Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Система эвристических приёмов решения задач по физике. Теория, методика, примеры. Учебно-методическое пособие.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
соединяющего Солнце и Землю), она равна
з
з
Т
°
=
360
ω
2
Т
отн
ω
зотнм
ωωω
+=
змотн
ωωω
−=
Т
отн
°
=
360
ω
зм
ТТТ
111
−=
мз
зм
ТТ
ТТ
Т
−
=
116≈Т
R3
ρ
1
ρ
R2
m
М
2
ω
1
ω
З
Рис.3.17.а.
Рис.3.17.6.
отн
ω
М
З
обращения Земли вокруг Солнца (см. рис.3.17а.)
Перейдём в СО, центр которой совпадает с центром Солнца, а одна из координатных осей вращается вместе с Землёй. Тогда угловую
скорость щения Меркурия в этой
СО (скорость измене­ния угла между радиус­векторами Меркурия и Земли) можно найти из соотношения
обра-
, от-
, где
– период
куда (см. рис.3.17.б.).
Учтём, что
, т.е. в следующий раз лучшая видимость Меркурия в тех
же условиях будет наблюдаться через года.
Внимание!!! Если проверить астрономические справочники окажется, что очередная восточная элонгация Меркурия была 12 марта! Разница
реального и вычисленного события составила 5 суток. Причиной расхож­дения послужил тот факт, что и Земля и Меркурий движутся по несколько вытянутым (эллиптичным) орбитам и в указанный интервал времени обе планеты проходили вблизи своих перигелиев, т.е. двигались с наибольшей скоростью.
Задача .3.18. «Шар с включением» (Поиск и учёт симметрии, предста­вить в виде суперпозиции) Шар радиусом
ства плотностью радиусом
верхности шара. Определите силу гравитационного взаимодействия такого шара с точечным телом массы
, расположенное так, что её поверхность касается по-
,
, следовательно,
суток., т.е. 17 марта 2005
, изготовленный из веще-
, имеет шарообразное включение плотностью
, находящимся на прямой,
61
, тогда
проходящей центры шара и шарового включения, на расстоянии R5
2
)5( R
mMGF⋅
=
2
21
r
mmGF⋅
=
ρ
)(
1
ρρ
−
21
FFF +=
3
)3(
3
4
R
πρ
R5
3
1
)2(
3
4
)( R
πρρ
−
2
3
1
2
3
)6(
)2(
3
4
)(
)5(
)3(
3
4
R
mR
G
R
mR
GF
⋅−
+
⋅
=
πρρπρ
Рис. 3.18.
m
3R
2R
ρ
1
ρ
5R
от центра шара с противоположной от включения.
Шар с включением не является центрально симметричным телом, поэтому силу его взаимодействия с телом нельзя вычислять по формуле
, где M - масса ша-
ра. (Напомним, силу всемирного тяготения можно вычислять по фор-
муле
случаях: если взаимодействующие тела можно считать материальными точками, если взаимодействующие тела являются центрально симмет­ричными шарами, если одно тело центрально симметричный шар, а другое материальная точка.) Чтобы воспользоваться формулой силы все­мирного тяготения можно избрать два способа расчётов. Способ 1: можно разбить шар на очень маленькие однородные частицы, найти силу взаимо­действия каждой частицы шара с телом, считая их материальными точка­ми, а затем вычислить результирующую всех сил взаимодействия. Этот способ потребует очень больших и сложных математических действий. Способ 2: вычисления будут значительно проще, если представить шар с шаровым включением как суперпозицию (фигуру, полученную наложени-
ем) однородного шара плотностью плотностью действия может быть вычислена по формуле
масса первого однородного шара равна
центра до тела равно
только в трёх
, радиуса R3 и однородного шара
, радиуса R2. В этом случае, искомая сила взаимо-
, а масса второго однородного шара равна
и расстояние от его центра до тела равно R6. Тогда
. Учтём, что
и расстояние от его
. После упрощения
62
получаем
 
 
−−= )(
27
8
25
36
1
ρρρπ
RGmF
см /20
0
=
υ
Рис. 3.19.
