и время движе-
условия показывает, что больше информации
имеется обо всём пути, поэтому начнём преобразовывать знаменатель дроби, чтобы выразить отдельные интервалы времени движения через скорости на этих участках и длину всего пути. При
этом заметим, что второй и третий участок на
первых порах удобно объединить в один и на-
звать его – «оставшийся участок» и обозначить
средняя скорость на «оставшемся участке» (вто-
ром и третьем) как
. Анализ условия
. Анализ
. Тогда
.
. Те-
ния.
ния получаем
. Подставив это значение в формулу
82
. После сокраще-
средней скорости на всём пути, получаем
132
132
122
)2(5
υυυ
υυυ
υ
++
⋅+
=
ср
ч
км
ср
5
=
υ
. Подста-
вив числовые значения, получаем
Разделение тела или системы тел на части
Если необходимо найти некоторую характеристику исследуемого
объекта, имеющего сложное строение, то можно попытаться, мысленно
разделить объект на более простые элементы, определить искомую характеристику для отдельных элементов, а затем, опираясь на результаты исследования отдельных элементов, сделать вывод о всём объекте. Пример
такого подхода показан в решении следующей задачи.
Задача 5.3. «Центр масс плоского треугольника» Где находится центр
масс однородного плоского треугольника?
Известно, что центр масс симметричной однородной фигуры совпадает с её центром симметрии. Разобьём тре-
угольник на узкие полоски, параллельные одной
из сторон. Центр масс
каждой из полосок находится на её середине (см.
рис. 5.3.). Видим, что центры масс полосок лежат на медиане треугольника, значит, центр масс треугольника тоже находится на этой медиане. Если
разбиение проводить вдоль любой другой стороны, то приходим к тем же
заключениям.
Следовательно, центр тяжести однородного плоского треугольника
находится в точке пересечения его медиан.
.
Разделение процесса на части в пространстве и во времени
Исследуемый в задаче процесс, можно попробовать разделить на
части и сначала исследовать их, а затем сделать вывод обо всём процессе.
Иногда процесс разбивают на относительно небольшое количество частей,
как в задаче 5.4. «Гонки «Формула-1Ц». В других случаях оказывается
удобным разделить процесс на бесконечно малые части, когда изменением
некоторых величин уже можно будет пренебречь и считать их равными
средним значениям на данном участке, такой подход реализован в задаче
5.5. «Лёд на озере». В некоторых случаях разделение процессов приходится осуществлять искусственно, слегка изменяя, но существенно упрощая
задачную ситуацию. Это удобно в тех случаях, когда несколько процессов
83
начинаются одновременно, но один из них протекает и заканчивается зна-
м200
м800
2
/2 см
р
t
22
2
р
at
=
а
t
р
=
а
t2=
+=aat
21
0
4
минct 21200==
чительно быстрее остальных. В таком случае можно считать, что сначала
начинается и заканчивается только быстротекущий процесс, а затем начинаются остальные. Данный подход уже использовался при решении задачи
4.2. «Опилки в бассейне» и более подробно рассмотрен в описании решения задачи 5.6. «Шарик и брусок».
Задача 5.4. «Гонки «Формула-1Ц». В Цветочном городе коротышки
решили устроить гонки на автомобилях. Трассу гонки «Формула-Ц1»
сделали в виде геометрически правильного прямоугольника со сторо-
нами
и
. Старт (он же финиш) расположили на углу
прямоугольной трассы. Найдите минимальное время, за которое коротышка-гонщик может проехать один круг по этой трассе, если максимальное ускорение самого лучшего автомобиля, участвующего в
гонках равно
, ширина трассы лишь немного превышает ширину автомобиля. По правилам соревнований во время гонки и при
финишировании выезжать с трассы запрещено. Считать, что длина
автомобиля не намного больше его ширины.
Из формулировки задачи следует, что дорога узкая, следовательно,
на поворотах скорость автомобиля должна уменьшаться практически до
нуля, чтобы при развороте не выехать с трассы. Процесс движения автомобиля по трассе можно разбить на четыре части, соответствующие движению автомобиля по каждой из сторон четырёхугольника. Рассчитаем
отдельно время прохождения каждого участка, а затем, сложив, найдём
общее время движения. На каждом участке автомобиль должен первую
половину пути двигаться ускоренно, а вторую половину замедленно, с тем
же по модулю ускорением. Время разгона
на прямолинейном участке
находим из соотношения
, откуда
. Столько же времени
автомобиль будет замедляться. Значит, время движения на любом прямолинейном участке трассы связано с длиной этого участка соотношением
. Учитывая прямоугольную форму трассы, получаем, что мини-
мальное время движения автомобиля по трассе равно
Следовательно,
.
