Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Система эвристических приёмов решения задач по физике. Теория, методика, примеры. Учебно-методическое пособие.pdf
Задача 5.20. «Поочерёдное заземление шариков» (периодизация процес-
r
n
q
q
κ
ϕ
=
1
r
q
01
11
κϕ
=
r
q
q
01
0
κκ
+=
r
q
q −
=
11
2
2
21
r
qq =
3
2112
−=−=
r
q
r
qq
4
1222
=
−=
r
q
r
qq
121−
−=
n
n
r
qq
n
n
r
qq
2
2
=
1
ρ
2
ρ
ρ
12
ρρρ
>>
са) Два металлических шарика радиусом
расположены на очень больших равных расстояниях от земли так, что
расстояние между центрами шариков равно
ляют, после чего заземляющий проводник убирают. Затем такую же
процедуру проделывают со вторым шариком. После этого снова заземляют первый и т.д. Какими будут заряды шариков после
довательных заземлений каждого.
Выясним, какими будут заряды шариков после первого заземления
каждого шарика. После первого заземления первого шарика его потенциал
стал равен нулю. Нулевой потенциал этого шарика является результатом
суперпозиции потенциала поля, созданного зарядом второго шарика (он
с зарядом qна каждом
. Первый шарик зазем-
после-
равен потенциалу, созданному зарядом
потенциала поля зарядов, появившихся на первом шаре после заземления
(он равен
ждая аналогично, получаем, что после первого заземления второго шара
его заряд стал
шарика будет равен
зарядов и сделать вывод, что после n-го заземления второго шара заряды
шаров будут равны
Задача 5.21. (3.8, 6.16., 7.2.) «Тело в двух жидкостях» (разделение объек-
та на части и введение вспомогательных элементов) В сосуд, наполнен-
ный двумя несмешивающимися жидкостями, плотностями
Опустили тело неправильной формы, плотностью
При этом тело оказалось полностью погруженным в жидкости.
Определите, какая часть объёма тела погружена в более плотную жидкость.
) т.е.
. Тогда после второго заземления заряд первого
. Можно заметить периодичность в изменении
на расстоянии :
откуда
и
101
, а заряд второго
соответственно.
(
) и
. Рассу-
и
.
).
Выражаясь математическим языком, требуется найти отношение
2
V
V
A
F
mg
=
Vm ⋅=
ρ
1Д
F
2Д
F
1Д
F
021=+ДДFF
1
ρ
2
ρ
ρ1 ρ
ρ
Рис 5.21.а.
Рис 5.21.б.
ρ1 ρ
ρ
ρ
объёма
части тела, погруженной в более плотную жидкость к объёму
всего тела. Изобразим условие задачи в рисунке (см. рис. 5.21.а.). За-
пишем условие плавания тел:
ную формулу архимедовой силы сразу записать не получится, поскольку
тело частично погружено в обе жидкости. Для упрощения расчётов проведём следующие логические операции:
1) мысленно разделим тело две
части вдоль границы раздела
двух жидкостей (разделение на
части);
2) разведём обе части тела на
очень малое расстояние: верхнюю – вверх, нижнюю – вниз,
так, чтобы пространство между
половинками оказалось заполнено двумя тончайшими слоями обеих жидкостей (введение вспомогательных элементов, комбинаторика объектов);
3) чтобы половинки тела не разошлись, соединим их несколькими очень
прочными и очень тонкими нитями (см. рис. 5.21.б.) (введение вспомога-
тельных элементов).
