Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Система эвристических приёмов решения задач по физике. Теория, методика, примеры. Учебно-методическое пособие.pdf
Задача 5.11. (5.8.) «Вспомогательный луч» На главной оптической оси
S'
Рис. 5.11.б.
F
F
O
S
O
Рис. 5.11.а.
F
F
S
линзы находится предмет S , постройте изображение этого предмета в
тонкой собирающей линзе (см. рис. 5.11.а.).
Известно, что для построения изображения точечного объекта достаточно найти точку, где пересекутся хотя бы два луча, отражённых от
объекта и прошедших через линзу. Проще всего воспользоваться так называемым «правилом трёх лучей: луч,
прошедший через оптический центр
тонкой линзы не преломляется, луч,
прошедший через фокус, после преломления идёт параллельно главной
оптической оси, центр тонкой линзы, луч, шедший параллельно главной оптической оси, после преломления проходит через фокус. Но в данном случае все три указанных луча сливаются в один. Поэтому можно
воспользоваться тем фактом,
что если предмет расположен
перпендикулярно оптической
оси, то его изображение будет
тоже перпендикулярно оптической оси. Сместим рассматриваемый предмет S немного в
сторону от оси линзы и воспользуемся для него правилом трёх лучей. От точки пересечения преломлённых лучей опустим перпендикуляр на главную оптическую ось линзы,
именно там будет находиться изображение S' предмета.
щественно ускорить процесс поиска ответа, но при этом важно быть уверенным, что новые объекты действительно эквивалентны исходным. При
этом можно заменить один объект на другой или на несколько более простых. Именно так было сделано в самой первой, рассмотренной в данном
пособии, задаче на упрощение электрической схемы с конденсаторами,
этот же приём обычно используется при решении задач на движение тела,
брошенного под углом к горизонту, так как в большинстве случаев оказывается удобным следить не за изменением скорости и перемещения тела, а
рассматривать изменения их вертикальных и горизонтальных проекций.
Можно несколько объектов заменить на один, эквивалентный им в рассматриваемой системе. Объединяя объекты, мы тем самым переходим к
рассмотрению задачной ситуации, в которой фигурирует меньшее количе-
ЗАМЕНИТЬ НА РАВНОСИЛЬНЫЕ
Замена рассматриваемых объектов на эквивалентные им может су-
91
ство объектов, в результате становится легче исследовать взаимосвязь ме-
ОмR 6
1
=
ОмR 3
2
=
ОмR 13
3
=
1
R
2
R
A
R
21
21
21
11
1
RR
RR
RR
R
A
+
⋅
=
+
=
А
R
3
R
3
RRR
A
+=
3
21
21
R
RR
RR
R +
+
⋅
=
ОмR 15=
Рис.5.12.а.
2
R
1
R
3
R
Рис.5.12.г
R
Рис.5.12.в
А
R
3
R
R
Рис. 5.12.б.
2
R
1
R
3
R
R
жду оставшимися объектами. Наиболее часто этот приём используется при
упрощении расчётов электрических схем.
Задача 5.12. «Участок со смешанным соединением резисторов» Опре-
делите сопротивление изображённого
на рисунке (см. рис. 5.12.а.) участка
цепи, если
,
,
.
Проанализировав схему, приходим
к выводу, что резисторы
и
вклю-
чены параллельно друг другу. Выделим этот участок (см. рис.5.12.б.) и
мысленно заменим эти резисторы на один им эквивалентный (см. рис
5.12.в). Сопротивление резистора
на рис. 5.12.б., равно
5.12.в. легко понять, что резисторы
, эквивалентного двум выделенным
. На эквивалентной схеме рис.
и
включены последовательно
друг другу. Заменим эти резисторы на один, им эквивалентный. Его сопротивление будет равно общему сопротивлению всего участка
A
,
т.е.
на упругое столкновение тела с массивной плоскостью, на электростатическое взаимодействие заряда с проводящей бесконечной плоскостью, решение существенно упрощается, если удаётся заменить реальный процесс
или предмет на симметричный ему «зазеркальный». В задачах на отраже-
. Подставив числовые данные, получаем
.
