Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Система эвристических приёмов решения задач по физике. Теория, методика, примеры. Учебно-методическое пособие.pdf
цессов, не исследуя их динамику, а лишь рассмотрев состояние системы в
π
2
h
xp
x
≥∆⋅∆
x
p∆
x∆
x
p
π
2
h
t
E ≥∆⋅∆
t∆
E
некоторые определённые моменты времени, в некоторых определённых
областях пространства.
Принцип суперпозиции предлагает попытаться представить слож-
ный процесс (объект), рассматриваемый в задаче как результат наложения
друг на друга нескольких более простых процессов (объектов).
Согласно принципу соответствия, следует отбрасывать как оши-
бочные такие гипотезы и такие ответы на сложные задачи, из которых
нельзя получить путём упрощения задачной модели ответы на уже решённые более простые задачи.
Принцип причинности указывает на определённый порядок событий, согласно которому событие «причина» всегда предшествует событию
«следствие». Если в ходе решения оказывается, что принцип причинности
нарушается, то решающему необходимо искать логическую ошибку в собственных рассуждениях.
Соотношение неопределённостей и принцип дополнительности
предостерегают решающего от механистического переноса законов макромира на описание движения и взаимодействия микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул). Для объектов микромира характерен корпускулярно-волновой дуализм, поэтому энергетически-импульсная и пространственно-временная характеристики микрообъекта являются дополнительными друг к другу, а состояния, в которых взаимно дополнительные
характеристики (например, координата частицы и проекция её импульса
на соответствующую ось) имели бы одновременно определённые значения, принципиально невозможны. Использование соотношения неопределённостей позволяет установить рамки, в пределах которых необходимо
учитывать вероятностный характер поведения объектов микромира: в ча-
(
стности
ось Х,
когда он имеет импульс
энергии микрообъекта в стационарном состоянии,
момента времени, когда микрообъект обладаем энергией
заключения, опираясь на сходство рассматриваемых в задаче объектов с
объектами, исследованными ранее, сходство рассматриваемой задачи с
задачами, решёнными ранее.
ские принципы не являются эвристическими приёмами. Эвристические
- неопределённость координаты микрообъекта в тот момент,
Согласно методу аналогии, следует стремиться строить свои умо-
Несмотря на огромный эвристический потенциал, методологиче-
- неопределённость проекции импульса на
) и
41
(E∆- неопределённость
- неопределённость
).
приёмы имеют значительно более узкую направленность, поскольку их
формулировки нацелены на оказание помощи решающему в организации
его поисковой деятельности при решении задачи.
В семейство эвристических приёмов, указывающих, как на основе
общего (методологического) подхода можно выбрать направление поиска
взаимосвязи между объектами задачи, входят следующие приёмы:
• Посмотреть на ситуацию в целом.
• Найти аналогию.
• Искать элементы симметрии.
• Выявлять сохраняющиеся характеристики.
• Изменить направление взгляда, рассмотреть в различных системах
отсчёта.
• Представить как результат наложения (суперпозиции).
Дадим краткие пояснения данным приёмам:
ПОСМОТРЕТЬ НА СИТУАЦИЮ В ЦЕЛОМ
Умение представить задачную ситуацию в самых общих чертах, выделив только наиболее существенные особенности рассматриваемых процессов, опираясь, порой на интуитивном уровне, на методологические
принципы физики, часто помогает отыскать достаточно короткий, а иногда
и единственно верный, путь решения задачи.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 3.1. «Мальчик, дедушка, щенок» (Общий взгляд на проблему в це-
лом, опора на принцип простоты) Мальчик играл возле дома, когда за-
метил приближающегося к нему дедушку, идущего со скоростью 0,5
м/с. Мальчик пошёл навстречу дедушке со скоростью 1 м/с. Щенок, до
этого дремавший возле мальчика, тоже побежал к дедушке. Добежав
до дедушки, щенок, не сбавляя скорости, тут же побежал назад к
мальчику, а затем снова к дедушке и т.д. Какое расстояние пробежал
щенок к моменту встречи внука с дедушкой, если скорость щенка была 5 м/с, а начальное расстояние между мальчиком и дедушкой было
150 м.
Посмотрим на ситуацию в целом и ответим на вопрос: какова основная характеристика движения щенка? Ответ: щенок бегает с постоянной скоростью! Вывод: чтобы найти пройденное щенком расстояние, необходимо найти время его движения. Вопрос: до каких пор бегал щенок?