Покажем, что внесённые в систему изменения не изменили ни силу
тяжести, ни выталкивающую силу. Для силы тяжести это очевидно. Выталкивающая или архимедова сила равна разности сил давления жидкости
на тело снизу и сверху. Поскольку части тела развели на очень малое расстояние, то силы давления сверху и снизу на части тела остались прежни-
ми. Кроме этих сил давления добавились силы давления
. Учтём, что
2
. Расчёт-
2
на верхнюю
часть снизу, в месте разреза, и
реза. Учитывая, что толщина слоёв воды, зашедших в пространство между
частями тела очень мала, можно считать, что давление на уровне среза
верхней части равно давлению на уровне среза нижней части. Срезы име-
ют одинаковую площадь, следовательно, силы давления
по модулю, значит их сумма равна нулю
выталкивающая сила, действующая на тело после его разделения, не изме-
нилась. Но теперь верхняя часть тела оказалась полностью погруженной в
жидкость плотностью
вательно, Архимедову силу можно найти как сумму архимедовых сил со
, а нижняя – в жидкость плотностью
на нижнюю часть сверху, в месте раз-
и
F
. Таким образом,
102
равны
2Д
, следо-
стороны каждой из жидкостей, действующих на погруженную в них часть
2
1 A
AA
F
FF
+
=
222
1
)( VgV
V
gF
A
⋅⋅+−
⋅
⋅=
ρρ
22211
VgVgVggV ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅
ρρρρ
1
122
ρρ
ρρ
−
−
=
V
V
Х
Х
Х
XR
XR
RХ
+
⋅
+
= 2
022
22
=−⋅− RXRХ
)31(1+= RХ
)
31(
2
−= R
Х
RR 7,
2)3
1( ≈+
Рис 5.22.а.
R
2
RR2RR2R
Рис 5.22.б.
R
2
R
Х
тела:
С учётом условия плавания тел можно записать
. Получаем
.
, откуда
Задача 5.22. «Бесконечная
цепь» (Выразить неиз-
вестное частично через
себя) Рассчитайте сопро-
тивление электрической
цепи, состоящей из очень
большого количества
одинаковых звеньев (см.
рис. 5.22.а.)
Поскольку цепь состоит из очень большого количества одинаковых
звеньев, можно сделать вывод о том, что если от цепи отнять одно звено,
сопротивление цепи практически не изменится.
Обозначим сопротивление всей цепи буквой
Тогда всю цепь можно представить в виде первого
звена, соединённого с резистором сопротивлением
(см. рис.5.22.б.). Полное сопротивление такой
цепи будет равно
получаем квадратное уравнение
уравнения равны
имеет физического смысла. Поэтому получаем, что сопротивление цепи
равно
. Тогда можно записать, что
. Преобразовав это выражение,
и
.
.
. Корни этого
. Второй корень не
Этап 4. Задания для самостоятельной работы во внеаудиторное время.
1. Запомните названия изученных эвристических приёмов и основ-
ную идею их реализации при решении задач.
2. Подберите задачи, иллюстрирующие эффективность использова-
ния каждого из изученных приёмов.
3. Решите задачи:
103
Задача С.5.1. Из однородной проволоки изготовлена плоская решётка (см.
R
...:5:3:1...:::
321
=sss
Рис С.5.1.
Рис.С.5.7.а
R3
R9
R
R
R3
R9
рис.С.5.1.) Электрическое сопротивление каждого участка равно
ким будет общее сопротивление такой решётки, если её подключить за
противоположные углы?
Задача С.5.2. Одну восьмую всего пути движения
велосипедист ехал со скоростью 35 км/ч, оставшееся время он двигался с постоянной скоростью. В
результате средняя скорость его движения оказалась равной 14 км/ч. Определите скорость движения велосипедиста на втором участке.
Задача С.5.3. С помощью рисунка покажите способ определения положения центра масс однородного плоского четырёхугольника?
Задача С. 5.4. На рис. С.5.4. изображена тонкая
рассеивающая линза и луч, прошедший через неё, покажите построением,
как этот луч шёл до преломления.
Задача С.5.5. Докажите, что если первоначально покоившееся тело движется с постоянным ускорением, то пути,
пройденные телом, за последовательные равные промежутки времени, пропорциональны ряду нечётных чисел:
. Ка-
Задача С.5.6. В стакане плавает кусок льда с вмороженной в него стальной
гайкой. Как изменится уровень воды в стакане, когда лёд растает?
Задача С.5.7. Рассчитайте
сопротивление электрической цепи, состоящей из
очень большого количества
звеньев из резисторов, сопротивления которых изменяются в определённой последовательности (см. рис.
С.5.7.а.)
104
Глава 6 (занятие 6)
СЕМЕЙСТВО ПРИЁМОВ
ИЗМЕНЕНИЕ СТЕПЕНИ КОНКРЕТИЗАЦИИ УСЛОВИЙ
(ИЗМЕНЕНИЕ УРОВНЯ ОБОБЩЁННОСТИ ЗАДАЧИ)
Этап 1. Повторение теоретического материала Главы 5. Краткий
разбор решений задач, предлагавшихся для самостоятельной работы
во внеаудиторное время.
