Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Система эвристических приёмов решения задач по физике. Теория, методика, примеры. Учебно-методическое пособие.pdf
может служить решение задачи 6.5. «Сравнение электрических и гравита-
г
m
2,
3
=
см1,24=
Клq
15
1076,9−⋅=
смr
3,
25=
2
2
r
m
GF
гр
=
2
2
11
1067,6
кг
мН ⋅
⋅
−
2
2
)2( R
r
q
kF
эл
−
=
2
2
9
109
Кл
мНk⋅
⋅=
ционных сил»); во-вторых, в тех случаях, когда в формулировке задачи
нет или почти нет необходимых для решения численных значений физических величин, и предполагается, что каждый сам может их выбрать и задать, как, например, в задаче 6.6. «Архимедова сила в воздухе».
Грубая прикидка, оценка по порядку измеряемой величины являются обязательным этапом подготовки эксперимента, иногда она подсказывает путь точного решения задачи, дает возможность установить границы
области применимости точного решения и понять, какие изменения потребуются при постановке и решении задачи вне пределов этой области.
Задача 6.5. «Сравнение электрических и гравитационных сил». Сравните силы гравитационного и электрического взаимодействия между
двумя кубиками массой
ными противоположными зарядами
и стороной
каждый. Кубики
, заряжен-
расположены параллельно друг другу на горизонтальном непроводящем столе так, что расстояние между их центрами равно
.
Очевидно, что между кубами действуют силы гравитационного и
электростатического притяжения.
Для расчёта силы гравитационного взаимодействия между кубами нельзя
воспользуемся формулой
равная примерно
(где G - гравитационная постоянная,
), поскольку она справедлива лишь для
однородных шаров и материальных точек. Но в задаче просят сравнить
силы, поэтому сначала сделаем оценку величины этой силы, а для оценки
такая формула вполне сгодится.
При оценке силы электростатического притяжения можно учесть, что кубы проводящие, поэтому противоположные заряды будут стремиться расположиться как можно ближе друг к другу, т.е. соберутся на гранях, ближайших к соседним кубам. Следовательно, силу электростатического при-
тяжения между кубами можно оценить по формуле
, где
.
Для упрощения вычислений воспользуемся методом оценки по порядку
величины. Будем подставлять в найденные формулы только порядок значений величин, выразив предварительно все используемые величины в
СИ:
111
Н
м
кг
кг
мН
F
гр
14
21
2
3
2
2
10
10
)
10(
)
10
(
10
−
−
−
−
=
⋅
≈
;
Н
м
кг
Кл
мН
F
эл
16
22
215
2
2
10
10
)10(
)10(
10
−
−
−
=
⋅
≈
gVF
A
ρ
=
g
кг
H
g 10=
3
3,1
м
кг
=
ρ
мh 7,1=
мb 3,0=
м2
,0=
333
1,03,034,02,03,07,1 мммhbV ≈⋅=⋅⋅==
ННм
кг
Н
м
кг
F
A
13,
11,
0103,1
3
3
≈≈⋅
⋅≈
V
чел
ρ
кгт 70
≈
водычел
ρρ
≈
3
1000
м
кг
воды
=
ρ
Видим, что силы гравитационного притяжения примерно в сто раз
(на два порядка) больше сил электростатического притяжения.
Если бы числовые значения рассматриваемых сил оказались одного
порядка, то для ответа на вопрос задачи пришлось бы прибегнуть к более
точным расчётам.
Задача 6.6. «Архимедова сила воздуха» Оцените выталкивающую силу,
действующую на Вас в воздухе.
Данная задача является непоставленной и требует уточнения условий, подбора дополнительных данных. Поэтому уточним условия. Архи-
медова сила воздуха вычисляется по формуле
ность воздуха,
- постоянная силы тяжести, V - объём тела человека.
, где ρ - плот-
Для оценки примем
,
(многие школьники это пом-
нят с уроков в 7 классе), Оценить объём человеческого тела можно несколькими способами. Рассмотрим два способа оценки объёма.
Способ оценки объёма тела человека методом бруска
Будем считать, что тело человека имеет форму бруска характерных размеров: высота
объём равен
, ширина
, толщина
. Тогда
. Следо-
вательно, на человека в воздухе действует выталкивающая сила равная
Способ оценки объёма человека методом плавания в воде.