Ответ: щенок бегал до тех пор, пока внук не встретился с дедушкой!
Найдём время, через которое внук встретился с дедушкой. Для этого найдём скорость сближения внука с дедом (скорость движения одного отно-
42
сительно другого):
21
υ
υ
+=
u
с
мu
5
,1
=
u
s
t =
с
м
м
t
5,
1
150
=
сt 100=
s
t
s ⋅
=
3
υ
ссмs 1005 ⋅=
мs 500=
3
2
21121
)(
R
mm
mm
GF
+⋅
=
1
2
6
2
2
2
2
2
1
2
1
)()(
R
RmRm
GF
−−
=
1
2
;
. Тогда время сближения
;
стояние
денный щенком до первой встречи с дедушкой, затем путь, пройденный
щенком до второй встречи с мальчиком, затем, до второй встречи с дедушкой и т.д. Получаются довольно громоздкие расчёты, в ходе которых
для получения итогового ответа приходится делать ещё и предельный переход. Очевидно, что решение с позиций общего подхода значительно
проще.
ляет решить задачную проблему, не прибегая к подробным расчётам, как
это показано в задаче 3.2.
Задача 3.2. «Конференция». На научно-практической конференции
учащихся сразу два ученика выступили с докладами, сообщавшими о
том, что им удалось получить простые формулы, позволяющие рассчитать силу всемирного тяготения между геометрически правильными однородными телами, расположенными на небольшом расстоянии друг от друга. Первый докладчик рассматривал взаимодействие
между кубическими телами. По его расчётам получалось, что силу
следует вычислять по формуле
равное
Иногда эту задачу начинают решать, вычисляя поэтапно путь, прой-
В некоторых случаях опора на методологические принципы позво-
;
. Подставим числовые данные
. Получаем
. Следовательно, щенок пробежал рас-
.
, где
и
– соответствующие стороны кубов, а R – расстояние между
центрами кубов. Второй докладчик вывел формулу для расчёта силы
взаимодействия между однородными тетраэдрами (правильными тре-
угольными пирамидами):
– соответствующие стороны треугольников, а R – расстояние ме-
жду центрами тетраэдров. Чьи расчёты можно признать ошибочными,
не прибегая к подробной проверке математических выкладок?
Согласно принципу соответствия любая новая формула, претен-
дующая на более точное описание физической реальности, чем старая,
должна включать последнюю как предельный случай. Если удалить кубы
43
, где
и
или тетраэдры на значительное расстояние (когда
R<<
1
R<<
2
2
21
R
mm
GF
=
m
0
υ
µ
x
x
mg
F
тр
µ
=
x
mg
F
xтр
µ
−
=
их можно рассматривать как материальные точки и силу взаимодействия
и
),
ними рассчитывается по формуле
получить из формулы второго докладчика, но нельзя получить из формулы
первого. Следовательно, выводы первого докладчика можно сразу признать ошибочными, а расчёты второго требуют более подробного анализа.
НАЙТИ АНАЛОГИЮ.
Чем больше личный опыт решения различных задач, имеющийся у
субъекта решения, тем больше вероятность решения им очередной задачи.
Опираясь на сходство предметов или процессов, рассматриваемых в исследуемой задаче с предметами или процессами, исследовавшимися ранее,
часто удаётся сразу написать уравнения, устанавливающие искомую в задаче связь между физическими величинами. Это сходство может быть
только внешним и выражаться лишь в единстве математического аппарата,
описывающего исследуемый объект и его «аналог» (см. задачу 3.3.). Данный метод решения получил название метода аналогии. После установления аналогии субъект решения начинает действовать «по образцу», т.е. его
деятельность становится в основном алгоритмической, гарантированно
приводящей к желаемому результату.
Задача 3.3. «Торможение санок» Санки массой
зят со скоростью
ся, и санки выезжают на асфальт, после чего они останавливаются,
заехав на асфальт лишь на 3/4 длины. Коэффициент трения санок об
асфальт равен
Эта задача – на динамику. Сложность её решения заключается в
том, что скорость санок уменьшается под действием силы трения, величина которой возрастает по мере увеличения доли санок, оказавшейся на асфальте. Попробуем рассмотреть особенности данного движения. Сила трения скольжения равна произведению коэффициента трения на силу реакции опоры, действующую на скользящее тело. Легко получить, что в тот
момент, когда на асфальте находится часть санок длиной
по гладкому льду. Неожиданно лёд заканчивает-
, Найдите время торможения санок.
