Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет стержней на прочность, жесткость и устойчивость. Учебное пособие
.pdf
сжатии прямолинейный стержень может изогнуться (рис. 5.1а). При
а
)
б
)
плоском изгибе направление прогиба балки может существенно отклониться от плоскости действия нагрузки (рис. 5.1б).
В рассмотренных случаях стержень при деформировании переходит в новое положение равновесия, которое существенно отличается
от исходного. Такое явление перехода от одного равновесного состояния к другому называется потерей устойчивости.
Многие механические системы могут находиться в устойчивом и
неустойчивом состояниях. Состояние системы называется устойчи-
вым, если малые возмущающие силы не приводят к существенному
изменению ее исходного положения. Состояние системы будет неус-
тойчивым, если малые возмущения приводят к существенному изменению ее исходного положения.
На рис. 5.1 представлены простейшие устойчивая и неустойчивая
системы. Если шар, показанный на рис. 5.1,а незначительно отклонить, то покачавшись, через некоторое время он вернется в исходное
положение – система устойчивая. Шар же, показанный на рис. 5.1,б,
незначительно отклоненный от исходного положения, перекатится в
новое положение, значительно отличающееся от начального – система
неустойчивая.
Рис. 5.2
Явление потери устойчивости сжатого стержня связано с величиной сжимающей силы F.
некоторой величины Fкр, то стержень сохранит свое прямолинейное
положение, если
гнется. Сила Fкр при которой сжатый стержень теряет устойчивость
называется критической силой.
Величина критическая сила определяется по формуле Эйлера
Если сила F, сжимающая стержень, меньше
FF ≥ , то стержень потеряет устойчивость – изо-
кр
121
2
к
EJ
π
F
= , (5.1)
кр
x
2
)( l
µ
Здесь µ – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня, l – длина,
J – осевой момент инерции
x
поперечного сечения стержня, E – модуль упругости.
Значения коэффициента µ для различных случаев закрепления
стержня представлены на рис. 5.3.
F
µ=1
F
µ=2
кр
F
µ=0,5
кр
F
кр
µ=0,7
F
кр
µ=0,5
Рис. 5.3
При выводе формулы Эйлера предполагалось, что потеря устойчивости стержня происходит в плоскости, проходящей через одну из
главных осей поперечного сечения Оу. Поэтому в формулу (5.1) входит величина J
. Потеря устойчивости стержня может произойти и в
x
плоскости перпендикулярной к плоскости Оyz. В этом случае в формулу (5.1) вместо Jx должна входить величина Jу. В общем случае потеря устойчивости стержня происходит в плоскости наименьшей жесткости, следовательно, наименьшая критическая сила будет определена по формуле
122
2
A
µ
λ
JE
π
F
= . (5.2)
кр
( )
l
µ
min
2
Формула Эйлера может быть использована, если возникающие в
материале стержня напряжения σкр не превышают предела пропор-
циональности
Учитывая, что
l
λ=
i
min
получим
σ≤σ .
Пкр
кр
F
кр
A
2
EJ
π
==σ и обозначая
кр
2
)(µ
2
π=σE
2
min
Al
.
J
min
2
i
= ,
min
Величина
i называется радиусом инерции сечения, λ – гибко-
min
стью стержня.
Условие, что критические напряжения не должны превышать предела пропорциональности можно записать в виде
2
E
π
=σ
σ≤
.
Пкр
2
λ
Следовательно, для того, чтобы выполнялось это условие, значение
гибкости должно быть больше или равно предельного значения
2
Е
λ≥λ , где
Как видно из формулы,
пред
λ зависит только от свойств материала
пред
пред
π
=λ
.
σ
П
стержня. Для некоторых материалов ее величина представлена в табл.
5.1.
Таблица 5.1
Материал λ
пред
a, МПа b, МПа
Ст.2, Ст.3 100 310 1,14
Сталь 45 100 464 3,26
Чугун 80 776 12
Дерево 110 29,3 0,194
123
Если гибкость стержня меньше предельной гибкости, то формула
λ
λ
λ
λ−=
σ
σ=σ
Эйлера дает большую погрешность и не может быть использована.
Для стержней, гибкость которых
сти напряжения превышают предел пропорциональности
λ<λ при потере устойчиво-
пред
σ . Расчет
П
на устойчивость в этом случае выполняется с помощью формулы
Ясинского, в соответствии с которой критические напряжения, возникающие в стержне равны
λ−=σ ba
кр
.
Здесь а и b – постоянные, экспериментально определяемые для каждого материала (табл. 5.1).
Для коротких стержней, гибкость которых меньше некоторого зна-
∗
чения
λ (для металлических стержней 5040 ÷=λ
вости не происходит. Поэтому при
∗
*
λ<λ расчет на устойчивость не
), потеря устойчи-
выполняют, проводят только расчет на прочность.
