Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Система эвристических приёмов решения задач по физике. Теория, методика, примеры. Учебно-методическое пособие.pdf
подборе дополнительных данных мы опираемся на сведения, имеющиеся в
2
/8,9 смg =
2
/10 смg =
м10
с
м /2
с5
нашей памяти, пользуемся справочными данными или руководствуемся
здравым смыслом.
Примером условия задачи, где дополнительные сведения даны в неявном виде, может служить задача 2.1. («Падающая сосулька»). Здравый
смысл подсказывает, что начальная скорость сосульки следует принять
равной нулю, а действием силы сопротивления пренебречь, поскольку высота падения относительно небольшая и к тому моменту, когда скорость
сосульки становится большой, падать ей остаётся совсем мало. Значение
ускорения свободного падения вблизи поверхности земли многие хорошо
помнят, а при необходимости его легко найти в любом справочнике по
физике. Кроме того, здравый смысл подсказывает, что для решения имен-
но этой задачи удобно брать значение
задаче значение высоты падения кратно данному. В большинстве других
случаев, согласно принципу простоты, целесообразно считать, что
.
Примером задачи, которую невозможно решить без введения дополнительных данных, сведения о которых не содержатся в условии задачи даже в неявном виде, может служить следующая задача.
Задача 2.5. «Мальчик и собака». Расстояние между мальчиком и его
собакой равно
ко времени собака подбежит к мальчику?
Если без предварительной подготовки дать решить эту задачу учащимся 7 - 8 классов, многие из них спешат дать ответ: «Через
что можно возразить: «Неправильно!... Собака бежала в другую сторону!».
После этих слов учащиеся сами начинают подбирать дополнительные условия: собака бежала в противоположную сторону, собака, бежала по кругу вокруг мальчика, мальчик сам убегал от собаки или бежал ей навстречу
и т.д. Становится понятно, что, без введения дополнительных данных, ответов на вопрос этой задачи может быть бесконечно много. При этом заметим, что решение, которое дали «торопливые» учащиеся вполне уместно
и соответствует нашим рекомендациям о руководстве принципом про-
стоты: уж если нет указаний и нет возможности уточнить условия, а задачу следует решить, надо рассматривать простейший вариант развития событий, и не забыть указать на другие возможные случаи. Именно на это и
указывает последний приём из семейства «Анализ условий и постановка
задачи»:
. Собака бежит со скоростью
31
, так как указанное в
. Через сколь-
!». На
СНАЧАЛА РАЗРАБОТАТЬ ПРОСТЕЙШУЮ МОДЕЛЬ
m
t
F
m
F
a =
ta ⋅=
υ
m
tF ⋅
=
υ
t
Пример непоставленной задачи, т.е. задачи, которую невозможно
решить без введения дополнительных условий, мы уже рассмотрели, теперь сформулируем некоторые рекомендации по разработке упрощённой
модели задачной ситуации.
Некоторые рекомендации по постановке задачи.
1. Если при анализе условий задачи оказывается, что возможны различ-
ные варианты развития рассматриваемых процессов, то следует снача-
ла выбрать наиболее простую модель задачной ситуации и решить
задачу, затем, если останется время, указать на другие возможные варианты решения в рамках других моделей задачной ситуации, по возможности найти эти решения и сравнить полученные ответы.
2. Принимая для себя факт допустимости различных моделей задачной
ситуации и, соответственно, допуская возможность различных отве-
тов на поставленный в задаче вопрос, решающий опирается на прин-
цип толерантности, согласно которому истинное объяснение считает
себя относительным и признает право существования других объяснений определенного круга фактов. Поэтому для получения более полного представления об исследуемых в задаче объектах полезно рассмотреть хотя бы несколько различных моделей задачной ситуации.
Иллюстрацией учёта принципа толерантности при постановке непоставленной задачи может служить задача 2.5. («Мальчик и собака»).
Кроме подобных случаев, требующих толерантного подхода к анализу данных задачи, следует отметить, случаи, когда из условия задачи
нельзя сделать вывод о том следует ли учитывать релятивистские и квантовые эффекты или можно остаться в рамках классической физики. Рассмотрим пример такой задачи.