. Эту формулу можно
и длиной сколь-
, сила трения
равна
записать
. Учитывая направления перемещения и силы, можно
. Видим, что тормозящая сила прямо пропор-
44
циональна расстоянию, пройденному по асфальту, и направлена против
kx
F
xупр
−=
x
k
F
x
тр
*
−
=
mg
k
µ
=
*
m
k
k
m
Tπ2
=
t
*
2
k
m
T
π
=
*
k
mg
m
T
µ
π
2
=
g
T
µ
π
2
=
g
t
µ
π
8
=
k
*
2
k
m
T
π
=
*
k
перемещения. Вспомним, что такая же математическая зависимость
согласно закону Гука связывает силу упругости и деформацию тела
, т.е. тормозящая сила трения носит «квазиупругий» харак-
тер
асфальту до остановки аналогично движению груза, подвешенного на
пружине, от положения равновесия (где он движется с максимальной скоростью) до крайнего положения. Период колебаний груза массой
пружине жёсткостью
методу аналогии можно утверждать, что время
должно быть равно четверти периода гармонических колебаний, вычис-
ляемого по формуле
получаем
гаться до остановки в течение времени
!!! Эвристико-алгоритмический приём «Квазиупругая сила». Если на
тело действует сила, модуль которой прямо пропорционален смешению
тела от некоторого положения равновесия, а направление силы противоположно этому смещению, то характер движения тела аналогичен
движению материальной точки массы, совершающей гармонические
колебания под действием силы упругости пружины жёсткостью
этому время движения тела под действием «квазиупругой силы» оказывается равной части периода, вычисляемого по формуле
, где
хорошо известен и равен
, откуда
. Следовательно, движение саней по
на
. Следуя
до остановки саней
. Подставив в эту формулу значение
. Значит, санки будут дви-
.
. По-
,
, где m - масса тела, а
нальности между силой, действующей на тело и смещением тела от положения, при котором «возвращающая квазиупругая» сила равно нулю.
Как видим, несмотря на то, что ни о каком колебательном процессе
в ходе торможения саней говорить нельзя, для быстрого получения ответа,
помогла подмеченная аналогия математических аппаратов, описывающих
45
- коэффициент пропорцио-
замедление саней и колебания груза на пружине. Значительно чаще анало-
R
Рис. 3.5.а.
α
Рис. 3.4.
гия помогает в более простых случаях.
ИСКАТЬ СИММЕТРИЮ
Ярким примером успешного применения методологических принципов для отыскания важной закономерности в рассматриваемом явлении,
для меня остаётся воспоминание о фразе, произнесённой одной из моих
учениц, сразу после знакомства с условием задачи по оптике. В это время
девочка ещё училась в 10 классе, поэтому о законах оптики у неё имелись
только общие представления, сформировавшиеся в 8 классе. Задача предлагалась одиннадцатиклассникам на областной олимпиаде по физике и в
тот момент начинался разбор её решения преподавателем. Текст задачи
гласил:
Задача 3.4. «Преломление света в цилиндре». На
гладкий торец стеклянного цилиндра падает рассеянный свет, каким должен быть показатель
преломления стекла, чтобы свет, проникший в
стекло не мог выйти через боковую поверхность.
К решению задачи на доске был сделан рисунок (см. рис 3.4.) Взглянув на рисунок, девочка произнесла: «Я не знаю почему, но угол должен быть
45˚.» Правильно!!! Важная особенность рассматриваемого явления, позволяющая быстро отыскать ответ, была угадана ученицей на интуитивном уровне,
на основе внутренней убеждённости в симметрии как
важнейшем свойстве большинства природных явлений.
Соображения симметрии иногда настолько упрощают задачную си-
туацию, что бывает полезно попытаться отыскать симметрию даже в тех
случаях, когда она не выражена в явном виде. Примером решения задачи,
на основе выявления симметричного характера изменения некоторой характеристики объекта, может служить следующая задача.
Задача 3.5. «Ползунок реостата» Какое наибольшее
сопротивление можно получить, перемещая ползунок
реостата, полное сопротивление которого равно
схеме, изображенной на рисунке (см. рис.3.5.а.)