В ряде задач, в том числе, на отражение света от плоского зеркала,
92
ние света от плоскости часто бывает удобно рассматривать не реальный
0
h
H
D
d
Hh +
h
υ
h
hH
d
D +
=
h
υ
D
H
d
Рис. 5.13.а.
υ
d
H+h
D
Рис. 5.13.б.
ход лучей отражающихся от зеркальной поверхности, а считать, что лучи
идут от зеркального изображения источника, т.е. от предмета, расположенного симметрично реальному относительно отражающей плоскости.
Или, наоборот, можно считать, что лучи не отражаются от зеркала, а идут
дальше и попадают на изображения предметов, находящихся за плоскостью. В задачах на упругое столкновение с вертикальной стенкой тела,
брошенного под углом к горизонту, удобно считать, что столкновения не
было и тело продолжало свой полёт. Реальный участок траектории, тела
после столкновения со стенкой будет симметричен мнимому «зазеркальному».
Задача 5.13. «Свеча на зеркале» В центре горизонтально расположен4ого круглого зеркала вертикально стоит горящая свеча началь-
ной длины
потолке, находящемся над зеркалом на высоте
диаметра,
уравнение зависимости диаметра блика от времени, если диаметр зер-
кала равен
Заметим, что лучи от свечи сначала попадают на зеркало, затем изменяют направление и попадают на экран, при этом лучи, отраженные от
зеркала, идут
так, словно они
были испущены
точечным источником света, находящимся в
месте мнимого
изображения
пламени свечи,
т.е. на расстоянии
потолка, где
расстояние от
свечи до зеркала в соответствующий момент времени (см. рис. 5.13.б.).
Выведем уравнение зависимости размера диаметра блика от времени, рассматривая движение этого мнимого «источника». Этот «источник» света
приближается к потолку со скоростью
размерами зеркала, которое служит «окном» для лучей, идущих от «источ-
ника». Из подобия треугольников видно, что
. Свеча сгорает со скоростью υ. На горизонтальном
, образуется блик
который изменяется по мере сгорания свечи. Выведите
(см. рис. 5.13.а.)
от
−
. Размеры блика ограничиваются
. Учтём, что
93
t
hh
⋅−=
υ
0
. Тогда диаметр блика в любой момент времени от 0 до
υ
0
h
+
⋅−
= 1
0
th
H
dD
υ
мl 20=
см
/
80=
υ
°= 15
α
2
sin:cos:
2
00
tg
tyOYtхОХ
⋅
−⋅=⋅=
αυαυ
0=y
g
t
n
αυ
sin2
0
=
g
tL
n
ααυ
αυ
sincos2
cos
2
0
0
⋅
=⋅=
Рис. 5.14.
0
l
1
l
l
L
1
l
α
0
υ
(время сгорания свечи) определяется соотношением
Задача 5.14. «Мяч об стенку» Находясь на расстоянии
.
от
вертикальной стенки, мальчик бьёт по лежащему на земле мячу так,
что мяч летит к стенке со скоростью
под углом
к горизонту. На каком расстоянии от точки удара упадёт мяч после
упругого столкновения со стенкой.
При упругом ударе мяча о вертикальную стенку на него действует только
сила упругости направленная горизонтально (сила тяжести тоже
действует на мяч, но она значительно меньше силы упругости,
поэтому её действием во время
удара можно пренебречь). В связи
с этим можно сделать вывод, что
из-за удара вертикальная составляющая скорости мяча не изменяется, а горизонтальная меняется на противоположную. Поэтому время падения мяча остаётся таким же, как если
бы не было стены, а траектория мяча после удара является зеркальным
отражением того участка траектории, который оказался «отрезанным»
стеной. Для простоты расчётов рассмотрим сначала движение мяча, не
учитывая столкновение со стеной (см. рис. 5.14). Запишем уравнения движения мяча в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси.
