Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет стержней на прочность, жесткость и устойчивость. Учебное пособие
.pdf
ский параметр, на котором обобщенная сила
EJ
6
∂
Так, если
F – сосредоточенная сила, то
n
приложения силы по направлению силы, если
доточенный момент, то
δ будет углом поворота в точке приложения
n
F совершает работу.
n
δ – перемещение в точке
n
F – внешний сосре-
n
момента по направлению момента.
Пример. Консольная балка длиной l, нагружена силой F (рис.
4.1). Определить прогиб υ балки в точке приложения силы.
Как показано, потенциальная энергия деформации консольной
32
балки
U
ки в точке приложения силы
lF
= . Следовательно, по теореме Кастильяно прогиб бал-
3
Fl
U
∂
=υ .
=
EJ
F
∂
3
4.4. ИНТЕГРАЛ МОРА
Метод определения перемещений деформируемой конструкции
при помощи теоремы Кастильяно обладает тем недостатком, что дает
возможность определять перемещения только для точек приложения
внешних сил и только в направлении этих сил. На практике возникает
необходимость определять перемещения любых точек конструкции в
любом направлении.
В этом случае поступают следующим образом. Если необходимо
определить перемещение или угол поворота в точке конструкции, где
не приложено внешних сил, то следует приложить в этой точке фиктивную силу Ф (силу или момент, которых в действительности нет),
действующую в направлении для которого определяется перемещение. Далее следует составить выражение для потенциальной энергии
системы U с учетом Ф и дифференцируя U по Ф, получить выраже-
U
ние
, которое будет равно перемещению рассматриваемой точки
Ф
∂
по направлению приложенной силы Ф. Затем, в полученном выраже-
81
нии
∂
1=Ф
U
нужно положить Ф = 0, так как в действительности силы Ф
Ф
∂
нет . Таким образом находится искомое перемещение конструкции.
Определим перемещение точки О в направлении оси ох для рамы,
нагруженной произвольной системой внешних сил (рис. 4.3).
q
F
x
O
F
а)
б)
q
Ф
x
O
Рис. 4.3
Приложим в точке О по направлению ох силу Ф (рис.4.3.б). Внутренние силовые факторы в каждом поперечном сечении стержня при
этом изменяются на величины, зависящие от Ф. Используя принцип
независимости действия сил, возникающие в поперечных сечениях
изгибающие моменты и продольные силы можно записать в следующем виде:
+= MMM
F
где ,
M FN – моменты и усилия в сечениях рамы, обусловленные
F
действием внешних сил;
M , ΦN – дополнительные внутренние мо-
,
,
Φ
Φ
+= NNN
(4.23)
Φ
F
менты и силы, появляющиеся в результате приложения Ф. Очевидно,
что дополнительные силовые факторы
M , ΦN пропорциональны
Φ
силе Ф, следовательно, выражения (4.23) можно записать так:
,
MMM
Φ+=
F
где
M , 1N – некоторые переменные по длине стержня величины.
1
1
NNN
Φ+= , (4.24)
F
1
Если убрать систему внешних сил и заменить силу Ф единичной
силой (положить
но, ,
M 1N – внутренние силовые факторы, возникающие в попереч-
1
), то получим ,
MM =
1
NN = . Следователь-
1
ном сечении при действии единичной силы, приложенной в точке О.
82
Следует обратить внимание на то, что при записи выражений ,
Φ
++Φ
+
∂
2
2
N следует учитывать реакции опор от единичных сил.
1
M
1
С учетом соотношений (4.12), (4.17), формула для потенциальной
энергии деформации стержня, при действии изгибающего момента М
и продольной силы N имеет вид:
U
∫ ∫
l l
M
2
dl
EJ
2
N
+=
dl
.
EA
22
Подставляя сюда выражения (4.24), получаем
U
Дифференцируя
U
∂
Ф
Φ+
=
F
∫ ∫
l l
EJ
2
2
MM
)(
1
dl
U по Ф, получаем
=
∫ ∫
l l
EJ
MMM
dl
F
+
EA
2
FF
2
Φ+
NN
)(
1
dl
.