Этап 2. Ознакомление с семейством приёмов «изменение уровня
обобщённости задачи».
Довольно часто оказывается полезным временно изменить уровень
обобщённости задачи, т.е. изменить степень конкретизации её условий. В
соответствии с изменениями, вносимыми в условия задач, в данное семейство объединяются такие эвристические приёмы как:
• Решение более обобщённой задачи
• Решение более конкретизированной задачи
• Решение более идеализированной задачи
Дадим краткие пояснения данным приёмам:
РЕШЕНИЕ БОЛЕЕ ОБОБЩЁННОЙ ЗАДАЧИ
Данный приём предполагает временное абстрагирование от известного конкретного значения одного (или нескольких) из условий задачи. К
таким обобщениям относятся: предварительное решение задачи в общем
виде, вывод формулы или проверка её правильности из соображений размерности, сравнение по порядку величины. Подобные действия могут существенно упростить логику рассуждений или объём математических расчётов. После получения решения более общей задачи ответ корректируется с учётом тех условий, которые были временно отброшены.
Предварительное решение в общем виде
Решение задачи в общем виде предполагает временную замену известных числовых значений величин их буквенными обозначениями и получение конечной формулы в общем виде, в которую затем подставляются
все известные значения величин. Решение в общем виде бывает удобно по
нескольким соображениям: во-первых, полученные логические утверждения в виде словесных заключений или математических формул могут оказаться справедливыми для достаточно большого числа числовых или иных
условий, допустимых в рамках используемой модели задачной ситуации;
во-вторых, при наличии ответа в общем виде можно достаточно легко вы-
105
яснить числовое значение ответа при изменении числовых значений вели-
чкм /27
чкм /47
ss ⋅=
α
1
ss ⋅
−= )
1(
2
α
2
2
2
t
s
=
υ
1
1
11
1
12
υυ
αυυ
υ
α
υυυ
⋅
−
=−=−=−=
cp
cp
cpcp
s
ss
s
s
ttt
cp
cp
cp
cp
s
s
αυυ
υυα
υυ
αυυ
α
υ
−
−
=
−
−
=
1
1
1
1
2
)1(
)1(
чкм /54
2
=
υ
Дано
чкм /271=
υ
чкм
ср
/47=
υ
ss
47
7
1
=
?2−
υ
чин, перечисленных в условиях задачи; в-третьих, подстановка числовых
значений в конечную формулу часто приводит к удобным сокращениям, и
позволяет получить значительно более точный ответ.
Именно поэтому умению решать задачи в общем виде преподаватели физики обучают учащихся, начиная с первых уроков физики.
Задача 6.1. «Средняя скорость». Первые семь сорок седьмых всего пути автомобиль двигался со скоростью
, затем его скорость
изменилась на некоторую величины, но продолжала оставаться постоянной, при этом средняя скорость движения оказалась равной
. Определите скорость на втором участке.
Запишем краткое содержание задачи. Заметим, что числовые дан-
ные неудобны для вычислений, поэтому предвари-
тельно решим задачу в общем виде. Пусть
тогда
. Запишем основное уравнение
,
для вычисления скорости
. Анализ условий
задачи показывает, что имеется больше сведений о
пройденном пути, поэтому пройденные пути и интер-
валы времени движения на каждом участке будем выражать через весь
путь. Учтём, что время на втором участке равно
, тогда
. Подставив числовые значения, получаем
.
Заметим, если бы мы стали сразу подставлять числовые значения,
то могли возникнуть две проблемы: либо пришлось бы много работать с
неправильными дробями, либо округлять бесконечные десятичные дроби,
в первом случае возрастает вероятность появления вычислительной ошибки, во втором – итоговый ответ наверняка содержал бы ошибку из-за погрешности округления.