Объём
ности
тела человека равен отношению массы тчеловека к его плот-
. Свою массу знает каждый, предположим, она равна
. Плотность человека можно принять равной плотности воды
(во-первых, многие помнят, что свыше 80 % массы человека
составляет вода, во вторых, известно, что если, набрать немного воздуха и,
не дыша, погрузиться в воду, то будешь плавать почти полностью, погрузившись в воду). Значение плотности воды также не составляет труда
вспомнить
. Следовательно, объём человека равен
112
33
07,0
1000
70
мм
m
V
воды
=≈=
ρ
Получаем, что на человека в воздухе дейст-
ННм
кг
Н
м
кг
F
A
19,007,0103,1
3
3
≈≈⋅⋅≈
п
чкм
/21=
υ
чкм /62=
υ
чкм /9
3
=
υ
чt 62=
чtt
ост
183
2
==
ч
ttt
ocm1223
=−=
кмts 36
222
==
υ
кмts 108
333
==
υ
кмsss 180)(
4
5
32
=+=
вует выталкивающая сила равная
.
РЕШЕНИЕ БОЛЕЕ КОНКРЕТИЗИРОВАННОЙ ЗАДАЧИ
Решение может получиться более простым и коротким, если в ходе
решения основной задачи переходить к решению одной или нескольких
более конкретных задач путём временного введения дополнительных характеристик.
Решение конкретизированной задачи для обобщения результата
Иногда ответ на основную задачу можно получить из анализа ответа, полученного в результате решения более конкретизировнной задачи,
когда вместо некоторой величины, числовое значение которой неизвестно,
подставляется удачно подобранное числовое значение, упрощающее логические рассуждения и математические вычисления. После получения ответа на одну более конкретизированную задачу, проверяется, как будет изменяться ответ при подстановке других числовых значений уточняющейся
величины. Особенно этот приём удобен, если уточняемая величина обладает таким свойством, что изменение её значения в
раз автоматически
приводит к известному изменению других величин. Именно такой случай
рассмотрен в следующей задачи.
Задача 6.7.(5.2.) «Средняя скорость» Одну пятую часть всего пути от
дома до школы ученик, задумавшись, шёл со скоростью
затем, вспомнив о школе, он ускорил шаг и треть оставшегося времени двигался со скоростью
, однако, заметив, что не успе-
вает к началу урока, оставшуюся часть пути он пробежал со скоростью
. Определите среднюю скорость на всём пути.
Перекодируем текст в схему: запишем краткое содержание задачи.
Предварительно решим более простую задачу. Предположим, что
, тогда
,
,
,
,
,
,
113
кмss 36
5
1
1
==
,
ч
s
t 18
1
1
1
==
υ
чtttt 36
321
=++=
чкм
ч
км
t
s
ср
/5
36
180
===
υ
2
t
n
n
n
n
n
кгДжC /400
=
гm 500
1
=
Сt °= 2
1
Дано
чкм
/2
1
=
υ
ss
5
1
1
=
чкм /6
2
=
υ
ост
tt
3
1
2
=
чкм /93=
υ
?−
ср
υ
,
. Получаем
.
Решение конкретизированной задачи для предварительной оценки условий
Когда в задаче рассматривают изменение нескольких взаимосвязанных процессов и при этом отсутствует информация о конечном состоянии
рассматриваемой в задаче системы, возникает проблема определения степени каждого из возможных процессов. Например, тормозящее тело может
остановиться и его координата престанет изменяться; нагреваемое тело
может начать плавиться и его температура перестанет увеличиваться; охлаждаемый пар может перейти в насыщенное состояние и его давление
перестанет зависеть от занимаемого объёма и т.п. В этом случае наиболее
коротким оказывается путь последовательного решения более конкретных
задач, направленных на выяснение момента окончания того или иного
процесса, позволяющих сделать вывод о дальнейшем развитии других
процессов. Примером такого подхода к решению могут служить задачи на
теплообмен, когда неизвестно конечное состояние термодинамической
системы.
Вернёмся к исходной задаче. Если
раз больше чем 6 часов, где
тельное действительное число, тогда остальные
участки времени тоже будут больше в
значит и пути пройденные телом за эти промежутки времени будут в
образом, оказывается, что всё время движения
будет в
весь путь тоже будет в
вательно, средняя скорость от этого не изменится!!! Значит, ответ, полученный при решении
более конкретной задачи, будет справедлив и
для исходной задачи.