46
, в
Проанализируем динамику изменения со-
RR
общ
25,0=
R5,0
R5,0
Рис. 3.5.б.
противления реостата при перемещении ползунка. Если передвинуть ползунок реостата в крайнее верхнее положение, то сопротивление будет
равно нулю. При крайнем нижнем положении оно
тоже будет равно нулю. При смещении ползунка
из любого крайнего положения к середине сопротивление начинает увеличиваться. Опираясь на
принцип симметрии можно заключить, что максимальным сопротивление
будет, если ползунок установить посередине. Тогда эквивалентная схема
будет иметь вид, представленный на рис. 3.5.б. Откуда легко получить, что
максимальное общее сопротивление равно
.
ВЫЯВИТЬ СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Если в системе происходят какие-либо изменения, то при отыска-
нии взаимосвязи между величинами, характеризующими эту систему, помогает опора на принцип сохранения. Для этого необходимо выяснить,
какие законы сохранения целесообразно и можно применять согласно условиям задачной ситуации и записать уравнения этих законов. В школьном курсе физики изучают закон сохранения полной механической энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения электрического заряда,
уравнение теплового баланса (как закон сохранения внутренней энергии
теплоизолированной системы), первый закон термодинамики (как закон
сохранения энергии в механических и тепловых процессах), закон сохранения энергии для электрических и магнитных явлений, закон сохранения
массового числа, закон сохранения момента импульса. При использовании
законов сохранения следует помнить, что их применение иногда, помимо
правильных ответов, может приводить к решениям, лишённым физического смысла. Поэтому результаты, полученные с помощью законов сохранения, следует проверять на их соответствие смыслу, который вкладывается
в ту или иную физическую величину. Кроме использования законов сохранения, из анализа условий задачи можно попробовать установить, какие ещё физические величины, характеризующие рассматриваемые в задаче объекты и процессы, сохраняются (это могут быть: масса тела, объём,
количество вещества, электроёмкость конденсатора, индуктивность катушки, жёсткость пружины, э.д.с. и внутреннее сопротивление источника
тока, сопротивление резистора, электрохимический эквивалент и.т.п.). С
учётом этих сведений можно записать дополнительные соотношения. Если
полученная система уравнений оказывается замкнутой, то физический
этап решения задачи можно считать законченным и приступать к математическим преобразованиям.
47
Пожалуй, впервые с примером эффективного использования закона
кгm 2=
мН 6=
см /5
0
=
υ
°= 45
α
2
/10
с
мg
=
см /12≈
υ
22
2
2
0
υ
υ
m
mgHm=+
смgH /122
2
0
≈+=
υυ
смgH /122
2
0
−≈+−=
υυ
мин20
сохранения энергии при решении задач учащиеся знакомятся при изучении тепловых процессов. В данном пособии пример решения задачи с использованием уравнения теплового баланса рассмотрен в задаче 2.7. «Теп-
лообмен в калориметре». Существенно сокращаются расчёты и при ис-
пользовании закона сохранения энергии в задачах по механике, как, например, в задаче 3.6.
Задача 3.6. «Брошенный камень». Камень массой
крыши сарая с высоты
лом
Силой сопротивления воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения считать равным
Если для решения этой задачи воспользоваться кинематическими
формулами, то после довольно громоздких преобразований можно получить, что
ции принципа сохранения, то можно заметить, что полная механическая
энергия системы камень-земля не изменяется. Поэтому, записав закон со-
хранения энергии в виде
уравнения закона сохранения энергии будет значение и
В основе этого приёма лежит принцип относительности. Умение
рассмотреть явление с разных точек зрения, из различных систем отсчёта,
позволяет получить более полное представление об особенностях протекания этого явления, установить большее число математических соотношений между величинами, характеризующими данное явление. Кроме того,
выбор удобной системы отсчёта может существенно упростить логические
операции и математические выкладки, необходимые для решения задачи.
к горизонту. С какой скоростью камень упал на землю.
. Если же взглянуть на задачную ситуацию с пози-
. Заметим, что решением записанного выше
ПОСМОТРЕТЬ С ДРУГОЙ СТОРОНЫ
, со скоростью
.
, получаем, что
, однако, оно лишено физического смысла.