Задача 2.6. «Скорость ускоряющейся частицы». Определите скорость
первоначально покоившейся частицы массы
в течение некоторого времени
Обычно рассуждают следующим образом. Под действием постоянной силы
рое согласно второму закону Ньютона можно найти по формуле
Скорость тела находим по формуле равноускоренного движения
Следовательно,
время
ших скоростях необходимо учитывать релятивистские эффекты, поэтому
решение будет выглядеть следующим образом. Изменение импульса тела
частица начинает двигаться с постоянным ускорением, кото-
. Этот ответ можно считать правильным, если за
скорость частицы не стала близкой к скорости света. При боль-
действовала постоянная сила F.
32
после того как на неё
.
.
равно импульсу силы
t
Fpp ⋅
=−
0
00=p
tFp ⋅=
tFp ⋅=
2
2
1
c
m
p
υ
υ
−
⋅
=
tF
c
m
⋅=
−
⋅
2
2
1
υ
υ
2
22
2
c
tF
m
tF
⋅
+
⋅
=
υ
mc
кг38,16
P
T
F
T
FP =
m
mgFT=
mgP =
кгНg /7,3=
НН
кг
Н
кгP 12112,1217,338,162 ≈=⋅⋅=
скалярном виде
по формуле
. Этот ответ следует считать более точным, но, если им-
,
поэтому
или в
. Релятивистский импульс частицы вычисляют
. Следовательно
. Откуда получаем
пульс силы существенно меньше произведения
, необходимость в
столь математически громоздкой формуле отпадает.
Этап 3. Разбор решений задач с демонстрацией эффективности
приёмов изучаемого семейства.
Задача 2.7. «Вес гири на Марсе» (анализ требований, анализ данных;
сближение в терминологии данных и цели; идеализация свойств и явлений
согласно принципу простоты; подбор дополнительных данных из справочника и здравого смысла; учёт принципа толерантности.) Сколько будет
весить на Марсе двухпудовая гиря?
Проанализируем требования задачи: требуется найти вес тела (гири). Вспомним определение понятия «вес тела»: вес тела это сила, с которой тело, вследствие притяжения к Земле (планете), действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес. Проанализируем данные усло-
вия: гиря двухпудовая. Подберём дополнительные справочные данные:
пуд – русская мера массы, равная
. Подберём дополнительные
данные из здравого смысла: будем считать, что требуется найти вес непод-
вижной гири. Вспомним, чему равен вес неподвижной гири: вес
вижного тела равен силе тяжести
, действующей на тело
непод-
Вспомним, как связаны сила тяжести, действующая на тело и его масса
:
Следовательно,
постоянная силы тяжести на поверхности Марса
, где g – постоянная силы тяжести на поверхности планеты.
. Подберём дополнительные справочные данные:
. Подставив
.
числовые данные, получаем ответ
.
Вспомнив о принципе толерантности можно учесть следующие
факты: Когда спрашивают: «Сколько весит тело?», обычно хотят получить
ответ в эквивалентных единицах массы, а коэффициентом пропорциональности между весом и массой является постоянная силы тяготения на по-
33
верхности земли, которая примерно равна
кгНg /8,90=
0
g
кг
кг
кгН
Н
12...34,12
/8,9
121
≈=
кг76,32
кг16
кг32
Н118
кг
12
гm
м
100=
г
mв200
=
Сt °
= 20
1
гmс80=
Сt °= 90
2
у
t
СкгДжс
в
°= /4200
СкгДжс
м
°= /400
СкгДжс
с
°=
/500
)(11ttmcQ
умм
−=
)(
12
tt
mcQ
увв
−
=
у
t
)(
2
3 усс
ttmcQ
−=
отданноеполученное
QQ =
321
QQQ =+
)()()(
211 у
уумм
ttcm
ttcmttmc −=
−+−
ссввмм
ссввмм
у
mcmcmc
tmctmcmc
t
++
++
=
21
)(
, т.е. надо значе-
ние веса в ньютонах делить на
Двухпудовая гиря на Марсе весит:
она весит
Кроме того, в настоящее время используются гири
которые и называют пудовая и двухпудовая, соответственно. В этом слу-
чае ещё один правильный ответ таков: двухпудовая гиря будет на Марсе
весить
Задача 2.8. «Теплообмен в калориметре» (анализ требований, анализ
данных; идеализация свойств и явлений; подбор дополнительных данных
из справочника.) В медном калориметре массой
вода массой
ют стальную деталь массой
Какая температура установится после прекращения теплообмена?