α sх
sy
Х
Y
sх
sy
s
Таким образом, можно значительно упростить математические рас­чёты, если суметь представить сложное движение в виде нескольких более простых. При решении школьных задач наиболее распространены два слу­чая: 1) представить движение тела, брошенного под углом к горизонту как суперпозицию равномерного движения тела по горизонтали и равноуско­ренного движения тела по вертикали; 2) представить движение тела, кото­рое катится по поверхности другого как суперпозицию поступательного и вращательного движений.
Рассмотрим примеры применения этого приёма.
Задача 3.19. «Горизонтальный бросок» (суперпозиция движений). Не- большой камень бросили с горы горизонтально со скоростью
. Определите его перемещение за пятую секунду своего
движения.
оси взаимно перпендикулярны, модуль перемещения камня можно вычис-
.
Траектория движе­ния тела брошенного гори­зонтально, представляет собой часть ветви парабо­лы. Чтобы упростить рас­чёты можно учесть, что падающее тело движется только под действием си­лы тяжести, которая на­правлена вертикально вниз. Следовательно, такое движение можно предста­вить как суперпозицию движений равномерного вдоль горизонтальной оси и равноускоренного из состояния покоя вдоль вертикальной оси (см. рис.3.19.). Проведём коор­динатные оси Х – горизон­тально, Y – вертикально.
Учитывая, что эти
63
лить по формуле
22
Y
X
sss +=
τυ
⋅=
0X
s
2
)(
2
22
τ
−⋅
−
⋅
=
ta
t
a
s
Y
2
10
с
м
ga
≈=
c
t 5=
c1=
τ
мs
49≈
4
9
≈
=
X
Y
s
s
tg
α
0
66
4
9
≈
= arctg
α
2
R
Рис С.3.3.
.
,
.
Учтём, что
ные, получаем зонту можно вычислить через отношение проекций перемещений
, откуда
Этап 4. Задания для самостоятельной работы во внеаудиторное время.
1. Запомнить названия изученных эвристических приёмов и ос- новную идею их реализации при решении задач.
2. Подобрать задачи, иллюстрирующие эффективность использо­вания каждого из изученных приёмов.
3. Решить задачи:
Задача С.3.1.
друга и на расстоянии 50 м от линии штрафной площади, начинают при­ближаться к ней, играя в стенку, т.е. поочередно пасуя мяч друг другу. При этом оба футболиста бегут со скоростью 2 м/с., а средняя скорость мяча 5 м/с. Оцените (вычислите приблизительно) длину траектории мяча к тому моменту, как он окажется на линии штрафной площадки. Временем столк­новения мяча с ногой можно пренебречь.
Задача С.3.2. Узкая стеклянная трубка согнута под прямым углом и рас­положена так, что одна её часть расположена вертикально, а вторая - гори-
зонтально. Вертикальная часть трубки, длиной водой, которая не может перелиться в горизонтальную часть трубки дли-
ной ба, закрыт. Через сколько времени после откры­тия крана вода будет переливаться в горизон­тальную часть трубки. Капиллярными явлениями можно пренебречь.
Два футболиста, находящиеся на расстоянии 10 м друг от
пока кран, расположенный в месте изги-
,
. Угол α наклона вектора перемещения к гори-
,
. Подставив числовые дан-
, полностью заполнена
Задача С.3.3. Из однородной проволоки изготов­лена плоская решётка (см рис.С.3.3.) Электриче-
ское сопротивление каждого участка равно Каким будет общее сопротивление такой решёт-
64
.
ки, если её подключить так, как показано на рисунке?
m
q
0
>q
E
R
M
m
R
2
Рис. С.3.5.
m
2R
R
Задача С.3.4. Маленький шарик массы подвешен на шёлковой нити длиной
зонтальном подвесе. По шарику равномерно распределён электрический заряд родном вертикальном электростатическом поле, вектор напряжённости
Задача С.3.5. В однородном шаре радиуса
полость, поверхность которой каса­ется шара и проходит через его центр. Масса шара до того как была
сделана полость равнялась какой силой тяготения этот шар бу­дет действовать на маленький шарик массой
стоянии мой, соединяющей центры шаров и полости, со стороны полости.
