Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет стержней на прочность, жесткость и устойчивость. Учебное пособие
.pdf
Ширина двутавра изменяется по высоте сечения, поэтому для по-
(
)
(
)
2
J
2
±=σ
2
2
J
h
строения эпюры τ рассмотрим два участка – полку
h
0
Для полки
Для стенки
Учитывая, что статический момент отсеченной части
1
двутавра.
≤≤
y
2
hyb
2
h
y
h
b
2
*
x
2
=
∫
∫
h
b
1
2
2
1
,
≥
2
h
1
≤≤
0
y
2
h
1
2
+
∫
y
−−
byb = ,
,
dyb = ,
d
2
ydydxydydxS .
∫
d
2
2
*
=
ydydxS .
∫
∫
x
b
−
2
2
2
1
−=
+
1
≥
y
2
2
hb
42
2
hdhhb
1
−
42442
*
S является
x
и стенку
2
−=
y
2
y
функцией симметричной относительно оси Оу, получаем следующие
результаты.
Для полки двутавра
При
h
y ±= , τ = 0; 5,135
y > ,
2
h
h
1
Q
42
J
y
МПа.
2
−=τ
y
, y
M
=σ .
h
При
y ±= , τ = – 16 МПа.
Для стенки двутавра
M
=σ .
1
h
1
y < ,
2
2
Q
=τ
J
−
y
1
2
h
bhh
1
442
d
2
−+
y
,
y
51
2
h
=
σ
=
=
σ
2
σ
=
σ
τ
[
]
При
y ±= , τ = – 30,92 МПа; 3,125
При 0
1
y , τ = – 41,44 МПа, 0
Эпюры σ и τ приведены на рис. 2.4.
МПа.
.
y
t
σ, МПа
135.5
τ, МПа
125.3
x
h
h
1
d
41.44
30.92
b
Рис. 2.4
Проверку выполнения условия теории прочности проведем для
h
1
точки с координатой
y = , так как в этой точке
ны по величине 3,125
МПа,
= – 30,92 МПа.
и τ значитель-
Воспользовавшись соотношениями третьей теории прочности
(5), находим
2222
Условие третьей теории прочности выполняется.
5. Запись универсального уравнения упругой линии балки и
уравнения для углов поворота балки.
в виде (2.12).
Дифференциальное уравнение изгиба балки (2.6) с учетом выражения для изгибающего момента (2.12) имеет вид:
2
)(
−
lz
1
+
q
2
CB
2
.)()2/()(
−−+−−+−+
llzRllzFlzR
21211
+++
EJ
d
dx
2
υ
2
2
z
−=
q
q
1
1
2
2
)(
−
lz
1
−
q
2
2
Интегрируя уравнение (2.14), находим соотношение для углов поворота и прогибов балки:
σ<=⋅+=τ+σ МПа7,13992,3043,1254
.
2
)(
−−
llz
21
+++
+
2
(2.14)
52
2)(2
EJ
6)(6
24
48624
+
+
υ
d
dz
q
0
−−
llz
21
6
−−
llz
F
21
3
z
−+θ=
qEJ
3
)(
+
)2/(
q
1
2
1
3
−
R
B2
2
+
R
C
3
)(
−
lz
1
−
q
6
2
)(
lz
1
++
+
−−
2
2
llz
21
++
.
3
)(
−
lz
1
++
+
6
(2.15)
4
)(
−
lz
1
+
−
24
3
)(
−
lz
1
+++
+
B2
6
3
llz
21
++
.