окончания процесса
раз больше, чем в нашем решении, и
раз больше. Таким
раз больше, а, следо-
будет в n
– любое положи-
раз,
Задача 6.8. «Теплообмен с неизвестным результатом» В калориметре
теплоёмкостью
температуре
находится
. В калориметр опускают кусок льда массой
воды при
114
г
m
200
2
=
и температурой
Сt °−= 15
2
С
кгДжс °
= /4200
1
Скг
Дж
с °
= /
2100
2
кгДж /103,3
5
⋅=
λ
C°0
)0
()
0(
1
11
11
−
+−
= t
Сtm
cQ
ДжQ
5000
1
=
С°0
)0(
2222
tmcQ −=
ДжQ 6300
2
=
12
QQ >
mQλ=
3
ДжQ 66000
3
=
231
Q
QQ >
+
C°0
λ
1
2
3
QQ
m−=
гкгm 4004,0
3
≈≈
324
mmm +=
гm 504
4
=
калориметра после установления теплового равновесия?
Анализируя возможные процессы, можно сделать вывод о том, что
вода и калориметр будут охлаждаться, лёд будет нагреваться и, возможно,
будет иметь место кристаллизация воды или плавление льда. Подберём в
справочнике дополнительные данные: удельная теплоемкость воды
, удельная теплоемкость льда
, удельная теплота плавления льда
.
Проведём предварительную оценку результата теплообмена. При
этом будем производить последовательные оценки количеств теплоты,
которые могли бы выделиться или поглотиться в случае, если те тепловые
процессы, которые начались, пойдут до конца (решение более конкретных
задач). Сравнивая количество теплоты, выделившее остывающим телами,
с количествами теплоты, необходимыми для нагрева нагревающихся тел,
будем делать вывод о завершённости того или иного процесса. Найдём
количество теплоты, которое могли бы выделить вода и калориметр при
остывании до
. Найдём количество теплоты, которое необходимо для
нагревания льда до
Видим, что
ся лед. Далее вода будет кристаллизоваться и выделяющееся при этом количество теплоты пойдет на нагрев льда. Количество теплоты, которое
может выделиться при кристаллизации всей воды равно
.
.
, значит, вода охладится до нуля раньше, чем нагреет-
. Каким будет содержимое
, получаем
, получаем
, полу-
.
чаем
ся до нуля и частично кристаллизуется. За счет этого лед нагреется до нуля
и теплообмен закончится. Итак, установившаяся в калориметре температура будет равна
в калориметре, равно
!!! Эвристико-алгоритмический приём «Предварительная оценка
окончания процесса»: Если в задаче рассматривают изменение не-
скольких взаимосвязанных процессов и при этом отсутствует точная
информация о конечном состоянии рассматриваемой в задаче системы,
то наиболее коротким оказывается путь последовательного решения
, т.е.
. Видим, что
. Выясним, сколько воды кристаллизовалось в лед,
. Количество льда, оказавшегося
, откуда
. Значит, вода охладит-
.
115
более конкретных задач, направленных на выяснение момента оконча-
ct
1=∆
Н
1
Н
)
( tt ∆−
2
Н
)2( tt ∆−
2
2
gt
Н =
2
)(
2
1
ttgН∆−
=
2
)2(
2
2
ttg
Н∆−=
ния того или иного процесса, позволяющих сделать вывод о дальнейшем развитии других процессов. Алгоритм действий выглядит следующим образом:
1. Выяснить условия, при которых исследуемая в задаче система пе-
реходит в интересующее нас состояние.
2. Выяснить, какие процессы происходят на начальном этапе изме-
нений системы.
3. Поочерёдно рассмотреть каждый из начавшихся процессов и вы-
яснить условия, при которых он наверняка прекратится.
4. Путём сравнения условий, необходимых для завершения каждого
из процессов, выяснить, какой из процессов завершиться раньше остальных, сделать вывод о дальнейших изменениях в системе и вернуться к выполнению пункта 3; и так делать до тех пор, пока не будут
получены все сведения о процессах, приводящих систему в интересующее нас состояние.
Решение конкретизированной задачи при проверке правильности
результата решения исходной задачи
Правильность полученного ответа можно проверить, если в итого-
вую формулу подставить такие конкретные значения величин, для которых ответ известен заранее либо его можно проверить экспериментально.
Задача 6.9. «Свободное падение». Какой путь проходит свободно па-
дающее тело за предпоследнюю секунду своего движения?
Начнём с доопределения некоторых терминов. Тело падает, значит,
его начальная скорость равнялась нулю. Тело свободно падает, значит, его
ускорения равняется ускорению силы тяжести (поскольку в формулировке
задачи нет требования, учитывать сопротивление воздуха).
