Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Система эвристических приёмов решения задач по физике. Теория, методика, примеры. Учебно-методическое пособие.pdf
щения за время полёта можно вычислить по формуле
τ
υυ
2
0
+
=s
υ
υ
⊥
0
)
(
0
υ
υ
+
τ
υυ
g
=−
0
τ
g
g
0
υ
υ
)(
0
υυ
+
)(
0
υυ
−
00
υυ
υυ
−
=+
gt=+
υυ
0
2
2
τ
gs =
мs 20≈
τ
, мин
0 5 10
15
20
25
30
t,0C 3 1 0 0 0 0
0
кгДж
/104,35⋅
кгДж
/103,2
6
⋅
)/(4200
0
СкгДж
⋅
)/(2100
0
СкгДж
⋅
Рис. 4.5.б.
0
υυτ
−=g
υ
0
υ
υυ
+
0
. Для
получения дополнительных соотношений учтём, что
используя правило параллелограмма, вектор
Кроме того, можно записать:
, он направлен вертикально вниз, по-
скольку параллелен вектору
правилу параллелограмма начало этого вектора совпадает с концом вектора
концом вектора
торы
лями прямоугольника (учёт особенностей
системы), тогда имеет место равенство
тора перемещения равен
Заметить и понять особенности рассматриваемых процессов может
помочь изображение взаимосвязи между величинами в виде графиков. Например, как это сделано в решении следующей задаче.
. Легко заметить, что век-
и
, а, следовательно,
являются диагона-
ИССЛЕДОВАТЬ ГРАФИК
. Согласно
, а конец – с
. Получаем
. Изобразим на рис 4.5.б. вектор
. Поэтому модуль век-
и построим,
(см. рис. 4.5.б.).
.
Задача 4.6. «Ведро с водой» Ведро с водой вынесли на мороз и начали
измерять температуру, записывая показания термометра через каждые 5 мин. По измеренным данным составили таблицу:
Какая часть воды успела замёрзнуть за первые 30 мин? Удельная теплота плавления льда равна
образования воды равна
ды
, удельная теплоёмкость льда
71
, удельная теплота паро-
. удельная теплоёмкость во-
,
Используя табличные данные, построим график зависимости темпе-
C°
0
мин5
,7
мин5
,71=
τ
мин5,22
2
=
τ
P
11
τ
⋅
=∆⋅⋅ Ptmc
2
τ
λ
⋅=∆⋅ Pm
c
m
1
t∆
C°0
m∆
2
τ
5
,7
5,22
126
3400=∆⋅
m
9
1
11,0
3400
378
≈≈=
∆
m
m
Рис. 4.6.а.
Время, мин
Температура, °С
3
0
5 10 15 20
Время, мин
Температура, °С
3
0
5 10 15 20
Рис. 4.6.б.
ратуры воды от времени. Экспериментальные данные отметим на графике
в виде кружков (рис. 4.6.а.). Учитывая тот факт, что температура воды изменилась всего на три градуса, можно считать, что за одинаковое время
вода отдаёт одинаковое количество теплоты. Следовательно, графиком
охлаждения воды будет отрезок прямой, проходящий через первые две
экспериментальные точки и оканчивающийся в точке, соответствующей
температуре
процесса будет отрезок прямой параллельный оси времени, т.к. при кристаллизации температура не изменяется (рис. 4.6.б.). Анализ графика и
табличных данных указывает, что точка излома графика приходится на
отметку
тем
шёл процесс кристал-
лизации. Поскольку
мощность
отдачи не изменялась
для охлаждения воды
можно записать:
а для кристаллизации:
- удельная теп-
где
лоёмкость воды,
масса воды в ведре,
– уменьшение
температуры воды до
, λ – удельная
теплота кристаллизации воды,
са воды кристаллизовавшейся за время
.
Разделив одно уравнение на другое и подставив числовые данные полу-
. Далее вода начнёт кристаллизоваться. Графиком этого
. Следовательно, вода в ведре охлаждалась в течение
, а за-
2
тепло-
,
1
,
–
2
1
– мас-
чим:
за 30 мин успела замёрзнуть примерно одна девятая часть воды.