График зависимости величины
σ
кр
σ
ОП
σ
П
OПкр
кр
σ от
кр
ba
кр
представлен на рис. 5.4.
2
π=σE
2
∗
λ
λ
пред
Рис. 5.4
Как видно из рисунка потеря устойчивости стержней происходит
при напряжениях меньших или равных опасному напряжению
σ ,
ОП
при котором происходит разрушение. Исходя из этого, допускаемые
124
напряжения ][
[
]
[
]
≤ϕ<
[
]
шими или равными, чем
σ при расчете на устойчивость должны быть мень-
кр
σ при расчете на прочность.
Следовательно
каемых напряжений 10
сжатии.
Величина коэффициента снижения допускаемых напряжений ϕ
зависит от материала и гибкости стержня. Эта зависимость обычно
задается в виде таблицы (табл. 5.2).
Гибкость
λ
0 1,00 1,00 1,00 1,00
10 0,99 0,97 0,97 0,99
20 0,96 0,95 0,91 0,97
30 0,94 0,91 0,81 0,93
40 0,92 0,87 0,69 0,87
50 0,89 0,83 0,57 0,80
60 0,86 0,79 0,44 0,71
70 0,81 0,72 0,34 0,60
80 0,75 0,65 0,26 0,48
90 0,69 0,55 0,20 0,38
100 0,60 0,43 0,16 0,31
110 0,52 0,35 - 0,25
120 0,45 0,30 - 0,22
130 0,40 0,26 - 0,18
140 0,36 0,23 - 0,16
150 0,32 0,21 - 0,14
160 0,29 0,19 - 0,12
170 0,26 0,17 - 0,11
180 0,23 0,15 - 0,10
190 0,21 0,14 - 0,09
200 0,19 0,13 - 0,08
Коэффициент снижения допускаемых напряжений φ
Ст.2, Ст.3 Сталь 45 Чугун Дерево
кр
σϕ=σ ][
, где φ – коэффициент снижения допус-
,
σ – допускаемое напряжение при
Таблица 5.2
125
При использовании φ расчет на устойчивость выполняется анало-
A
µ
ϕ−ϕ
>ϕ∆
(
)
=
=
=
σ
l
C
С
B A D
гично расчету на прочность при заданных допускаемых напряжениях.
Применяется формула
F
[ ]
σϕ≤=σ
. (5.3)
Так как зависимость ϕ от λ задается в неявном виде (в виде таблицы), то вычисления производятся методом последовательных при-
ближений по следующей схеме:
1. Задается значение 5,0
площадь поперечного сечения стержня
=ϕ=ϕ и из условия (5.3) определяется
1
F
=
А .
[ ]
σϕ
1
2. По найденной величине А вычисляются размеры сечения, его
l
геометрические характеристики и подсчитывается
=λ .
i
min
3. Из таблицы 5.1, по найденному значению λ находится новое зна-
'
чение '
ϕ=ϕ и вычисляется величина %100
1
4. Если получается, что %5
го значения
2/'
ϕ+ϕ=ϕ=ϕ .
112
=ϕ∆ .
, то расчеты повторяют для ново-
11
'
ϕ
1
5.2. ПРИМЕР РАСЧЕТА
Определим размеры поперечных сечений
q
балки и стойки для стержневой системы,
показанной на рис. 5.5. Используем сле-
3l
Рис. 5.5
l
дующие исходные данные: 1
стойки 2,1=
l м, 30
C
5
102 ⋅=E МПа, 160][
q кН/м, 9,0=
l м, длина
МПа.
c ,
d
Поперечные размеры балки в виде стандартного двутавра находим из условия
прочности, а размеры стойки – из условия устойчивости.
126
Данная система является один раз статически неопределимой, т.к.
1
~
=
X
1
~
=
X
~
l
C
X C
B A X
D
на нее наложено пять внешних связей (три – в заделке и две – в шарнирной опоре) и имеется шарнир в точке B, который устраняет одну
связь (повороты горизонтального и
вертикального стержней в точке B не-
q
зависимы). Следовательно, получается,
что на систему наложены четыре связи.
Три связи являются необходимыми,
a)
б)
3l
l
одна связь дополнительной. Разбиваем
балочно-стержневую систему на две
части – балку и стойку (рис. 5.6). Действие этих частей друг на друга заменяем неизвестной силой Х. Приведен-
Рис. 5.6
ная на рис. 5.6 система является эквивалентной исходной (рис. 5.5).
Каноническое уравнение метода сил получается из условия, что
прогиб балки в точке В равен величине уменьшения длины стойки:
lX ∆=δ+δ
, (5.4)
111
где
δ – прогиб в сечении В от действия единичной силы
11
приложенной вместо X,
них нагрузок,
l∆ – величина сжатия стойки. Указанные величины
C
δ – прогиб в сечении В от действия внеш-
F1
CF
определяются с помощью интегралов Мора.