NNN
)()(
1111
dl
.
EA
Полагая в последнем выражении Ф = 0, в соответствии с теоремой
Кастильяно, находим перемещение δ точки О в направлении оси ох :
MM
+=δ
∫ ∫
l l
dl
EJ
FF
EA
NN
11
dl
. (4.25)
Интегралы в правой части выражения (4.25) называются интегралами Мора.
Для стержневых систем, элементы которых (стержни) испытывают
в основном деформацию изгиба, можно не учитывать действие продольных сил. Следовательно, можно пренебречь вторым слагаемым в
формуле (4.25) и интеграл Мора записать в виде:
MM
F
EJ
1
dl
. (4.26)
=δ
∫
l
Пример 1. Определить прогиб консольной балки в точке А
(рис. 4.4а).
Приложим в точке А единичную силу (Рис. 4.4б). Для вычисления
внутренних силовых факторов балку разбиваем на два участка
l
0
z ≤≤ и lz
83
l
≤≤
. В рассматриваемом случае продольные силы в
сечениях балки равны нулю ( 0
2
2
Рис.
4.4
F
== NN
), а изгибающие моменты
1
записываются следующим образом (см. рис. 4.4б):
,zFM
−= 01=M , при
F
0
z ≤≤ .
l
О
y
F
l
F
A
z
l
1
0,5l
A
,FzM
−=
1
при .
,
−⋅−=
zM
2
F
О
y
a)
l
lz
≤≤
1
A
z
l
0,5l
б)
Следовательно, в соответствии с формулой (4.26), прогиб балки в
точке А
=
F
EJ
l
2
(
0
zFz
EJ
MM
FF
EJ
l
−
)
2
dz
MM
0
EJ
dz
23
dl
l
+
l
2
l
Flzz
EJ
l
2
A
l
l
( )
⋅−
Fz
EJ
0
−= .
l
MM
F
11
dl
∫∫∫
l
2
F
EJ
1
=+==υ
dl
EJ
l
lz
2
z
(
∫∫∫
l
2
2
=
+−−=
16244343
)
dz
5
48
Plllll
=−=
EJ
33333
Пример 2. Определить прогиб балки в точке С (рис. 4.3а).
Приложим в точке С единичную силу (рис. 4.3б). Определим реак-
R , BR от действующей нагрузки q (рис. 4.3а) и AR
ции
A
,
BR1
от
1
приложенной единичной силы (рис. 4.3б). Для балки, показанной на
рис. 4.3а, уравнения равновесия в виде суммы моментов относительно
точек А и В записываются следующим образом:
84
05,0)( =+⋅−=
∑
∑
(
)
∑
()(
)
∑
∑
∑
∑
∑
Рис.
4.5
lRllqm
BiA
; 05,0)( =−⋅=
Из этих уравнений находим реакции
lqR
5,0= , lqR
A
y
A
R
A
0,5l
q
C
0,5l
B
B
R
B
lRllqm
AiB
5,0= . (4.27)
R
A
1A
z
1
y
1
C
z
2
B
.
R
1B
a)
Проверим правильность определения
R , BR . Используем уравне-
A
б)
ние статики в виде суммы моментов относительно точки С:
25,05,05,0
−⋅⋅+⋅−=
llqlRm
(4.28)
.05,025,05,0
( )
AiC
=⋅+⋅⋅−
lRllq
B
С учетом (4.27) последнее равенство приводится к виду
025,05,025,05,0 ≡⋅⋅+⋅⋅=
llqllqm
iС
Найденные реакции опор
R , BR удовлетворяют уравнению рав-
A
.
новесия (4.28), следственно, они определены правильно.
Аналогично, для балки, показанной на рис. 4.5б
05,01
=+⋅−=
lRlm
, 05,01
R .
A
Следовательно, 5,0
R , 5,01=
1=B
1
BiA
Для проверки правильности определения
1
AiB
,
AR1
=⋅+−=
llRm
.