, откуда
. Таким образом,
72
УТОЧНИТЬ-ИЗМЕНИТЬ МОДЕЛЬ.
3
10 мVВ=
Ct
В
°=
25
кгmП1=
C
t
П
°=
500
CкгДжс
П
°⋅= /140
CкгДжс
В
°⋅= /4200
кгДжr
B
/
103,
26⋅=
Сt
0
0
100=
)
(0tt
mcQ
пппОТД
−=
)100600
(1140
00
0
С
Скг
Скг
Дж
Q
ОТД
−
⋅⋅
⋅
=
ДжQ
ОТД
70000
=
Сt
0
0
100=
)(
вкипвв
ПОЛ
ttmcQ −=
3
1000
м
кг
в
=
ρ
343
3
10101000 мм
м
кг
Vm
вв
==⋅=
ρ
Дано:
рилось?
Если в результате выполненных в рамках построенной модели, решение задачи найти не удаётся, то сначала следует попытаться уточнить
модель задачной ситуации. Если корректировка модели не помогает, и тем
более, если получаются противоречивые результаты, надо постараться ещё
раз внимательно изучить особенности исследуемых в задаче объектов и с
помощью новых гипотез разработать новую модель. Так как это показано
на примере решения следующей задачи.
Задача 4.7. «Опилки в бассейне» Имеется бассейн с водой объёмом
при температуре
ные платиновые опилки общей массой
. В него высыпают раскалён-
и температурой
. Оцените, сколько испарилось воды. Удельная теплоём-
кость платины
, воды
,
удельная теплота парообразования воды
.
Запишем краткое содержание задачи и рассмотрим характерный
для многих учащихся ход решения.
При обычных условиях вода кипит при
(подбор дополнительных справоч-
сп = 200 Дж/кг
= 4200 Дж/кг
с
в
⋅
r = 2,3
t
t
m
V
106 Дж/кг
= 250С
в
= 6000С
п
= 1 кг
п
= 10 м3
в
0
⋅
С
0
⋅
С
Сколько воды испа-
ных данных). Найдём количество теплоты, ко-
торое было отдано опилками при остывании до
температуры кипения воды.
,
.
.
Предположим, что всё тепло, отданное опил-
ками, пошло на нагрев всей воды в бассейне и её частичное испарение
(идеализация явлений). Количество теплоты, которое необходимо для на-
грева всей воды бассейна до
можно рассчитать по формуле:
. Массу воды в бассейне найдём, зная, что плот-
ность воды равна
,
.
73
Тогда
)25100(104200
004
0
ССкг
Скг
Дж
Q
ПОЛ
−⋅⋅
⋅
=
ДжQ
ПОЛ
3150000000=
В
m∆
ВВВ
В
ПОЛ
mrttm
cQ
∆+−∆
= )(
0
ПОЛОТД
QQ =
rt
tc
tt
mc
m
ВВ
ППП
В
+−
−
=∆
)(
)(
0
0
кг
Дж
С
С
кг
Дж
Дж
m
В
60
0
103,2)25
100(
4200
70000
⋅+−
⋅
⋅
=∆
.027,
0 кгmВ≈
∆
г27
смR
20
1
=
смR 25
2
=
5,11=n
3
/4
2
=n
. Оказалось, что количество теплоты, которое
могут отдать платиновые опилки при охлаждении значительно меньше
количества теплоты, необходимого для нагрева всей воды в бассейне до
температуры, при которой начинается кипение. Однако, известно, что если
раскалённое тело поместить в воду часть её непременно испарится.
К сожалению, на этом этапе многие учащиеся останавливаются в
недоумении и перестают решать эту задачу!
Для разрешения полученного противоречия уточним структуру
модели следующим образом: учитывая, что вода обладает плохой теплопроводностью, а платина очень хорошей (анализ данных), будем считать,
что нагревается и испаряется только та часть воды, массой
непосредственно контактирует с опилками (идеализация явлений, выдви-
жение новой гипотезы). В этом случае;
,
, которая
.
Из уравнения теплового баланса
;
Ответ: испарилось примерно
Этап 3. Разбор решений задач с демонстрацией эффективности
приёмов изучаемого семейства.