Введём условные обозначения известных и неизвестных величин. Пусть
- интервал времени, за который тело проходит искомый путь,
- путь пройденный телом, за всё время t падения,
,
ный тело, за время
- путь пройденный телом, за время
- путь пройден-
. падение.
Учитывая равноускоренный характер движения получаем
,
. Искомый путь равен
,
116
))2()((
2
22
21
tttt
g
HНs ∆−−∆−=−=
. После упрощения получаем,
2
2
3
t
gtgts
∆−∆
=
ct
np
2=
npnp
Hs
4
1
=
22
1
2
1
1
2
3
11 ⋅=⋅−⋅⋅= gggs
np
22
1
2
2
2
1
⋅=⋅=
ggН
np
npnp
Hs
4
1
=
υη
⋅=
1
CF
сопр
2
2
υρ
SCF
сопр
⋅=
1
C
2
C
что
указано, и найти его из условий задачи нельзя, то полученную формулу,
следует считать ответом. Проверим результат «подстановкой конкрет-
ных значений». Пусть всё время падения равно
декс поставлен для уточнения, о каком интервале времени идёт речь). То-
гда, согласно закону нечётных чисел для равноускоренного движения из
состояния покоя, путь, пройденный телом за первую секунду, должен быть
в три раза меньше чем путь, пройденный за последующую секунду, а значит в четыре раза меньше пути, пройденного за первые две секунды, т.е.
. Проверим это, подставляя в расчётные формулы, числовые
значения для интервалов времени:
действительно выполняется, значит можно сделать вывод о правильности
расчётной формулы.
Задача 6.10. «Сила сопротивления. Проверка формулы» Как проверить
правильность формул, полученных методом размерностей при реше-
нии задачи 6.3. «Сила сопротивления»:
Правильность этих формул может быть проверена только в ходе
эксперимента, который и покажет, что при небольших скоростях более
точно характеризует силу сопротивления среды сила, вычисленная по первой формуле, а при больших скоростях – по второй формуле. Сделав серию измерений силы сопротивления при различных значениях скорости,
можно найти также и коэффициенты
. Поскольку время падения в содержании задачи не
(буквенный ин-
. Видим, что требуемое соотношение
?
и
,
и
РЕШЕНИЕ БОЛЕЕ ИДЕАЛИЗИРОВАННОЙ ЗАДАЧИ
Данный приём предлагает попытаться упростить задачную ситуацию путём временной идеализации некоторых процессов или частей системы, придания их характеристикам предельных значений с целью полу-
117
чения решения упрощённой задачи, допускающего корректировку при
0
=
л
m
1
gVg
m
ВК
ρ
=
В
К
m
V
ρ
=
1
К
К
m
V
ρ
=
2
1
32
132
122
)2(5
υυυ
υυυ
υ
++
⋅+
=
ср
возвращении к основной задаче, проверки правильности модели задачной
ситуации или правильности полученного ответа.
Предварительное решение более идеализированной задачи
и обобщение результата
Если в задаче рассматриваются несколько взаимосвязанных процессов, то можно попробовать сократить их число, идеализировав свойства
некоторых тел ил самих процессов. Иногда после такой идеализации удаётся достаточно быстро найти ответ сначала на идеализированную задачу,
а затем, и на основную задачу.
Задача 6.11. (5.1., 5.9., 5.10.) «Лодка с камнем» В пруду плавает лодка, в
которой находится камень. Как изменится уровень воды в пруду, если
камень опустить на дно в воду.
Предположим, что массой лодки можно пренебречь:
. Сле-
довательно, когда камень находится в лодке, то лодка вытесняет объем
воды V
, который находится из условия плавания тел
1
по-
лучаем
равный собственному
. Когда камень лежит в воде, то он вытесняет объем воды
, а идеально легкая лодка воды не вытес-
няет. Вернёмся к исходной задаче. Если лодка имеет массу, то в обоих случаях она будет дополнительно вытеснять объем воды, вес которой равен
весу лодки.
Проверка результата подстановкой идеализированных значений
некоторых величин
Правильность полученного ответа можно проверить, если в итоговую формулу подставить такие конкретные значения величин, для которых ответ известен заранее либо его можно проверить экспериментально.