Время полёта можно найти, если учесть, что во время падения
, а дальность полёта
94
, тогда
. Уп-
ростив, получаем
g
L
αυ
2sin
2
0
=
1
01
lL
l −=
Lllll −=−=
010
2
g
l
l
αυ
2sin
2
2
0
0
−
=
мl 8,0=
001
2lLlll −=−=
t
s
ср
=
υ
. Расстояние
, которое «пролетает» мяч
за стенкой («в зазеркалье») равняется
. Теперь учтём, что
именно на такое расстояние мяч отлетает от стенки, поэтому от мальчика
мяч упадёт на расстоянии
ставив числовые данные, получаем, что
.
. Под-
.
Заметим, если бы ответ получился отрицательным, это означало бы, что
мяч после столкновения со стеной отлетает дальше, чем был до удара, а
значит
, т.е. в полученном ответе надо будет знак ми-
нус сменить на плюс.
Использованный в решениях этих задач приём сформулируем в виде эвристико-алгоритмического приёма.
!!! ЭТАП «Замена реального на зазеркальный».
Если в задаче рассматриваются явления отражения света от зеркала или
упругого тела от массивной плиты (или стены), то часто рассуждения и
математические расчёты упрощаются, если считать, что объекты не отражаются, а идут без изменения сквозь зеркало (стену) и попадают на
«зазеркальные» предметы. Или, наоборот, можно считать, что объекты
идут от «зазеркальных» предметов и выходят без изменений из зеркала
(стены).
ВЫРАЗИТЬ ИСКОМОЕ ЧЕРЕЗ СЕБЯ
Иногда удобно на определённом этапе преобразований временно
выражать искомую величину как функцию не только от других величин,
но и от собственного значения. Данный приём не столь широко используется при решении задач, но в некоторых случаях он позволяет быстро перейти от непривычных (для решающего) математических преобразований
к уже освоенным при решении других задач.
Задача 5.15. «Средняя скорость» Одну треть всего времени движения
автомобиль ехал со скоростью 60 м/с. Затем его скорость была 20 м/с и
так он проехал пятую часть всего пути. Последний участок он проехал
со скоростью 10 м/с. Определите скорость автомобиля на всём пути.
Перекодируем текст в схему: сделаем краткую запись условий и
требований задачи. Запишем основное уравнение для вычисления средней
скорости
. Дальнейшие преобразования основной формулы мож-
95
но вести в двух направлениях: либо пройденные пути и интервалы движе-
1
s
ост
s
t
s
t
st
ocmocm
ср
+=
+
=
1
11
5
1
υ
υ
υ
ост
s
( )
213
333
2
3
1
3
1
t
tts
ts
sss
ост
−−+
=+
=+=
υυ
−+=
−+=
2
3
2
2
3
35
4
3
1
5
4
3
1
υ
υ
υ
υ
s
ts
s
tss
ост
ts
cp
υ
=
2
33
3
5
1
3
1
υ
υ
υ
υυ
t
t
ts
cp
cpост
−+=
ср
срср
υ
υ
υ
υυυυ
2
3
31
35
4
3
1
5
1
−++=
смср/24
)2(5
)4(3
32
312
=
+
+
=
υυ
υυυ
υ
Дано
см /60
1
=
υ
tt
5
1
1
=
см /
20
2
=
υ
ss
3
1
2
=
с
м /
10
3
=
υ
?−
ср
υ
ния на отдельных участках выразить через всё время движения, а затем
сократить числитель и знаменатель на время движения; либо пройденные
пути и интервалы движения на отдельных участках выразить через весь
путь, а затем сократить числитель и знаменатель на весь путь.
Изберём второе направление хода рассуждений, т.е.
пройденные участки пути будем выражать через
произведения соответствующей скорости на всё
Весь путь можно выразить через произведение средней скорости на всё
время движения. Для начала разобьём весь путь на
два участка
всё время движения. Учтём, что
или
и
. Выразим
. Тогда
через
.
время движения
довательно, можно записать, что
да получаем, что
В некоторых случаях оказывается эффективным приём решения задачи, при котором, искомая величина принимается за известную, а известная величина принимается за искомую, т.е. решение обратной задачи.
Кроме того, иногда разобраться в процессе проще, если рассмотреть процесс, обратный данному, подобно тому, как в задаче на поиск входа в лабиринт бывает легче отыскать выход из него. В частности, этот приём
удобен в тех случаях, когда у субъекта решения имеется опыт решения
обратной задачи.