Задача С.3.6. На стадионе одновременно с одной линии стартуют мальчик и девочка. Они начинают равномерный бег по кругу. Длина круговой до­рожки стадиона составляет 450 м. Средняя скорость мальчика равна 2,3 м/с, а девочки – 2,2 м/с. Через сколько времени мальчик три раза повстре­чается с девочкой, если они бегут а) навстречу друг другу; б) в одну сторону. Встречу в момент старта не учитывать. Как изменится ответ, если дорожка стадиона имеет вид овала, а не круга?
(
, которого направлен вертикально вверх.
). Определите период малых колебаний шарика в одно-
сделана сферическая
. С
, находящийся на рас-
от центра шара на пря-
, изготовленный из диэлектрика,
, прикреплённой на тонком гори-
Задача С.3.7. Какой методологический принцип физики был нарушен в фильмах «Иван Васильевич меняет профессию» и «Терминатор»?
65
Глава 4 (занятие 4)
СЕМЕЙСТВО ПРИЁМОВ
ПОИСК НОВЫХ СВЯЗЕЙ
(ВЫЯВЛЕНИЕ ОСОБЕНОСТЕЙ)
Этап 1. Повторение теоретического материала Главы 3. Краткий разбор решений задач, предлагавшихся для самостоятельной работы во внеаудиторное время.
Этап 2. Ознакомление с семейством приёмов «поиск новых связей, или поиск частных закономерностей, характерных для рассматри­ваемых в данной задаче явлений.
Если после анализа условий и попытки использования для решения
задачи общих соображений и методологических принципов, а также учёта легко замеченных соотношений между физическими величинами, не уда­ётся получить замкнутой системы уравнений, необходимо начать поиск новых связей, т.е. ещё не замеченных частных закономерностей и особен­ностей исследуемых объектов. Для этого нужно ещё раз внимательно про­анализировать задачную ситуацию, уточнить структуру разработанной модели этой ситуации, постараться учесть те особенности рассматривае­мых объектов, которым ранее не придавалось значения, попытаться заме­тить возможную согласованность изменения между отдельными характе­ристиками этих объектов, попробовать использовать иной математический аппарат. В семейство приёмов «Поиск новых связей» объединены сле­дующие эвристические приёмы:
• Учесть особые свойства.
• Учесть согласованность изменений.
• Использовать геометрические образы
• Исследовать график.
• Уточнить-изменить модель.
Дадим краткие пояснения данным приёмам и рассмотрим примеры
их применения при решении физических задач.
УЧЕСТЬ ОСОБЫЕ СВОЙСТВА
Решение большинства задач становится возможным, если мы идеа­лизируем объекты, пренебрегая многими их частными особенностями. Но не всегда при первоначальном моделировании удаётся правильно опреде­лить, какие свойства объектов являются в данной ситуации значимыми, а какими следует пренебречь. Поэтому, если на некотором этапе решения обнаруживается недостаточное количество уравнений, описывающих
66
взаимосвязь между объектами, или получаются противоречивые, заведомо
с3
ложные результаты, то следует постараться ещё раз внимательно рассмот­реть предметы, процессы, системы и попытаться учесть их особые свойст­ва. Учитывая особые свойства процессов можно обратить внимание на особенности математических функций, описывающих эти процессы, вспомнить ограничения для процессов по времени и в пространстве, по скорости протекания процессов, по температурному режиму, при котором они возможны и т.п. Среди особых свойств предметов можно назвать осо­бенности свойств тел в различных агрегатных состояниях, в том числе: малая сжимаемость жидкостей, независимость давления насыщенного па­ра от объёма при постоянной температуре, стремление газов занимать весь, предоставляемый им объём. Необходимо учитывать, что свойства «идеальных» измерительных приборов отличаются от свойств неидеаль­ных: сопротивление реальных амперметров отличается от нуля, а сопро­тивление реальных вольтметров может оказаться сравнимым с сопротив­лением резисторов, к которым их подключают. Иногда приходится учиты­вать свойства живых существ, и помнить, что многие их особенности объ­ясняются особенностями среды их обитания. Не следует забывать и о том, что человек тоже живое существо, и его органы восприятия информации тоже имеют особые свойства. Иногда приходится учитывать особые свой­ства планеты Земля, на которой мы живём, конечность её размеров, то, что сила тяжести с высотой уменьшается, что Земля – это большой почти ша­рообразный проводник, что большая часть земной атмосферы располага­ется недалеко от её поверхности и т.д. При этом учитывать следует толь- ко такие особенности, которые, по Вашему мнению, являются сущест- венными для ситуации, рассматриваемой в задаче. В противном случае существует опасность «заблудиться» во множестве частных особенностей. Рассмотрим примеры.