используем
BR1
уравнение в виде суммы проекций сил на ось, перпендикулярную к
оси балки:
01
=−+−=
RRF .
11
BAyi
,
Подставляя в это уравнение выражения
F .
yi
AR1
, получим
BR1
05,015,0 ≡−+−=
Уравнение равновесия удовлетворяется, следовательно, реакции
опор определены правильно.
85
В рассматриваемых случаях продольные силы равны нулю
EJ
EJqlEJ
3845384
384
( 0
F
== NN
), поэтому с учетом выражения (4.26), прогиб балки в
1
точке С определяется по формуле
C
11
+==υ
∫∫∫
EJ
F
B
. (4.29)
dzMM
11
EJ
C
dzMM
F
A
MM
F
1
c
l
dl
EJ
Запишем выражения для моментов МF, М1 на участках АС, ВС и
вычислим интегралы, входящие в формулу (4.29).
Участок АС, lz 5,00
AF
C
∫ ∫
A
25,0
F
2
11
ql
≤≤ .
1
3
z
1
3
0
−=−= ,
l
5,0
( )
0
5,0
25,0
q
11
2
−=
111
5,0
l l
4
z
1
4
=−=
0
5,05,0
5,0
dzzzqzqldlMM
5
384
11
ql
A
=
4
=⋅= .
.
2
5,05,02/ zqzqlzqzRM
Участок ВС, lz 5,00
BF
C
∫ ∫
F
B
2
2
22
5,0
0
≤≤ .
l
( )
2
)(5,02/
zqzqlqzzRM
−=−= ,
22
2
221
5,0 zzRM
== .
B
5
4
=−=
5,05,05,0
22
384
.
qldzzzqzqldlMM
Подставляя полученные выражения для интегралов в формулу
(4.29), определяем прогиб балки в точке С:
4
1
c
5
5,0
1
5
44
5,0
ql
=⋅+⋅=υ .
ql
5,0 zzRM
1111
2211
4.5. МЕТОД СИЛ
4.5.1. Статически неопределимые cтержневые системы. Под стерж-
невой системой понимается конструкция, элементами которой являются стержни.
Если элементы конструкции испытывают в основном деформацию
растяжения или сжатия, то стержневая система называется фермой.
86
Если элементы конструкции испытывают в основном деформацию
изгиба или кручения, то система называется рамой.
Наиболее простую группу стержневых систем составляют плоские системы, у которых составляющие элементы расположены в
одной плоскости. В этой же плоскости находится одна из главных
осей поперечного сечения стержня, расположены реакции опор и действуют внешние силы. В дальнейшем рассмотрим плоские системы.
Рамы и фермы принято разделять на статически определимые и
статически неопределимые.
Статически определимой называется система, для которой все
реакции опор могут быть определены при помощи уравнений равновесия, а затем, при найденных опорных реакциях, методом сечений
могут быть найдены внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении.
Статически неопределимой называется такая стержневая систе-
ма, для которой реакции опор, либо внутренние силовые факторы, не
могут быть найдены с использованием только уравнений равновесия и
метода сечений. Многие из встречающихся на практике конструкций
относятся к статически неопределимым стержневым системам.
Разность между числом неизвестных, в которые включаются реакции опор, а также внутренние силовые факторы, неопределяемые методом сечений, и числом уравнений статики для системы, называется
степенью или числом статической неопределимости. Иногда говорят, что степень статической неопределимости равна числу до-
полнительных связей, наложенных на систему. Остановимся на этом
вопросе подробнее.
Положение жесткого тела в плоскости определяется тремя степенями свободы. Следовательно, для плоской стержневой системы
можно записать три уравнения равновесия (уравнений статики). На
тело могут быть наложены связи, т.е. ограничения, обусловливающие
его положение в пространстве. Наложение одной связи снимает одну
степень свободы тела как жесткого целого. Если на свободное жесткое тело наложить в плоскости три связи, то его положение в плоскости как жесткого целого будет, за некоторыми исключениями, определено полностью. При этом система из механизма, обладающего
87
тремя степенями свободы, превращается в кинематически неизменяе-
Рис.