.
Задача 5.5. «Лёд на озере» Оцените, с какой скоростью увеличивается
зимней ночью толщина льда в озере. Исходные данные: температура
84
воздуха равна
Ct °−= 27
смН 50=
3
/900 мкг
Л
=
ρ
кгДж/103,3
5
⋅=
λ
СмВтk °⋅= /2,2
h
S
h
tSkq∆⋅
⋅=
τ
υ
∆
∆
=
h
h
∆
τ
∆
τ
∆
B
m∆
λ
⋅∆=∆
B
mQ
1
hSmm
ЛЛB
∆⋅⋅=∆=∆
ρ
λρ
hSQ
Л
∆=∆
1
τ
∆
τ
∆⋅=∆ qQ
2
Ct °
= 0
0
τ
∆
−
=∆
H
ttS
kQ
)(
0
2
21
QQ ∆=∆
τλρ
∆
−
=∆
H
ttS
khS
Л
)(
0
λρτ
υ
Л
H
ttkh )(
0
−
=
∆
∆
=
чммсм /44,1/104
7
=⋅=
−
υ
, толщина льда
, плотность льда
, удельная теплота плавления льда
, коэффициент теплопроводности льда
. Рекомендации: при оценке следует пренебречь
теплоёмкостями льда и воды, а также учесть, что количество теплоты,
проходящее в единицу времени через слой вещества толщиной
площадью
вычисляют по формуле
.
и
Очевидно, что с увеличением толщины льда скорость замерзания
уменьшается, т.е. не является постоянной величиной. Но, если разбить
процесс замерзания льда на очень маленькие промежутки времени, то
можно считать, что за такой малый интервал времени скорость замерзания
не изменяется и равна
малый интервал времени
масса
воды. При этом выделяется
ся в лёд, поэтому
, где
. Предположим, что за время
– изменение толщины льда за
замерзает
. Вода превращает-
. Тогда
.
Будем считать, что всё тепло, выделенное при замерзании воды,
пошло на нагрев воздуха. Количество теплоты, переданное воздуху за
время
температура замерзающей воды равна
, можно вычислить по формуле
. Учитывая, что
, получаем
. Пренебрегая колебаниями температуры воды, льда,
воздуха. конвективным переносом тепла в воде и т.п. можно записать
уравнение теплового баланса
Тогда скорость изменения толщины льда равна
вив все величины в СИ получим
или
. Подста-
.
!!! Эвристико-алгоритмический приём «Рассмотреть бесконечно ма-
лое изменение системы». Если изменения, происходящие в системе,
носят сложный характер, то можно разбить весь процесс на такие маленькие участки, на которых изменением большинства его характеристик можно пренебречь. Затем вычислить интересующую нас величину
на каждом из участков, а результирующее значение искомой величины
найти как сумму её значений на отдельных участках.
.
85
Задача 5.6. «Шарик и брусок» Пластилиновый шарик массой т дви-
0
υ
М
10
)(
υυ
Мтт +=
Мтт+
=
0
1
υ
υ
gHМтМт)(
2
)(
2
1
+=
+
υ
H−= αcos
2
202
)(2
1cos
Mmgm+
−=
υ
α
)
)(2
1arccos(
2
202
Mmgm+
−=
υ
α
т
М
0
υ
Рис. 5.6.а.
М
т
1
υ
Рис. 5.6.б.
т
М
α
жется горизонтально со скоростью
сы
новения шарик прилипает к бруску. На какой максимальный угол от
вертикали может отклониться нить, на которой подвешен брусок.
брусок приходит в движение и нить подвеса начинает отклоняться. Однако, процесс прилипания шарика к бруску длится существенно меньше
процесса отклонения нити. Для упрощения расчётов разделим во времени
процесс взаимодействие шарика с бруском и процесс отклонения нити с
бруском от вертикали.