Анализируя данные условия можно сделать вывод о том, что вода и
калориметр будут нагреваться, а деталь – охлаждаться до некоторой тем-
пературы
Разработаем модель, которая сделает задачу решаемой: Будем считать,
что теплообменом с окружающей средой можно пренебречь (идеализация
свойств и явлений). Подберём в справочнике дополнительные данные:
удельная теплоемкость воды
).
(тоже примерно
, при этом часть тепла будет отдана в окружающую среду.
. Получаем ещё один правильный ответ:
).
при температуре
и температурой
. В воду опуска-
, удельные теплоем-
(на Земле
и
находится
,
.
кости меди
ство теплоты, которое получает калориметр при теплообмене можно рассчитать по формуле:
. Количество теплоты, которое выделится при охлаж-
дении детали до
Составим уравнение теплового баланса в виде
куда
можно вычислить по формуле
. Получаем
, стали
.
34
. Количе-
, При этом вода получит
.
, т.е.
. От-
После подстановки числовых данных получим
Сt
у
°≈ 23
Ом1
Ом3
А
А2 А
V1 V
4 В
1 Ом
2 Ом
2 Ом
3 Ом
5 Ом
2 Ом
Рис 2.9.а.
Рис 2.9.г.
А
V
А
Рис 2.9.б.
А
V
А
Рис 2.9.в.
1
2
.
3
Задача 2.9. «Схема с «неправильным» включением амперметров и
вольтметров» (анализ
требований, анализ данных; замена терминов
развёрнутыми формулировками; изображение на
рисунке динамики процесса: начального, конечного,
промежуточного состояний; идеализация свойств
и явлений согласно принципу простоты; подбор
дополнительных данных;
отсев лишних условий)
Определите показания
приборов на схеме (рис
2.9.а.), считать, что амперметры и вольтметры
идеальные.
Для определённости будем считать, что ток
в цепи направлен от верхней клеммы к нижней.
Поскольку все приборы
идеальные (сопротивление амперметров бесконечно мало, а сопротивление вольтметров бесконечно велико), то все заря-
ды пройдут через амперметр А
, затем через резистор
1
тически все заряды пойдут через резистор
35
, а потом через амперметр
, затем прак-
А2 на нижнюю клемму. Значит, через вольтметр V2, амперметр А3 и ос-
ВU
V02
=, АIА03=
Ом
Ом
ОмR
431
=+=
А
Ом
B
R
U
I
1
4
4
==
=
АII
AА
1
21
==
Ом3
ВОмАU
V
331
1
=⋅=
АII
AА
1
21
==
АI
А
0
3
=
ВU
V31
=
ВU
V02
=
тальные резисторы ток не пойдёт, а, следовательно, показания вольтметра
и амперметра А3 равны нулю, т.е.
V
2
. Лишние дан-
ные можно отбросить, т.е. исключить из схемы те участки по которым
ток не идёт (см. рис. 2.9.б.) Далее учтём, что сопротивление вольтметра
много больше сопротивления резистора, включенного с ним последовательно, поэтому напряжение на вольтметре много больше напряжения на
этом резисторе, т.е. практически равно напряжению на всём участке. Таким образом, схему можно упростить до вида, представленного на рис.
2.9.в. При расчёте общего сопротивления участка цепи, схему можно ещё
упростить: амперметр можно заменить проводом, а участок с вольтметром
исключить (см. рис. 2.9.г). Теперь легко понять, что общее сопротивление
цепи равно
. Возвращаясь к схеме рис. 2.8.в. в на-
ходим, что общий ток равен
перметры А
1
и А
2
, т.е.
. Вольтметр V1 оказывается под-
ключенным параллельно к участку цепи, содержащему резистор
амперметр А
, поэтому он показывает напряжение
2
. Этот ток идёт через ам-
и
.
Ответ:
,
,
,
.
!!! Эвристико-алгоритмический приём «Убрать идеальные измери-
тельные приборы». Если в рассматриваемой системе имеются измери-
тельные приборы, действие которых можно считать идеальным, то для
упрощения системы иногда оказывается полезным временно исключить эти приборы из системы. Исключать приборы следует таким образом, чтобы функционирование остальных элементов системы не изменилось.