Задача 4.8. «Система линз» (учёт особенностей системы) Две тонкие
стеклянные линзы прижаты вплотную друг к другу и пространство
между ними заполнено тонким слоем воды. Одна линза двояковогну-
тая имеет радиусы кривизны поверхности
двояковыпуклая с радиусами кривизны поверхностей
Абсолютный показатель преломления стекла линз считать равным
, а воды
ской системы.
Уточним структуру системы: Так как линзы тонкие и прижаты
друг к другу, то оптическая сила этой системы равна сумме оптических
сил каждой линзы, причем слой воды, заполняющей пространство между
линзами, следует считать линзой. Учтём особенности системы: Оптическая сила системы тонких линз, расположенных вплотную друг к другу
. Определите оптическую силу этой оптиче-
74
воды.
получаем
, а другая −
.
равна сумме оптических сил всех элементов, входящих в систему:
...
321
+++= DDDD
экв
2
1
DDD
D
в
++=
1
D
2
D
в
D
( )
−−−=
11
11
11
1
RR
nD
( )
+−=
22
12
11
1
RR
nD
( )
−−=
21
2
11
1
RR
nD
в
( )
( )
( )
−−+
−+
−−=
21
2
2
1
1
1
11
1
2
1
2
1
RR
n
R
n
R
nD
( )
12
21
21
11
nn
RR
D −+⋅
−=
−+
−= 3
3
4
1
25,0
1
2,0
1
мм
D
3
2
−=D
чt
2=
кмs
420=
°= 60
α
чкмu /50=
υ
ts /=
υ
чкм /200=
υ
и
1
υ
и
+=
1
υυ
и
−=
υ
υ
1
.
В нашем случае
нутой линзы, равная,
оптическая сила «водяной линзы». Учтём, что
Тогда
откуда
Подставив числовые данные, получаем
Ответ: Оптическая сила системы равна
что фокус данной системы является мнимым.
Задача 4.9. «Вертолёт и ветер» (использование геометрических образов
векторных уравнений) С какой скоростью и по какому курсу должен
лететь вертолёт, чтобы за время
− оптическая сила двояковыпуклой линзы,
,
, где
− оптическая сила двояковог-
−
.
,
.
дптр. Знак “−” указывает,
пролететь точно на юг путь
,
,
лом
щемуся относительно земли со скоростью
делить скорость
сложения скоростей, можно записать
Скорость векторная величина, поэтому для нахождения дополнительных
соотношений (новых связей) между скоростями изобразим их в виде направленных отрезков (воспользуемся геометрическим образом векторных
Скорость
.
, если во время полета дует юго-восточный ветер под уг-
к меридиану со скоростью
вертолёта относительно земли находим по формуле
. Учтём, что вертолёт летит по воздуху, движу-
вертолёта относительно воздуха. Используя закон
75
, поэтому необходимо опре-
?
откуда
.
уравнений). Векторы скоростей изобразим в виде направленных отрезков,
1
υ
)(
1
и
−+=
υυ
1
υ
)180
cos(2
22
2
1
αυυυ
−
−+= ии
αυυυ
cos2
22
1
ии ++=
чкм /239
1
≈
υ
β
1
υ
βα
υ
sin)
180sin(
1
u
=
−
α
υ
β
sinarcsin
1
u
=
.12°≈
β
чкм
/239
1
≈
υ
°≈
12
β
A
м11=
ссм11=
υ
A
м6,
12=
r
1
~
υ
r~
1
υ
Рис.4.9.
u
−
1
υ
υ
β
α
Рис.4.10.а.
1
2
υ
1
2
1
υ
1
1
υ
вектор
найдём с помощью закона сложения векторов методом «тре-
угольника»
можно, применив теорему косинусов найти модуль вектора
Направление скорости, вернее угол
меридианом и направлением скорости
относительно воздуха, можно найти, используя тео-
рему синусов:
Ответ: чтобы успеть к сроку вертолёт должен лететь на юго-восток со скоростью
Задача 4.10. «Странный бег жука» (использование графика) Жуккороед бежал от дерева вдоль прямой так, что его скорость была обратно пропорциональна расстоянию до дерева. В тот момент, когда
жук находился в точке
рость равнялась
какое время жук пробежал от точки
до точки B, удалённой рас-
стоянии
Анализ условия указывает на
необычный характер зависимости
скорости жука от расстояния, аналитически эту зависимость можно запи-
от дерева.