4.6
Рис. 4.7
мую систему. То число связей, при котором достигается кинематическая неизменяемость, называется необходимым числом связей. Всякую связь, наложенную сверх необходимых, называют дополнитель-
ной. Число дополнительных связей равно степени статической неопределимости системы.
Связи в стержневых системах делятся на связи внешние и связи
внутренние или взаимные. Под внешними связями понимаются
связи, накладываемые на абсолютные перемещения некоторых точек
системы. На рис.4.6 показаны случаи, когда на левый конец стержня
наложены одна, две и три внешние связи, ограничивающие, соответственно, перемещения стержня как жесткого целого в вертикальном
(рис. 4.6а), вертикальном и горизонтальном (рис. 4.6б) направлениях,
а также перемещения в двух направлениях и угол поворота (рис. 4.6в).
a)
б)
в)
Как отмечалось, внешние связи делятся на необходимые и дополнительные. Например, на рис. 4.7 показаны плоские рамы, имеющие
три (рис.4.7а) и пять (рис. 4.7б) внешних связей.
a)
б)
Для того чтобы определить положение стержневой системы в
плоскости как жесткого целого, необходимо наложение трех связей.
Следовательно, представленная на рис. 4.7а рама имеет только необ-
ходимые внешние связи, а рама на рис. 4.7б – три необходимые и две
дополнительные внешние связи.
88
Под внутренними, или взаимными, связями понимаются ограни-
Рис. 4.8
Рис.
4.9
чения, накладываемые на взаимные смещения элементов стержневой
системы. Так, например, на плоскую раму, показанную на рис. 4.8а,
наложены три необходимые внешние связи. Это – кинематически
неизменяемая, статически определимая система. Если будут заданы
внешние силы, то при помощи уравнений статики можно найти как
a)
A
B B
б)
A
реакции опор, так и внутренние силы и моменты в любом поперечном
сечении рамы. В раме, показанной на рис.4.8б кроме внешних, наложены две дополнительные внутренние связи, связывающие вертикальные и горизонтальные смещения точек А и В. Система в данном
случае дважды статически неопределима. В раме на рис. 4.7а также
имеются внутренние дополнительные связи. Разрезая замкнутый контур рамы в любом месте (рис. 4.9), не нарушая при этом кинематической неизменяемости, получаем
статически определимую систему.
A B
Разрез рамы позволяет точкам сечения А и В (рис. 4.9) поворачиваться
и перемещаться в двух направлениях относительно друг друга. Следовательно, разрез снимает три дополнительные связи.
Обобщая этот результат, можно сказать, что замкнутый плоский
контур имеет три дополнительные внутренние связи, т. е. трижды
статически неопределим. Рама, показанная на рис. 4.7а, имеет замкнутый контур и поэтому трижды статически неопределима. Рама на рис.
4.7б пять раз статически неопределима (имеются три внутренние свя-
89
зи и две внешние). На рис. 4.10 представлены статически неопределимые рамы. Рама на рис. 4.10а имеет четыре дополнительные внешние
связи и три внутренние связи, т.е. семь раз статически неопределима.
Рама на рис. 4.10б два раза статически неопределима (в точке А –
шарнир, следовательно наложено две дополнительные связи).
A
)
a
A
б)
в)
г)
Рис. 4.10
Для определения степени статической неопределимости рамы,
имеющей шарнир в точке пересечения стержней А (Рис. 4.10в), поступают следующим образом. Полагают вначале, что в точке шарнир А
отсутствует и определяют степень статической неопределимости. В
системе, показанной на рис. 4.10в, имеются две внешние и три внутренние связи, т.е. система без шарнира в точке А пять раз статически
неопределима. Шарнир в точке А принадлежит одновременно трем
стержням. Его можно рассматривать как два совпавших шарнира
(Рис. 4.11). Так как каждый шарнир снимает одну связь, т.е. в месте
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]