Задача 4.1. «Закон нечётных чисел 1» Тело начинает двигаться без на­чальной скорости с постоянным ускорением и за первые 3 с проходит путь 20 м. Какой путь пройдет тело за следующие 3 с?
Эту задачу можно решить, используя стандартный алгоритм реше­ния задач на кинематику, но решение становится значительно легче, если учесть особенности системы, а именно тот факт, что тело начинает рав­ноускоренное движение из состояния покоя. В этом случае удобно приме­нить, так называемый «закон нечётных чисел», согласно которому при
равноускоренном движении из состояния покоя пути, пройденные телом за последующие равные промежутки времени, пропорциональны ряду не­чётных чисел. Следовательно, решение может выглядеть так: За интервал
времени примем
, тогда, опираясь на «закон нечётных чисел», получа-
67
ем
3:1:21=ss
12
3ss =
м
s 60
2
=
)/(380
0
СкгДж
с ⋅=
Ct
0
2
1084=
кгДж /213000=
λ
mtt
cmQ
λ
+−=
)(
12
МДжДжQ
24,11239200 ≈=
кмd 12700=
кмD 1400000=
кмd 3500
1
=
кмL 150000000=
кмL 380000
1
=
3,27
1
=T
закона наиболее просто провести, если использовать рассматриваемый далее в этой главе ЭАП «Площадь под графиком»
, значит
и
. (Доказательство этого
Задача 4.2. «Плавление меди» Сколько энергии необходимо чтобы рас­плавить 2 кг меди, взятых при 14
Для ответа на вопрос задачи необходимо подобрать дополнитель­ные данные. Известно, что медь при обычных условиях плавится при бо- лее высокой температуре, чем указана в задаче, следовательно, её сначала придётся нагреть, а затем уже плавить. Воспользовавшись справочными
данными, находим, что удельная теплоёмкость меди
, температура плавления
теплота плавления димое для плавления меди находим по формуле, учитывающей необходи-
мость предварительного нагрева меди числовые данные, получаем
Не смотря на простоту этой задачи, иногда школьники забывают о необходимости предварительного нагрева тела до температуры плавления.
Иногда, при решении задачи приходится учитывать не только осо­бые свойства процессов и предметов, но и те свойства, которыми обладает система этих объектов.
Задача 4.3. «Первый ИСЗ» Первый искусственный спутник Земли представлял собой шар диаметром 580 мм (Его копию можно увидеть в
Калужском государственном музее истории космонавтики им. К.Э. Циол­ковского). Посчитайте, на каком расстоянии от земного наблюдателя
надо запустить этот спутник, чтобы с его помощью можно было бы хоть мгновение наблюдать полное солнечное затмение? Оцените (очень приблизительно), каков был бы период обращения этого спут­ника вокруг Земли? Справочные данные (округлённые): диаметр
Земли ны
, диаметр Солнца
, расстояние Земля-Солнце
0
С?
, удельная
. Количество теплоты, необхо-
. Подставив
.
, диаметр Лу-
, рас-
стояние Земля-Луна Луны вокруг Земли
средних солнечных суток.