Поменять местами известные и неизвестные величины
, поэтому
.
РЕШИТЬ ОБРАТНУЮ ЗАДАЧУ
96
. Сле-
. Отку-
Задача 5.16. «Средняя скорость» Одну восьмую всего времени движе-
t
s
ср
=
υ
21
sss +=
21
ttt +=
2211
tts ⋅+⋅=
υυ
tttt
8
7
12
=−=
21
21
2211
8
7
8
1
8
7
8
1
υυ
υυ
υυ
υ
+=
⋅+⋅
=
+
=
t
tt
t
tt
ср
2
υ
12
7
1
7
8
υυυ
+=
ср
чкм /11
2
=
υ
Дано
чкм /35
1
=
υ
чкмср/14=
υ
t
t
8
1
1
=
?
2
−
υ
F F Рис. 5.17.а.
ния велосипедист ехал со скоростью 35 км/ч, оставшееся время он
двигался с постоянной скоростью. В результате средняя скорость его
движения оказалась равной 14 км/ч. Определите скорость движения
велосипедиста на втором участке.
Перекодируем текст в схему: запишем краткую формулировку задачи. Для более простого вывода необходимой формулы решим обратную зада-
чу: предположим, что скорость на втором участке
известна и требуется найти среднюю скорость. Сле-
дуя принципу простоты, запишем основное уравнение для вычисления средней скорости
. Разобьём процесс движения на части,
соответствующие движению велосипедиста с по-
стоянной скоростью. Тогда весь путь можно вычислить по формуле
, а всё время движения
. Дальнейшие преобразова-
ния основной формулы можно вести в двух направлениях: либо пройденные пути и интервалы времени движения на отдельных участках выразить
через всё время движения, а затем сократить числитель и знаменатель на
время движения; либо пройденные пути и интервалы времени движения на
отдельных участках выразить через весь путь, а затем сократить числитель
и знаменатель на весь путь. Ещё раз проанализируем данные условия: в нём
содержится больше сведений о времени движения, поэтому избираем первое из названных направлений. Весь путь можно вычислить по формуле
. Время на втором участке равно
, тогда
. Теперь вернёмся к основной
задаче и получим выражение для
. Получаем
.
Рассмотреть обратный процесс
,
Задача 5.17. «Луч выходящий из лин-
зы» На рис. 5.17.а изображена тонкая
рассеивающая линза и луч прошед-
97
ший через неё, покажите построением, как этот луч шёл до преломле-
a
a
e
a
e
W
2
24
22
κκ
+⋅=
Рис. 5.18.
e
e
e
e
e
m
e
m
p
m
p
m
Рис. 5.17.б.
Рис. 5.17.в.
ния.
Для простоты рассуждений воспользуемся свойством обратимости
светового луча: будем считать, что это не выходящий луч, а входящий (падающий). Теперь воспользуемся свойством рассеивающей линзы: если на
линзу падает параллельный пучок лучей, то после преломления лучи идут
так, что их продолжения пересекаются в фокальной плоскости. Строим
вспомогательный луч, параллельный падающему, проходящий через оптический центр линзы. Этот луч не испытывает преломления в тонкой линзе.
Проведём фокальную плоскость. Найдём точку пересечения вспомогательного луча с фокальной плоскостью. Через эту точку и точку падения
основного луча на линзу проведём прямую. Вдоль этой прямой и будет
двигаться луч после преломления в линзе (см. рис. 5.17.б.). Вернёмся к
исходной задаче и сменим направление распространения лучей на противоположное (см. рис. 5.17.в.). Это и будет решение исходной задачи.
Этап 3. Разбор решений задач с демонстрацией эффективности
приёмов изучаемого семейства.
Задача 5.18. «Квадрат протонов и позитронов» (разделение процесса на
части) В вершинах квадрата со стороной
находятся два протона и
два позитрона (позитрон – положительно заряженный “двойник”
электрона), так, что одинаковые частицы находятся в противоположных вершинах. В некоторый момент заряды перестают удерживать.
Определите скорости частиц после того, как они разлетятся на большое расстояние.