(см. рис. 4.9.). Из полученного треугольника
,
,
, следовательно,
, под углом
на расстоянии
. За
между
вертолёта
. Откуда
к меридиану.
от дерева, его ско-
:
сать в виде функции
. Попробуем исследовать данный процесс графически. Если изо-
бразить график зависимости скорости от расстояния то получится гипербола. Такой график сложно исследовать. Если построить график зависимо-
или
76
сти
υ
1
i
r
∆
i
υ
i
i
i
i
i
t
r
r
∆
∆
∆
==⋅
υυ
1
i
t
∆
i
r
∆
r∆⋅
υ
1
i
t
∆
i
r
∆
i
r
∆
1
r
2
r
υ
1
r
( )
12
11
2
21
−
+
=υυt
12
12
:
1
:
1
=
υυ
1212
11
υυ
=
11
2
1
2
2
2
2
υ
−
=t
Рис.4.10.б.
i
υ
1
1
2
υ
1
i
r
∆
Рис.4.10.в.
2
1
υ
1
2
1
υ
1
1
υ
от r, то получится прямая (см. рис. 4.10.а.). Рассмотрим получен-
ный график. Заметим, что произведение ординаты на абсциссу имеет размерность времени. Действительно, рассмотрим маленький участок пути
. Будем считать, что на столь малом участке пути скорость не успевает
существенно измениться. Обозначим
среднюю скорость на данном участ-
ке
, тогда
, где
– время, за которое жук пробежал
расстояние
дение
равно площади трапеции, ограниченной участком оси абсцисс
соответствующего участка графика и вертикальными отрезками, прове-
дёнными от линии графика до оси абсцисс. Аналогичные рассуждения
можно провести для всех остальных отрезков времени, следовательно,
время движения жука численно равно площади всей фигуры, ограничен-
ной участком оси абсцисс от
. По графику (см. рис. 4.10.б.) легко заметить, что произве-
, т.е. время
похождения жуком расстояния
до
линией графика зависимости
, численно
, линией
от
(см. рис. 4.10.в.) и вертикальными отрезками, проведёнными от линии
графика до оси абсцисс. Получаем, что
, поэтому
77
, тогда
, откуда, под-
. Учтём, что
ставив числовые данные, получаем
ct 782=
z
y
z
y
x
z
y
z
y
x
y
x∆
z
xyz
∆=∆
z
1
x
2
x
x
Рис.Б.
0
площ
площ
площ
S
S
zz
Sz
xyz
=
=∆=
=∆=
∆=∆
=
∑
∑
∆∆
.
X
Y
2
x
1
x
x
∆
площ
S
∆
Рис.А.
.
12
)(
площ
Sz
xxyxyz
=
−==
∆
X
1
x
2
x
Y
y
!!! Эвристико-алгоритмический приём «Площадь под графиком». Ес-
ли в исследуемом процессе искомая величина
и от изменения величины x, причём y тоже зависит от x, то зна-
чение величины
графиком функциональной зависимости
фигуры вычисляют в единицах эквивалентным единицам измерения
величин
и y).
оказывается численно равным площади фигуры под
.
зависит от величины
от x (при этом площадь
Пояснения: Если в исследуемом процессе искомая величина
от постоянной величины
величины
образованного линией графика зависимости
кальными линиями, проходящими через точки соответствующие крайним значениям изменяющейся величины
чина
интервале значений
гда величину
вычислить по формуле
численно равна площади соответствующей полоски участка под графи-
ком (форму этой полоски можно считать прямоугольной). Чтобы вы-
числить величину
просуммировать площади всех узких полосок под графиком в интерва-
ле изменения величины
Этап 4. Задания для самостоятельной работы во внеаудиторное время.
оказывается численно равным площади прямоугольника
тоже зависит от x, то при малом изменении значений x (на
(на таком малом интервале обозначим её z∆) можно
и от изменения величины x, то значение
от x, осью Х и верти-
(см. рис.А.). Если же вели-
) величина y практически не изменяется, то-
, следовательно, а это значит, что она
на всём интервале значений от
(см. рис. Б.).