, неподвижно висящим на нити длиной . В результате столк-
Безусловно, как только шарик начинает взаимодействовать с бруском,
Сначала рассмотрим процесс столкновения. Для наибольшего отклоне-
ния от вертикали брусок, в результате столкновения, должен приобрести
максимально возможную скорость. Очевидно, что наибольшую скорость
поступательного движения
брусок приобретёт, если
скорость шарика будет направлена на
центр масс
бруска (тогда
брусок не начнёт вращаться).
Эту скорость можно найти из закона сохранения импульса:
(см. рисунки 5.6.а. и 5.6.б.).
и сталкивается с бруском мас-
Откуда
ска. Для этого можно применить закон сохранения механической энер-
гии:
нити можно найти из геометрических соображений:
(3)
С учётом формул (1), (2) и (3) получаем
. (1) Теперь рассмотрим процесс отклонения бру-
. (2) Наибольший угол отклонения
.
или
.
86
!!! Эвристико-алгоритмический приём «Остальные замерли». Если в
Н
п
mgH
m
=
2
2
0
υ
gH2
0
=
υ
gH
nn
2
1
1
01
==
υυ
задаче рассматривается движение одного из многих движущихся объектов (исследуется один из нескольких происходящих одновременно
процессов), иногда оказывается удобным считать, что все остальные
объекты замерли (процессы прекратились), и рассмотреть движение
интересующего нас объекта относительно других неподвижных тел
(исследовать интересующий нас процесс в условиях, когда остальные
процессы прекратились). Что сделать значительно проще! Если скорость движения этого объекта (скорость протекания исследуемого процесса) значительно больше скорости движения (скорости протекания)
остальных объектов (процессов), то полученный нами результат в упрощённой задачной ситуации будет близок к истинному. Если скорости
соизмеримы, то в полученный результат решения упрощённой задачи
следует внести числовые поправки, но функциональная зависимость
будет иметь тот же вид.
ВЫЯВИТЬ ПЕРИОДИЗАЦИЮ
Если исследуемый процесс имеет повторяющийся характер, то
можно попробовать выявить закономерности этого процесса, которые
позволят сделать вывод о состоянии рассматриваемого объекта в интересующий нас момент времени. Среди закономерностей, позволяющих существенно упростить формулы, описывающие периодический процесс
можно выделить такие как гармонический характер колебаний, арифметическую и геометрическую прогрессии. Например, как в следующей задаче.
Задача 5.7. «Подпрыгивающий мяч» Мяч падает с высоты
на гори-
зонтальную плоскость. При каждом отскоке его скорость уменьшает-
раз. Найдите путь, пройденный мячом от начала движения до
ся в
остановки.
Очевидно, что процесс движения мяча имеет периодических характер, но
высота, на которую подпрыгивает мяч после очередного отскока от плоскости, постепенно уменьшается. Попытаемся выявить закономерность
убывания высоты подъёма мяча. Найдём скорость мяча в момент первого
столкновения с плоскостью. Согласно закону сохранения механической
энергии можно записать
, откуда получаем, что
.
После первого отскока от плоскости скорость мяча станет равной
. Из закона сохранения механической энергии получаем,
87
что высота подъёма после первого столкновения будет равной
g
h
2
2
1
1
υ
=
2
1
n
H
h =
42
1
2
n
H
n
h
h ==
...
22
42
++
+=
n
H
n
H
H
s
++++= ...
11
1
2
422
nnn
H
Hs
11=
a
2
1
n
q =
q
a
S−=
1
1
1
2
2
−=n
n
S
1
2
2
2
2
−
⋅+=
n
n
n
H
Hs
1
1
2
2
−
+
=
n
n
Hs
O
S
, а, с
учётом предыдущего соотношения
. Рассуждая аналогично, полу-
чаем, что после второго столкновения мяч подпрыгнет на высоту
. Следовательно, путь, пройденный мячом можно вычислить
по формуле
или
. Можно
заметить, что в скобках записана сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом этой прогрессии
Сумму такой прогрессии вычисляют по формуле
сумма нашей геометрической прогрессии равна
значение в формулу для расчёта пути, получаем
и знаменателем
. Следовательно,
. Подставив это
или
.
ВВЕСТИ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Иногда задачная ситуация приходит к стандартному для решающего ви-
ду после внесения в неё дополнительных вспомогательных элементов.