В начальный момент времени система обладает
потенциальной энергией электростатического взаимо-
действия
, где e − элементарный
заряд. Когда заряды удалятся на большое расстояние, то
энергией электростатического взаимодействия можно
98
будет пренебречь, тогда система будет обладать только кинетической
2
2
2
2
2
2
p
p
ee
m
m
W
υ
υ
+=
e
m
p
m
22
2
2
2
24
ppe
e
m
m
a
e
a
e
υ
υκκ
+=+
a
e
W
2
2
1
κ
=
2
2
2
2
2
p
p
m
a
e
k
υ
=
am
e
p
p
2
κ
υ
=
a
e
m
a
e
a
e
ee
22
24
2
2
22
κυκκ
+=+
( )
am
e
e
e
2
28 +
=
κ
υ
энергией
электрона),
, где
− масса протона. Если пренебречь энергией электромаг-
− масса позитрона (равная массе
нитного излучения ускоренно движущихся заряженных частиц, то согласно закону сохранения энергии можно записать, что
(1) В этом уравнении два неиз-
вестных. Попытка использовать закон сохранения импульса к успеху не
приводит: суммарный импульс системы остаётся равным нулю, смещение
частиц относительно любой координатной оси абсолютно симметрично.
Дополнительное соотношение можно получить, если уточнить структуру
системы. Учтём, что масса позитрона намного меньше массы протона. Поэтому после того, как систему освободили, позитроны быстро (примерно в
800 раз быстрее протонов) увеличат скорость и разлетятся на большое расстояние, в то время, как перемещением протонов ещё можно пренебречь.
После того как позитроны разлетятся, система из двух протонов будет
иметь потенциальную энергию
. Когда и протоны разлетятся на
значительное расстояние, эта энергия перейдёт в их кинетическую энергию, тогда, опираясь на закон сохранения энергии, получаем
. (2)
Откуда выводим формулу для расчёта скорости протонов после
удаления частиц системы на большое расстоя-
ние равна
. Подставив выра-
жение (2) в (1), получаем
. Отсюда выво-
дим, что скорость позитронов после их удаления на значительное расстояние равна
.
Задача 5.19. (3.13) «Симметричная решёт-
ка» (разделение объекта на части) Из однородной проволоки изготов-
99
лена плоская решётка (см. рис. 5.19.а.) Электрическое сопротивление
R
726R
7
13R
q p o
n
m
g
Рис. 5.19.б.
a b c
e
d
f
k
l
r s Рис. 5.19.г.
Рис. 5.19.в.
k
каждого участка равно
решётки, если её подключить так, как показано на рисунке?
Для определённости обозначим узлы и места перегиба провода бук-
вами латинского алфавита (см. рис. 5.19.б.). Опираясь на идеи симметрии,
можно заметить: если в узлах e и o сделать разрыв, как показано на рис.
5.19.б., то условия для прохождения зарядов через остальные участки не
изменятся. Данное разбиение на два параллельных участка позволит упростить расчёты, поскольку сопротивление левого участка цепи равно сопротивлению правого. Рассмотрим левый участок. Учитывая симметрию данного участка относительно оси gk, очевидно, что напряжение (работа электрического поля по перемещению единичного положительного заряда) на
участке a-g равно напряжению на участке g-s. То же самое можно сказать
для участков a-k и k-s. Данное соотношение не изменится, если в узле k
сделать разрыв, так как показано на рис. 5.19.в. После такого преобразования дальнейшие расчёты сопротивления исследуемого участка достаточно
тривиальны. На рис. 5.19.г. представлена эквивалентная схема, полученная
. Каким будет общее сопротивление такой
в результате некоторых очевидных упрощений. По ней легко подсчитать,
что сопротивление левой половины решётки равно
общее сопротивление решётки равно
!!! Эвристико-алгоритмический приём «Разъединить точки так, что-
бы они остались точками равного потенциала». Иногда расчёт элек-
трической цепи упрощается, если, исходя из соображений симметрии,
разъединить некоторые точки контакта её участков. Но это можно делать только при условии, что разъединённые точки останутся точками
равного потенциала.
100
.
, следовательно,