B
MM
11
dl
EJ
B
∫
EJ
A
,
MM
1
(5.5)
F
dl
.
Здесь
5.7а),
=δ
∫
11
A
=δ
F
1
M – изгибающий момент от действия внешних нагрузок (рис.
F
M – изгибающий момент от действия единичной силы
1
(рис. 5.7б). Выражения для этих моментов записываются по участкам.
Участок ВС. lz ≤≤
0 .
1
zzXM == , 0=
M .
111
F
,
127
~
2
X
С
B A
a)
1
~
=
X
q
z
z
3l
y
1
2
l
б)
в)
г)
д)
Q,
кН
М,
кН·м
69,4
27,7
52,6
z
z
z
1
2
z
1
2
20,6
20,6
Рис. 5.7
Участок СА. lz 30
≤≤ .
2
( )
zlzlXM +=+= ,
221
F
z
qzM
−= .
2
Подставляя моменты в интегралы (5.5), имеем
l l
∫ ∫
EJ
0
l
3
1
EJ
∫
0
F
1
3
( )
0
2
z
2
( )
q
−=δ
1
2
2
dzzldzz
++=δ
2
212111
dzz
=+
22
=
117
8
641
3
EJ
l
EJ
ql
Величина сжатия стойки определяется по формуле:
Xl
l −=∆ , (5.7)
C
A – площадь поперечного сечения стойки.
где
C
EA
C
C
Подставляя формулы (5.6), (5.7) в (5.4) получаем
2
3
,
4
. (5.6)
128
43
−
>
∆
64
+ . (5.8)
EJ
3
EA
C
X
C
l
l
=
117
8
ql
EJ
В коэффициенты уравнения (5.8) входят неизвестные величины:
площадь поперечного сечения стойки
ного сечения балки J . Причем,
A и момент инерции попереч-
C
A следует определять из условия
C
устойчивости стойки, момент инерции J – из условия прочности балки.
Для решения задачи используем метод последовательных приближений. При этом изгиб балки и устойчивость стойки будут рассматриваться раздельно. Используется следующая схема:
l
C
0=
1. Полагается
лютно жесткой, 0=∆
EA
l ) и из уравнения (5.8) находится
C
(т.е. считается, что стойка является абсо-
C
XX = .
1
2. Для полученного значения Х из условия прочности балки опре-
деляется номер двутавра и соответствующий этому номеру момент
инерции J.
3. Из условия устойчивости определяются размеры поперечного
сечения стойки и вычисляется площадь
4. Подставляя найденные значения J и
деляется уточненное значение силы
5. Вычисляется процент расхождения
'
=∆
X .
X
Если %1
X , то полагается '
A .
C
A в уравнение (5.8), опре-
C
'
XX = .
1
X и '1X :
1
XX
11
%100
⋅
1
XX = , и расчеты повторяются,
1
начиная с пункта 3.
Далее представлены вычисления по описанной схеме для рассмат-
риваемого примера.
1. В первом приближении, полагая 0=
l , из формулы (5.8) опре-
C
деляем значение силы Х:
129
512
351
−=−
=
=
(
)
(
)
(
)
2
(
)
(
)
(
)
(
)
W
м/Н10160
⋅
=
=
XX кН.
1
ql
6,20
===
2. Подбор сечений балки. Для эквивалентной системы (рис. 5.7в)
определяются поперечная сила и изгибающий момент.
Участок ВС. lz ≤≤
XQ кН,
Участок СА. lz 30
( )
Определяется координата
максимален:
X
*
z м, MM =
2
67,0
==
q
0 .
6,20
≤≤ .
2
XqzQ −=
,
2
2
qz
zlXM −+= ,
2
2
*
MxM = . Из условия 0
2
max
1
zXzM == , 0)0(
M ,
11
6,200 −=Q кН,
6,200 −=M кН·м,
*
x , для которой на этом участке момент
2
max
4,693 =lQ кН,
*
=−= XqzQ находим
2
6,523 =lM кН·м.
мкН7,27м67,0 ⋅= .
6,20=lM кН·м.
Эпюры Q и М представлены на рис. 5.7 г,д. Как видно из графика
М, в опасном сечении балки 6,52
−=M кН·м. Из условия прочно-
max
сти на изгиб определяем момент сопротивления поперечного сечения
балки:
M
max
max
][
σ≤=σ
,
следовательно
3
мН106,52
W
M
max
≥
=
σ
][
⋅⋅
26
−
=⋅=
334
см329м1029,3
.
Из таблицы сортамента выбирается двутавр № 27, у которого
371
W см
3
, 5010
J см
4
.
3. Подбор сечений стойки. Стойка ВD (рис. 5.5) сжимается и может
потерять устойчивость. Для определения ее поперечных размеров
произведем расчет на устойчивость методом последовательных приближений.
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]