78
до
зависит
, надо
4. Запомнить названия изученных эвристических приёмов и ос-
υ
u
В
υ
R
n
M
0
υ
m
max
F
m
m
2
υ
4
3
Рис.С.4.5.
4
3
т
новную идею их реализации при решении задач.
5. Подобрать задачи, иллюстрирующие эффективность использо-
вания каждого из изученных приёмов.
6. Решить задачи:
Задача С.4.1. Боцман, выйдя на палубу, определил, что корабль идёт на
запад со скоростью
. Какова скорость
Задача С.4.2. У тонкой плосковыпуклой линзы, радиусом кривизны
показателем преломления
ком расстоянии от центра линзы соберётся пучок лучей, падающих параллельно главной оптической оси?
Задача С.4.3. Тело за вторую секунду своего равноускоренного движения
из состояния покоя проходит путь 24 м. Какой путь пройдет тело за пятую
секунду своего движения?
Задача С.4.4. На покоящееся тело массой
тело массой
растет от 0 до значения
линейно убывает до 0 за то же время. Определите скорости тел после со-
ударения, считая его центральным.
Задача С.4.5. Два маленьких шарика соединены лёгким жёстким стержнем
длиной
вертикальной плоскости Масса нижнего шарика равна
При смещении нижнего шарика на маленькое расстояние в направле-
нии перпендикулярном стенке система
приходит в движение в плоскости рисунка
(см. рис. С.4.5.). Найдите скорость
него шарика в тот момент,
. Сила, возникающая при взаимодействии, сначала линейно
. Система «шарики-стержень» стоит вертикально, вплотную к
, а ветер дует точно с юго-запада со скоростью
ветра относительно земли?
и
посеребрена выпуклая поверхность. На ка-
налетает со скоростью
в течение промежутка времени τ, а затем
, а верхнего –
ниж-
когда верхний
шарик находился на высоте
зонтальной плоскостью. Считайте, что при
движении шарики не отрываются от плоскостей, трением можно пренебречь.
Задача С.4.6. Используя график докажите, что при равноускоренном движении из состояния покоя пути, пройденные телом за последующие равные промежутки времени, пропорциональны ряду нечётных чисел.
над гори-
79
Глава 5 (занятие 5)
СЕМЕЙСТВО ПРИЁМОВ
РАЗБИЕНИЕ НА ЧАСТИ И ПЕРЕСТРУКТУРИРОВАНИЕ
Этап 1. Повторение теоретического материала Главы 4. Краткий
разбор решений задач, предлагавшихся для самостоятельной работы
во внеаудиторное время.
Этап 2. Ознакомление с семейством приёмов «разбиение на части и
переструктурирование задачи»
Основная идея приёмов данного семейства заключается в том, что
для установления искомой зависимости между физическими величинами,
анализ которой позволил бы дать ответ на вопрос задачи, предлагается
разбить задачу или рассматриваемые в ней объекты на части и переструктурировать, т.е. изменить структуру рассматриваемых в задаче объектов
или структуру самой задачи. В данное семейство можно объединить следующие эвристические приёмы:
• Разделить на части
• Выявить периодизацию
• Ввести вспомогательные элементы
• Изменить взаимное расположение
• Заменить на равносильные объекты
• Выразить искомое через себя
• Решить обратную задачу
Дадим краткие пояснения данным приёмам:
РАЗДЕЛИТЬ НА ЧАСТИ
Разделение объекта исследования на составные части является одним из основных методов познания и называется анализом. Согласно
приёму «Разделение на части» для поиска решения задачи можно попытаться разделить процесс решения задачи на решение более простых подзадач, представить сложное взаимодействие объектов как несколько более
простых взаимодействий, мысленно расчленить рассматриваемое тело на
несколько более простых тел, представить исследуемый в задаче процесс
как несколько простых процессов, разделённых во времени или в пространстве. Рассмотрим подробнее различные варианты применения этого
приёма.
Разделение задачи на подзадачи
Задача 5.1. (5.9., 5.10., 6.11.) «Лодка с камнем» В пруду плавает лодка, в
которой находится камень. Как изменится уровень воды в пруду, если
камень опустить на дно в воду.
80