Изобразим момент затмения Солнца спутником на рисунке. Видимый угловой размер спутника
, звёздный период обращения
68
должен быть таким, как и видимый угловой размер Солнца, поэтому рас-
D
d
L
=
D
dL⋅
=
м
км
м
км
62
1400000
58,0150000000
≈
⋅
≈
чкм25
1
=
υ
°= 150
α
°= 60
β
2
υ
10
Рис. 4.4.а.
Рис 4.4.б.
стояние от наблюдателя до спутника должно быть во столько раз меньше, чем от наблюдателя до Солнца, во сколько раз диаметр спутника меньше
диаметра Солнца
не должна превышать 62 м. (Заметьте, данные о Луне оказались лишними.) Вычислять период обращения спутника, запущенного на такой высоте не имеет смысла. На столь малой высоте слишком велико сопротивление ат­мосферы (учёт особенностей системы), поэтому спутник не сможет долго двигаться на такой высоте и уж тем более не сделает ни одного оборота! Ответ: Высота орбиты спутника не должна превышать 62 м, но на такой высоте спутник не сможет ни одного оборота.
УЧЕСТЬ СОГЛАСОВАННОСТЬ ИЗМЕНЕНИЙ
При отыскании взаимосвязи между рассматриваемыми в задаче яв­лениями и характеризующими их величинами, можно попытаться заметить согласованность изменений между некоторыми их них. Рассмотрим сле­дующий пример решения задачи на основе учёта согласованности измене­ний между величинами:
Задача 4.4. (3.16.) «Спортсмен и катер» Катер, движущийся со скоро­стью
(рис.4.4.а.). Трос, за который держится спортсмен, составляет с на­правлением движения катера угол
спортсмена образует с тросом угол спортсмена в этот момент времени?
Если считать, что трос нерастя­жим, то проекции скоростей связан­ных тел на прямую, проходящую вдоль троса, должны быть равны, иначе длина троса будет изме­няться (учёт согла-
сованности изме-
, буксирует спортсмена на водных лыжах
(см. рис. 4.3.). Откуда
. Следовательно, высота спутника
. Направление движения
. Чему равна скорость
.
69
нений). Следовательно,
,cos)180cos(
21
βυαυ
=−
,
cos
)180cos(
12
β
α
υυ
−
=
.325
2
чкм=
υ
c2=
τ
g
υ
tg
+=
0
υυ
t
0
υ
s
ts
2
0
υυ
+
=
( )
t
tgtg
t
tg
ts
222
2
2
0000
2
0
υυυυυ
υ
+
=
++
=
+
=+=
Рис. 4.5.а.
s
0
υ
υ
откуда
!!! Эвристико-алгоритмический приём «Равенство «продольных» проекций скоростей связанных тел». Если два тела связаны так, что
расстояние между ними остаётся постоянным, то проекции скоростей этих тел на соединяющую их линию равны в любой момент времени. Учёт этого факта позволяет получить дополнительное соотношение между кинематическими характеристиками связанных тел.
ИСПОЛЬЗОВАТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ
Иногда решение задачи оказывается более простым, если использу­ются наглядные образы физических величин: силовые линии, эквипотен­циальные поверхности, направленные отрезки как геометрические образы векторных величин.
Задача 4.5. «Полёт камня» Брошенный камень, описав дугу, упал на склон холма через время
бросания до места падения камня, если известно, что векторы скоро­стей камня в момент броска и в момент падения были взаимно пер­пендикулярны.
Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то можно считать, движение камня равноускоренным с
ускорением движении скорость
числить по формуле
. При равноускоренном
тела можно вы-
, где
. Определите расстояние от места
− время от начала движения, а
начальная скорость тела. Поскольку в условии имеются сведения о начальной
и конечной скоростях, то вектор перемещения
формуле
геометрическим образом векторных уравнений. Изобразим на рисунке в виде направленных отрезков векторы начальной и конечной скоростей камня, а также вектор его перемещения (см. рис. 4.5.а.). Модуль переме-
(её можно вывести из более известной формулы:
–
будем вычислять по
). Воспользуемся
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]