(2.16)
−
q
+
F
Постоянные
4
z
−+θ+υ=υ
qzEJEJEJ
4
)(
−
lz
1
+
2
24
υEJ , 0θEJ определяются из граничных условий. В
q
24
3
)2/(
−−
llz
21
0
+
R
C
q
12
1
4
)(
llz
21
+
R
100
−−
−−
данном случае балка шарнирно оперта в точках В и С, поэтому граничные условия записываются для шарнирных опор при
llz += :
21
0)(
=υ l , 0)(
1
=+υ ll . (2.17)
21
lz = и
1
Подставляя выражение для прогиба (2.16) в условия (2.17), полу-
чим систему уравнений
4
l
1
0
=+θ+υ
qlEJEJ ,
1100
4
)(
+
ll
)(
++θ+υ
qllEJEJ
12100
4
l
2
q
2
3
l
2
R
B
3
l
2
=++−
F
21
.0
4
l
2
−−
q
1
2424
(2.18)
Обратим внимание на то, что в первое уравнение системы (2.18) не
входят слагаемые, содержащие q
, RB, F, RC. Это обусловлено тем, что
2
в соотношении (2.16) используются обобщенные функции вида (2.7),
которые будут равны нулю, если значение выражения в скобках
53
меньше или равно нулю. Поэтому при
υ
dx
1
=
z
=
υ
м
12
мкН24
мкН24
мкН24
6
6
6
м
12
υ
υ
θ
lz = обращаются в нуль мно-
1
жители в слагаемых содержащих q2, RB, F, RC.
Подставляя в (2.18) значение параметров, находим
2 θ+υ EJEJ
00
6 θ+υ EJEJ
00
3
мкН33,3м ⋅−= ,
3
мкН1100м ⋅−= . (2.19)
Решение системы уравнений (2.19) –
υEJ
0
3
мкН533 ⋅= , 0θEJ
2
мкН283 ⋅−= .
Для построения эпюр прогибов и углов поворота вычисляем значе-
ния
JЕ и θ=υJЕ
d
EJ в различных точках балки. Отметим, что при
вычислениях следует обратить внимание на то, что в соотношениях
2.16), (2.15) используются не обычные, а обобщенные функции вида
(
(2.7).
Так, например, при
EJ −⋅⋅+⋅⋅−⋅
м
кН
1
50мкН1283мкН533
433
м
4
−
)1(
⋅−
50
3
−
)1(
⋅−
70
4
30м
3
30мкН
4
−
)1(
⋅−⋅
3
−
)3(
⋅+⋅
50мкН1283мкН533
4
30м
3
60мкН
кН
1
4
−
)5(
+++
⋅+⋅
3
−
)5(
+++
⋅+⋅
4
м
3
мкН
3433
⋅=⋅⋅+⋅⋅−⋅
−⋅
=⋅
.мкН252м
Полученные числовые результаты представлены в табл. 2.1. С ис-
пользованием этих данных построены графики изменения по длине
балки величин
JЕ , θJЕ (рис. 2.5).
Т а б л и ц а 2.1
z, м 0 1 2 3 4 5 6 7 8
EJ ,
кН·м3
JЕ ,
кН·м2
533 252 0 -162 -212 -16 0 159 382
-283 -275 -217 -106 37 99 164 203 244
54
6. Расчет балки на жесткость. При определении наиболь-
υ
300
EJ
мкН⋅
[
]
150
EJ
=
⋅3м
кН
[
]
ших значений прогибов в пролете и на консолях балки используем график для
В пролете балки ВС
JЕ .
[ ]
l
2
3,1
≈=υ
см.
Учитывая, что на этом участке 212=υ
получаем
212
=υ
max
=
Условие жесткости выполняется,
На консоли АВ
3
=
смН10212
⋅⋅
[ ]
Как видно из рис. 2.5, на консоли АВ 533=υ
вательно
533
=υ
max
=
Условие жесткости не выполняется
рить условию жесткости балки необходимо увеличить номер двутав-
ра. Берем двутавр № 45, для которого J = 27450 см3,
=υ
max
Условие жесткости выполняется.
⋅⋅
⋅⋅
мкН533
⋅
⋅⋅
JЕ
max
⋅⋅
см10Н10212
⋅⋅
39
4225
⋅⋅⋅
l
1
смН10533
3
см13380см/Н10МПа102
υ<υ
см.