бросили с
, под уг-
Задача 3.7. «Плот и лодка». Моторная лодка, идущая вверх по реке,
встретила плывущий по течению реки плот. Через полтора часа после
встречи с плотом мотор лодки заглох. Ремонт мотора продолжался
, всё это время лодка свободно плыла по течению. Как только
48
ремонт закончился, лодка развернулась и поплыла навстречу плоту с
км9
кмs 9=
чt 5,11=
чt
3
1
2
=
км
s
9=
чttt
3
1
32
21
=+=
t
s
=
υ
чкм7,2=
υ
прежней скоростью относительно воды. Она поравнялась с плотом на
расстоянии
течения реки, считая её постоянной.
Скорость течения реки равна скорости плота. За время, прошедшее
между двумя встречами с лодкой, плот в системе отсчёта (СО), связанной
с берегом реки, проплыл расстояние
заметим, что в данной задаче рассматривается движение двух тел: плота и
лодки относительно друг друга. Поэтому оказывается удобным рассмотреть движение лодки в СО, связанной с плотом. В этой СО лодка в течение
от места их первой встречи. Определите скорость
. Чтобы найти это время,
удалялась от плота, затем
время приближалась к нему. Согласно условию задачи, скорость с которой
лодка приближалась к плоту, равна скорости, с которой она удалялась.
Значит, возвращалась лодка те же полтора часа! Таким образом, получаем,
что плот проплыл расстояние
са. Скорость плота, а значит и скорость реки, равна
ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ СУПЕРПОЗИЦИИ
Использование принципа суперпозиции при решении задач позволяет свести решение сложной задачи к нескольким более простым задачам.
Таким образом, что решение основной задачи получается путём «наложения» решений более простых задач. Можно сложный объект представить
как результат наложения одного на другой нескольких более простых объектов, а трудно вычисляемую физическую величину найти как сумму более простых величин. Например, результирующая сила можно представить
как сумму сил, с которыми действуют на тело каждое из взаимодействующих с ним тел, результирующее ускорение – как сумму ускорений, сообщаемых телу каждой из действующих на него сил. Возможность независимого исследования отдельных предметов, процессов или всей задачной
ситуации в целом, является мощным эвристическим инструментом. При
этом следует помнить, что применение принципа суперпозиции имеет определённые ограничения. Например, его нельзя использовать при расчёте
сильных гравитационных полей, а также электрических полей в диэлектриках и магнитных полей в ферромагнетиках. Эффективность
применения принципа суперпозиции рассмотрим на примере следующей
задачи:
49
покоилась и ещё некоторое
за время
ча-
.
Задача 3.8. (5.21., 6.15., 7.2.) «Тело в двух жидко-
1
ρ
2
ρ
ρ
12
ρρρ
>>
А
Fmg =
погржидк
gVF
ρ
=
V
1
ρ
1
ρ
V
1
ρρ
−
12
ρ
ρ
−
1
ρρ
−
2
V
1
ρρ
−
12
ρρ
−
ρ
ρ
ρ
Рис 3.8.а.
Рис 3.8.б.
ρ1 ρ
ρ ρ
ρ1 ρ-ρ1 ρ2-ρ
стях» В сосуд, наполненный двумя несмеши-
вающимися жидкостями, плотностями
Опустили тело неправильной формы, плотностью
(
ностью погруженным в жидкости. Определите,
какая часть объёма тела погружена в более плотную жидкость.
Изобразим задачную ситуацию на рис. 3.8.а.
Условие плавания тела можно записать в виде
предыдущие решения, вспомним, что в однородной жидкости на погру-
женное тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости в объёме погруженной части тела. Её можно вычислить по формуле
жидкости и формула расчёта архимедовой силы со стороны двух жидкостей пока неизвестна. Попробуем представить ситуацию таким образом,
чтобы тело оказалось погруженным только в одну жидкость.
Воспользуемся принципом суперпозиции.
Представим задачную ситуацию в виде наложения двух ситуаций:
тело объёмом
). При этом тело оказалось пол-
. Но, рассматриваемое в задаче тело погружено в две
и плотностью
плавает в жидкости плотностью
и
1
.
2
. Опираясь на
и
тело объёмом
(см. рис. 3.8.б.).
2
Тогда следует вывод, что объём погруженной части тела, плотностью
которая находится в нижней жидкости.
Рассмотрим условие плавания тела плотностью
погруженного в жидкость, плотностью
и плотностью
, равен объёму
плавает в жидкости плотностью
1
1
той части рассматриваемого в задаче тела,
, частично
. Сила тяжести равна вы-
50