Задача 2.10. «Забывчивый юноша и поезд» (анализ требований, анализ
данных; сближение в терминологии данных и цели; перекодирование текста в схему: использование краткой записи условия, изображение на ри-
сунке динамики процесса; идеализация; подбор дополнительных данных;
отсев лишних условий; учёт принципа толерантности) Юноша, проводив
родственников на поезд, пошёл к хвостовому вагону со скоростью 0,5
м/с. Через 1,5 мин после ухода юноши поезд начал отходить от станции
с ускорением 0,2 м/с
2
. В этот момент юноша вспомнил, что он не оставил отъезжающим билеты. Он побежал за поездом с постоянной скоростью 5 м/с, пытаясь догнать вагон, в котором ехали его родственники. Сможет ли юноша передать билеты отъезжающим?
36
Перекодируем текст в схему и запишем краткое содержание задачи,
B
t
)()(
21 BB
txtx =
1
s
11
tus ⋅=
1
s−
1
υ
2
а
1
s
В
x
u
0
Х
Рис 2.4.
Дано:
)
()
(
21
B
B
t
x
tx =
B
t
Дано:
выражая значения всех величин в системе СИ. Уточним, что надо найти,
для этого постараемся сблизить в терминологии данные и цель: В момент
передачи билетов юноша и его родственники
должны находиться рядом, т.е. в определенный
u = 0,5 м/с
= 1,5 мин=90 с
t
1
= 0,2 м/с2
a
2
υ
= 5 м/с
1
υ
= 0 м/с
02
Сможет ли передать билеты?
момент времени они должны иметь одинаковые
координаты. Значит надо найти момент времени
, в который координаты юноши и родственников
будут равны
(см. уточнённую
краткую запись содержания задачи). Разработаем
модель, которая сделает задачу решаемой: Будем
считать, что платформа достаточно длинная, чтобы
юноша мог догнать нужный вагон (подбор допол-
нительных данных), и что один из родственников
u = 0,5 м/с
= 1,5 мин=90 с
t
1
= 0,2 м/с2
a
2
υ
= 5 м/с
1
υ
= 0 м/с
02
– ?
готов мгновенно забрать билеты из рук (идеализация свойств и явлений). Запишем уравнения дви-
жения юноши и родственников. Учтём, что при
решении системы уравнений, описывающих движения тел, правильный ответ получается только в
том случае, если за исследуемый интервал времени
характер движения этих тел не изменялся. Поэтому
за начальный момент времени возьмём момент на-
чала движения поезда. Определим начальные координаты юноши и родственников в этот момент времени. Для этого пере-
кодируем текст задачи в рисунок: Проведём координатную ось Х вдоль
платформы. За тело отсчёта примем платформу. Будем считать, что начало
координат, совпадает с участком платформы, возле которого находился
тамбур вагона с родственниками в момент начала движения поезда. Для
определения координаты юноши в момент
начала движения поезда найдём расстоя-
ние
, которое про-
шёл юноша к этому
временит. Двигался он
с постоянной скоростью, поэтому
тивоположную направлению движения поезда, поэтому его координата в
момент начала движения поезда равна
. Юноша шёл в сторону, про-
.
37
Теперь можно составить систему уравнений описывающих одно-
)(1tx
)(
2
tx
⋅
+
⋅=
⋅+−=
2
)
(
;
)(
2
2
2
022
1
11
ta
t
tx
tstx
υ
υ
⋅
=
⋅
+⋅
−=
.
2
)(
;
)(
2
22
2
11
1
ta
t
x
t
t
utx
υ
B
tt =
)()(
21 BB
txtx =
.
2
2
2
1
1
B
B
t
a
ttu
=+
⋅−
υ
0
2
1
1
2
2
=⋅+
⋅−⋅
tutt
a
ВВ
υ
12
2
1
2 utaD −=
υ
2
12
2
11
1
2auta
t
B
−−
=
υυ
2
12
2
11
2
2auta
t
B
−+
=
υυ
)(12
2,0
75
1
сt
В
≈
−
=
)(38
2
,0
75
2
сt
В
≈
+
=
временное движение юноши
и поезда
:
или
В момент встречи (передачи билетов)
одинаковыми
лучаем квадратное уравнение:
его равен
вые значения, выраженные в СИ, получим:
Итак, уравнение имеет решение, а значит можно сделать вывод, что
юноша догонит вагон и сумеет передать родственникам билеты.
Однако, в реальном случае всё могло произойти иначе (учёт прин-
ципа толерантности):
- родственники могли не вспомнить о билете и не услышать окрика юно-
ши, а дверь в вагон могла оказаться закрыта;
- платформа могла закончиться быстрее, чем юноша добежал до вагона с
родственниками;
- кто-нибудь из родственников мог побежать через вагоны навстречу
юноше;
- юноша мог споткнуться и упасть;
- кто-нибудь из родственников мог сорвать стоп-кран и т.д.