JЕ
max
.
max
>=
υ>υ
. Чтобы удовлетво-
<=
max
3,1
≈=υ
39
427
см13380см/Н102
35
см27450МПа102
3
мкН ⋅ (рис. 2.5),
363
=
45
см13380МПа102
<=
3
мкН ⋅ , следо-
.см3,1см2
.см3,1см97,0
.см3,1см82,0
55
150
y
A
533
EJυ,
3
кНм
EJθ,
2
кНм
283
На консоли СD
l
[ ]
M
q
2
B
q
1
F
212
Рис. 2.5
3
3,1
≈=υ
см, 382=υ
C
JЕ
max
0
D
382
244
3
мкН ⋅ ,
z
3
мкН382
⋅
35
⋅⋅
см27450МПа102
<=
.см3,1см7,0
max
=υ
Условие жесткости выполняется.
Таким образом, в рассмотренном случае условиям прочности и жесткости удовлетворяет двутавр № 45.
56
2.3. ЗАДАНИЕ К РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЕ
[
]
[
]
«РАСЧЕТ БАЛКИ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ»
Балка с поперечным сечением в виде двутавра находится под дей-
ствием заданных внешних сил. Требуется выполнить расчеты на
прочность и жесткость.
Исходные данные представлены в табл. 2.2, расчетные схемы – на
рис. 2.6.
Исходные данные и расчетные схемы выбираются в соответствии с
шифром и вариантом задания.
Требуется сделать следующие расчеты:
1) Из условия прочности по максимальным нормальным напряже-
ниям подобрать размеры поперечного сечения балки. Проверить выполнение условия прочности по максимальным касательным напряжениям и условия третьей теории прочности.
2) Записать универсальное уравнение упругой линии балки и уравнение для углов поворота балки. Построить эпюры погибов и углов
поворота.
3) Произвести расчет на жесткость по максимальным прогибам в
полете и на консольной части балки.
Допускаемые значения прогиба балки в пролете
консоли
150/
l=υ , где
к
l ,
l – соответственно, длина пролета и
пр
к
300/
l=υ , на
пр
консольной части балки.
Т а б л и ц а 2.2
№
вар-та
1 9 12 15 1,1
2 33 3 30 1,2
3 18 42 27 1,3
4 24 36 45 1,4
5 6 21 39 1,5
6 8 10 20 1,6
7 2 16 28 1,7
8 22 36 12 1,8
9 4 30 24 1,9
10 38 26 44 2
F,
кН
q,
кН/м
M0,
кН·м
а,
м
57
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
q
2
F
М
F
q
М
3
5
7
а
q
а
а
а
а
а
а
4
F
М
М
q
1
F
а
а
а
а
а
6
М
а
q
а
а
а
q
F
а
а
M
М
8
0
F
а
а
а
F
q
а
q
а
М
а
9
F
q
а
а
М
а
10
F
М
а
q
а
а
Рис. 2.6
58
0
0
0
0
0
0
0
0
11
М
q
12
q
М
13
15
17
F
а
а
а
F
а
а
а
14
q
F
M
0
М
q
F
а
а
а
а
а
а
16
q
F
М
q
q
F
а
а
М
а
q
18
а
q
а
М
а
q
19
а
q
а
М
а
а
а
F а
F
20
а
F
а
а
М
q
а
а
а
Рис. 2.6 (продолжение)
59
0
0
0
0
0
0
0
0
0
21
F
q
М
22
q
F
23
25
27
М
F
F
а
а
а
а
а
q
а
24
q
М
а
а
q
а
а
F а
q
а
26
q
М
q
М
q
а
а
а
а
а
а
28
М
q
а
а
а
F
q
а
а
М
а
29
М
q
30
F
М
q
а
F а
а
а
Рис. 2.6 (продолжение)
60
а
а
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]