Вывод формулы из соображений размерности
Вывод формулы из соображений размерности используют тогда, ко-
106
гда известно, с какими величинами может быть связана искомая величина,
м
А
моль
[ ]
2
−
⋅= см
а
[ ]
2−
⋅⋅= смкгF
t
m
s
[ ] [ ] [ ] [ ]
zyx
Fmst =
zyx
Нкгмс ⋅⋅=
( )
z
yx
скгмкгмс
2−
⋅⋅⋅⋅=
zzyzx
cкгмс
2−++
⋅⋅=
но вид этой связи неизвестен. Данный приём основан на использовании
понятия размерность физической величины
Краткие справочные сведения: Физические величины, числовое
значение которых зависит от выбранных единиц измерения, называются
размерными (например: длина, масса, скорость). Физические величины,
числовое значение которых не зависит от выбранного масштаба единиц
измерения, называются безразмерными (например: показатель преломле-
ния света, диэлектрическая проницаемость среды, количество каких-либо
объектов). Размерность – это выражение производной единицы физиче-
ской величины, через основные в данной системе единиц. В международной система единиц (СИ) основными единицами считаются единицы длины (метр,
(ампер,
чество вещества (моль,
нятие размерности физической величины заменяют понятием наименова-
ние единицы измерения физической величины. При этом формула размерности для ускорения записывается в виде:
С алгоритмом действий познакомимся на примере задачи 6.2.
(Задача 6.2. «Ускоряющееся тело» Определите время
первоначально покоившееся тело массы
проходит расстояние
1. Для установления связи между искомой и известными величинами составляют уравнение размерностей, в котором в левой части будет стоять
символ искомой величины, а в правой – произведение символов величин,
от которых искомая величина может зависеть, но с неизвестными показателями размерности. (Предполагаем, что время будет зависеть и от мас-
сы и от силы и от расстояния, тогда расчётная формула будет выгля-
деть так:
2. Вместо символа каждой величины записывают её единицу измерения
(
3. Каждую единицу измерения выражают через основные единицы изме-
), массы (килограмм, кг), времени (секунда, с), силы тока
), температуры (кельвин, К), силы света (кандела, Кд), коли-
). В настоящее время в школьном курсе по-
, а для силы:
за которое
под действием силы F
.)
)
).
рения (
4. Группируют показатели степени одинаковых основных единиц измерения, входивших в разные производные единицы измерения
(
5. Учитывая необходимое условие равенства показателей единиц измере-
).
).
107
ния величин в левой и правой частях уравнения записывают соответст-
12,0,0 =−=+=+ zzyzx
2
1
,
2
1
,
2
1
−=
==
zyx
[ ]
[
]
[ ]
[ ]
2
1
2
1
2
1
−
= F
m
st
F
ms
Ct
=
2=
С
F
mst2
=
ρ
т
η
[ ]
11 −−
⋅⋅= смкг
η
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
knzyx
SF
υηρ
=
вующую систему уравнений для показателей степени единиц измерения
(
6. После решения полученной системы уравнений
).
(
символами величин, подставляя найденные значения показателей степени
(
7. При записи окончательного ответа в правую часть получившейся формулы добавляют некоторый постоянный безразмерный множитель, числовое значение которого нельзя получить из соображений размерности, в
этом недостаток и своеобразие данного приёма (
8. Числовое значение постоянного множителя удаётся получить, если
имеются дополнительные данные, например, известны конкретные значения всех величин, входящих в формулу, в некоторых частных случаях
(в нашем примере
Несмотря на указанный недостаток, данный приём нашел плодо-
творное применение в тех областях физики (гидравлике, аэродинамике и
др.), где строгое решение задачи наталкивается на значительные трудности, в частности из-за большого количества параметров, определяющих
физическое явление. Рассмотрим одну из таких задач.
Задача 6.3. «Сила сопротивления». В некоторой среде плотностью
движется тело массой
ент вязкости среды
чина, характеризующая силу трения между отдельными слоями сре-
ды, движущимися друга относительно друга с некоторой скоростью,
размерность коэффициента вязкости равна
берите возможный вид формулы, по которой вычисляется сила сопро-
тивления среды.
Предположим, что сила сопротивления может зависеть от всех пе-
речисленных в задаче величин. Для установления связи составим уравнение размерностей:
чин подставим их единицы измерения, выраженные через основные еди-
), возвращаются к первоначальному уравнению с
).
).
, поэтому
со скоростью υ. Длина тела , коэффици-
(коэффициент вязкости – это физическая вели-
).