, следовательно,
. Уравнение имеет два корня:
и
и
координаты тел будут
По-
. Дискриминант
. Подставив число-
.
Этап 4. Задания для самостоятельной работы во внеаудиторное время.
1. Запомнить названия изученных эвристических приёмов и ос-
новную идею их реализации при решении задач.
2. Подобрать задачи, иллюстрирующие эффективность использо-
вания каждого из изученных приёмов.
38
Инструкция
гmм100=
гm
в
200
=
С
t
°
= 20
1
гm
с
200=
Сt °= 90
2
A1 V1 А
А2 V
13
1 Ом
2 Ом
2 Ом
3 Ом
5 Ом
2 Ом
Рис. С.2.3.
по подбору задач, иллюстрирующих эффективность
использования изученных эвристических приёмов.
• При подборе можно использовать любые источники.
• Каждая, приведённая в качестве примера, задача должна иметь
ссылку на пособие, откуда она взята. Перед текстом задачи следует
подробно записать название пособия и указать страницу, на которой
эта задача расположена (например, Задача 1. (Бутиков Е.И., Быков
А.А., Кондратьев А.С. Физика для поступающих в вузы. –М.: Наука, физматлит, –1991, с. 79.). Текст задачи). Если текст задачи составлен самостоятельно, то это следует записать и указать источник,
откуда были взяты те или иные сведения, приводимые в тексте задачи.
• Количество задач может быть любым (можно ограничиться даже
одной), но все изученные на занятии приёмы должны найти своё отражение в решениях подобранных задач.
3. Решить тренировочные задачи:
Задача С.2.1. Когда мы быстрее движемся относительно Солнца, днём или
ночью?
Задача С.2.2. В медном калориметре массой
находится вода
массой
при температуре
стальную деталь массой
и температурой
. В воду опускают
. Какая
температура установится после прекращения теплообмена? Теплоёмкостью калориметра пренебречь.
Задача С.2.3. Определите показания приборов на схеме (рис. С.2.3.), счи-
2
3
тать, что амперметры и вольтметры идеальные.
39
Глава 3 (занятие 3)
СЕМЕЙСТВО ПРИЁМОВ
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД
(ОБЩИЙ ПОДХОД)
Этап 1. Повторение теоретического материала Главы 2. Краткий
разбор решений задач, предлагавшихся для самостоятельной работы
во внеаудиторное время.
Этап 2. Ознакомление с семейством приёмов «Методологический
подход»
Данное семейство приёмов отражает один из путей познания окру-
жающего мира: движение от общих закономерностей к частным.
анализа задачной ситуации иногда удаётся сразу найти основную идею
решения, важнейшую закономерность рассматриваемого процесса, исходя
из целостного взгляда на рассматриваемую задачную ситуацию, используя
метод аналогии и опираясь на методологические принципы физики, такие
как принцип простоты, толерантности, относительности, сохранения, симметрии, суперпозиции, соответствия, причинности, дополнительности и
соотношение неопределённостей.
Согласно принципу простоты, следует стремиться выявить самые
очевидные, наиболее характерные особенности рассматриваемого процесса, попробовать обнаружить аналогию между рассматриваемой задачной
ситуацией и ситуациями, исследованными ранее, и на основе этих данных
попробовать решить задачу.
Принцип толерантности ориентирует решающего на готовность
использовать различные законы физики и различные способы решения для
достижения успеха в поисковой деятельности, а также предостерегает от
принятия результата решения как единственно верного, поскольку в рамках другой модели задачной ситуации результат может оказаться несколько иным.
Опираясь на принцип относительности, мы можем быть уверены в
правомочности применения известных законов в любой инерциальной
системе отсчёта. Совместно с принципом простоты принцип относительности ориентирует нас на выбор такой системы отсчёта, в которой проще
всего выявить необходимые для решения задачи связи между предметами,
явлениями и характеризующими их величинами.
Опора на принцип симметрии помогает существенно упростить
поисковую деятельность при обнаружении тех или иных случаев проявления симметрии в рассматриваемой задачной системе.
Учитывая идеи сохранения, иногда удаётся достаточно просто выявлять некоторые существенные закономерности рассматриваемых про-
40
В ходе