Задача 6.12. «Проверка результата идеализированными значениями»
Проверьте правильность формулы для расчёта средней скорости, по-
ученной при решении задачи 5.2. «Средняя скорость»
В идеале проще всего можно было бы найти среднюю скорость, если бы скорости движения на каждом этапе были одинаковыми, тогда сред-
118
няя скорость была бы такой же. Предположим, что
3
21
υ
υυ
=
=
1
1
2
1
111
111
15
35
122
)2(5
υ
υ
υ
υυυ
υυυ
υ
=
⋅
=
++
⋅+
=
ср
H
gty−=
αυ
υ
sin
0
2
sin
2
0
gt
ts
y
−=
αυ
1
0
sin gt=
αυ
22
2
1
2
1
1
gtgt
gtH =−=
g
H
t222=
g
HL2
2⋅∆=∆
υ
мН 4≈
см /6≈∆
υ
м60
с10
2
10 смg ≈
мL 11≈∆
. Тогда
. Поскольку получен ожидаемый ответ,
то можно предположить, что проверяемая формула верна.
Этап 3. Разбор решений задач с демонстрацией эффективности
приёмов изучаемого семейства.
Задача 6.13. «Бросок камня с разбега» (грубая прикидка, оценка по по-
рядку величины) Оцените, на сколько дальше упадёт камень, если его
бросать с разбега.
Это явно непоставленная задача, поэтому уточним условия. Предположим, что когда камень бросают с места он поднимается на макси-
мальную высоту
. За счёт разбега увеличивается только горизонтальная
составляющая начальной скорости камня, а вертикальная составляющая
остаётся без изменения, следовательно, высота подъёма и время полёта
камня не меняется. Найдём время подъёма камня до максимальной высоты. Для этого воспользуемся уравнениями зависимости вертикальной со-
ставляющей скорости камня от времени
и вертикаль-
ной составляющей перемещения от времени
. Учтём,
что в верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости рав-
на нулю, поэтому
два раза больше времени подъёма, поэтому
и
. Время полёта в
. Увеличение даль-
ности полёта равно произведению увеличения горизонтальной состав-
ляющей скорости полёта на время полёта
. Увеличение
горизонтальной составляющей скорости камня будем считать равной скорости разбега бросающего его человека. Сделаем числовые оценки. Будем
считать, что
пробегают за
ем
, скорость разбега
),
. Подставив числовые данные, получа-
.
(
многие
Грубая прикидка, оценка по порядку измеряемой величины являются обязательным этапом подготовки эксперимента, иногда она подсказы-
119
вает путь точного решения задачи, дает возможность установить границы
л5V
=
гm
1=
Ct
°
= 20
C°20
кПаp
н
33,2=
V⋅
⋅⋅
=
M
TRm
p
молькг /1018М
3−
⋅=
кПаp 27
=
н
pp >
кПаp
н
33,2
=
ε
В80
=
Ом
r 2=
ОмR 101=, ОмR
20
2
=
ОмR 30
3
=
ОмR 40
4
=
BОмIR
IU
A
AAA
00 =⋅=⋅=
Рис. 6.15.а.
A
r
1R2
R
3
R
4
R
ε
области применимости точного решения и понять, какие изменения потребуются при постановке и решении задачи вне пределов этой области.
Задача 6.14. «Оценка влажности» (решение более конкретной задачи,
предварительная оценка окончания процесса) В откачанный сосуд объё-
мом
поместили
воды. Найдите давление паров воды
в сосуде при температуре
равно
Выясним, будет ли пар насыщенным. Решим более конкретную за-
дачу, предполагая, что пар в сосуде будет ненасыщенным. Тогда его дав-
ление можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:
где
Видим, что
насыщенных паров при данной температуре является максимально возможным. Следовательно, пар будет насыщенным и его давление будет
равно
Задача 6.15. «Идеализация амперметра» (решение более идеализирован-
ной задачи) Электрическая цепь состоит из источника постоянного
тока с ЭДС
сопротивлением
зисторов сопротивлением
,
и амперметра с очень малым сопротивлением (см. рис.6.15.а.). Какой ток идёт
через амперметр и в каком направлении?
Заменим амперметр с очень малым сопротивлением на идеальный
амперметр, сопротивление которого равно нулю. В этом случае напряже-
ние между точками подключения амперметра равно нулю:
торых амперметр подключается к участкам цепи соединим проводником
без сопротивления (см. рис. 6.15.б.). От этого условия для прохождения
зарядов через другие участки цепи не изменится, следовательно, не изме-
.
и внутренним
, четырёх ре-
,
. Давление насыщенных паров при
.
, молярная масса воды. Получаем
, чего быть не может, так как давление
. Переструктурируем схему: точки, в ко-
,
120