). Под-
. Вместо каждой из вели-
,
108
ницы СИ:
knz
yx
мм
см
см
кг
мкг
смкг )()()
(
)(
)(
21
11
3
2 −
−−
−
−
⋅
⋅⋅
⋅
=⋅⋅
zyknzyxyx
смкгсмкг
−−+++−−+−
⋅⋅=⋅⋅
232
.123
;2
;1
=+++−−
=+
=+
knzyx
zy
уx
1=у
0
=x
1=
z
12 =+ kn
n
k
2
1
≤n
1≤k
1=k
0=n
υη
⋅=1CF
сопр
1=x
0=у
2=z
22 =+ kn
1=n
0=k
2
2
υρ
SCF
сопр
⋅=
Раскроем скобки и сгруппируем показатели степени
. Требование равенства показа-
телей единиц измерения левой и правой частей приводит к системе уравнений:
Видим, что в системе из трёх уравнений имеется пять неизвестных.
Для подбора возможных вариантов решения воспользуемся принципом
простоты и логическими заключениями.
Предположим, что сила сопротивления прямо пропорциональна
вязкости среды, т.е.
третье уравнение системы, получаем, что
следнюю формулу. Коэффициент
ди поперечного сечения, а коэффициент
тела. Здравый смысл подсказывает, что оба этих коэффициента не могут
быть отрицательными, поскольку и при увеличении площади поперечного
сечения, и при увеличении длины сила сопротивления уменьшаться не
, тогда
и
является показателем степени площа-
, подставив эти значения в
. Проанализируем по-
- показателем степени длины
.
может. Поэтому
простоты, то разумно предположить, что
Значит, одна из возможных формул имеет вид
Предположим, что сила сопротивления прямо пропорциональна
плотности среды, т.е.
в третье уравнение системы, получаем, что
воспользовавшись принципом простоты, предположить что
. Получаем ещё одну формулу
Следует отметить, что оба ответа правильные, поскольку первая
формула используется для расчёта силы сопротивления при небольших
скоростях, когда существенную роль играют силы вязкого трения, а по
второй формуле вычисляют силу сопротивления, при больших скоростях,
когда существенным становится лобовое сопротивление, которое зависит
от площади поперечного сечения и плотности среды.
Проверка формулы из соображений размерности
и
. Если снова воспользоваться принципом
, а, следовательно,
.
, тогда
и
, подставив эти значения
. Теперь можно,
.
.
, тогда
109
При проверке правильности полученной формулы, проще всего
T
R
F
3
3
8
πρ
=
ρ
с
м
м
м
кг
Н
⋅
⋅=
3
3
с
м
кгН ⋅=
2
с
м
кгН ⋅=
с
м
кг
с
м
кг ⋅≠⋅
2
10
2
10
84
2
10
сначала воспользоваться соображениями размерности и проверить тождественность единиц (единиц измерения) величин, стоящих в левой и правой
частях уравнения. Для этого необходимо вместо каждой величины, имеющей размерность, подставить её единицу, провести необходимые сокращения и убедиться, что и в левой, и в правой частях уравнения остались одинаковые единицы.
Задача 6.4. «Проверка правильности формулы» Предположим, что в
ходе решения получена расчётная формула
ла,
- плотность, R - радиус, - некоторая длина, T - время. Пра-
, где F - си-
вильно ли выведено соотношение между величинами?
Проверим тождественность единиц величин, стоящих в левой и
правой частях расчётной формулы. Вместо физических величин подставим
в формулу соответствующие им единицы. Получаем
сле сокращения остаётся
. Однако, должно быть
. По-
, если
эти единицы подставить в проверяемую формулу, равенство не получается
. Поэтому можно сделать вывод о том, что данная формула
ошибочна, кроме того, можно предположить, что во время преобразований
был «утерян» показатель степени у времени. Проверка итоговой формулы
на равенство размерностей часто помогает скорее обнаружить и отыскать
ошибку.
Грубая прикидка значений, оценка по порядку величины
Для получения ответа на вопрос задачи иногда оказывается доста-
точным сделать оценку по порядку величины, характеризующей исследуемый в задаче процесс. При оценке величины по порядку руководствуются следующими соображениями: два численных значения какой-либо
величины считаются отличающимися на порядок, если их отношение при-
мерно равно
, на два порядка, если оно равно
, и т. д. Для оценки
численного значения величины по порядку заменяют в расчётной формуле
все конкретные значения величин на соответствующий им порядок числа.
Так число
считается числом порядка
, а число 25 – порядка 10.
Оценка величины по порядку наиболее эффективна в двух случаях:
во-первых, при сравнении двух величин, точное вычисление которых приводит к слишком громоздким преобразованиям (Примером такой оценки
110