Действительно, довольно часто для того, чтобы можно было математически записать закономерности, характерные для задачной ситуации, на некотором этапе решения оказывается удобным и даже необходимым использовать вспомогательные величины, значения которых неизвестны и не
нужны для получения итогового ответа. Добавление в рассматриваемую
систему вспомогательных предметов может помочь по-другому посмотреть на задачную ситуацию увидеть незамеченные ранее закономерности.
Одним из таких вспомогательных элементов является вспомогательный
луч, использующийся в задачах на геометрические построения.
.
Задача 5.8. (5.11.) «Вспомогательный луч» На главной оптической
оси линзы находится предмет S ,
постройте изображение этого
88
предмета в тонкой собирающей линзе (см. рис. 5.8.а.).
Рис. 5.8.б.
S
Вспомогательный луч
S'
Фокальная плоскость
Рис. 5.8.в.
S
Известно, что для построения изображения точечного объекта достаточно найти точку, где пересекутся хотя бы два луча, отражённых от
объекта и прошедших через линзу. Проще всего воспользоваться следующими лучами: луч, прошедший через оптический центр тонкой линзы не
преломляется, луч, прошедший через фокус, после преломления идёт параллельно главной оптической оси, центр тонкой линзы, луч, шедший параллельно главной оптической оси, после преломления проходит через
фокус. Однако в данном случае все три указанных луча сливаются в один
(см рис. 5.8.б.). Поэтому можно воспользоваться ещё одной особенностью
преломления лучей в собирающей линзе: лучи, падающие на линзу параллельно, после преломления собираются в фокальной плоскости (данным
свойством обладают пучки
параллельных лучей, падающих под небольшим
углом к главной оптической
оси). Проведём (произвольно) луч от объекта до линзы. Проведём через оптический центр линзы вспомо-
гательный луч, параллельный основному. Через фокус, находящийся за линзой
проведём перпендикулярно
главной оптической оси
фокальную плоскость. Найдём точку пересечения вспомогательного луча с фокальной плоскостью.
Через эту точку проведём продолжение основного луча, после преломления в линзе. В точке пересечения преломлённого основного луча с главной
оптической осью будет расположено изображение S' объекта (см. рис.
5.8.в.).
Иногда оказывается, что решение задачи существенно упрощается,
если произвести комбинаторику исследуемых объектов (мысленно или
практически перегруппировать, переставить некоторые из рассматриваемых в задаче предметов или процессов), т.е. внести в задачную ситуацию
небольшие изменения, которые, не приведут к общему изменению задачной ситуации. К таким изменениям относятся: смена последовательности
процессов, изменение взаимного расположения объектов, замена реально-
ИЗМЕНИТЬ ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
(комбинаторика явлений и предметов)
89
го процесса на симметричный ему «зазеркальный», небольшое смещение
Рис. 5.10.
Рис. 5.9.б.
объекта в сторону от начального положения, выражение искомого частично через себя.
Смена последовательности процессов
Задача 5.9. (5.1., 5.10., 6.11.) «Лодка с камнем» В пруду плавает лодка, в
которой находится камень. Как изменится уровень воды в пруду, если
камень опустить на дно в воду.
Предположим, что сначала в пруду плавает лодка без камня (см. рис.
5.9.а.).
Если камень положить в лодку, то лодка с камнем дополнительно вытеснит объем V
воды, вес которой равен весу камня (см. рис. 5.9.б.). .
1
Если камень положить не в лодку, а в воду, то он дополнительно вытеснит
объем V
воды, равный объему камня (см. рис. 5.9.в.). При этом вес вытес-
2
ненной воды будет меньше веса камня, т.к. его плотность больше плотности воды.
И
з
м
е
н
Изменение взаимного расположения предметов
Задача 5.10. (5.1., 5.9., 6.11.) «Лодка с камнем» В пруду плавает лодка, в которой на-
ходится камень. Как изменится уровень
воды в пруду, если камень опустить на дно
в воду.
Предположим, что камень находится не
в лодке, а привязан на веревке к дну лодки
(см. рис.5.10.). Объём вытесненной воды при
этом не изменится и будет равен объёму воды, вес которой равен весу лодки и камня. Поэтому уровень воды в пруду будет одинаковым. Если перерезать веревку, то камень останется в воде, а глубина погружения лодки
уменьшится. Следовательно, уменьшится объём вытесняемой ею воды, а
уровень воды в пруду понизится.
Рассмотреть небольшое смещение
90