Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет стержней на прочность, жесткость и устойчивость. Учебное пособие
.pdf
Участок III, 10
(
)
M
=
+
2
2
+
∑
≤≤ z м.
3
−=−+= MllmT кН·м
121
2
Эпюра T представлена на рис. 1.5. Как видно, на участке действия
равномерно распределенного момента величина T изменяется по ли-
нейному закону, а в точке приложения сосредоточенного момента
происходит скачок в эпюре, равный по величине значению
M .
M
1
1
1.4. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛ ДЛЯ БАЛКИ
Изгибом называется такой вид нагружения стержня, при котором
происходит изменение кривизны его продольной оси. Стержень при
изгибе называется балкой. Рассмотрим плоский изгиб балки, при котором внешние силы и реакции опор действуют в одной плоскости и в
поперечных сечениях возникают поперечная сила Q и изгибающий
момент
.
Построим эпюры Q и M для балки, представленной на рис. 1.6,
для 2
=l м, 42=l м, 2
1
4
=M кН·м, 3
0
F кН.
=l м, 5
3
=q кН/м, 32=q кН/м,
1
При заданных закреплениях в опорах В и С балки возникают силы
реакции
R ,
R , CH (рис. 1.6).
B
C
Определим реакции из уравнений равновесия балки, записанных
для моментов относительно точек В и С и для горизонтальных сил:
∑
∑
l
1
( ) ( )
+−−= 0
lqm
11
l
1
lqm
11
llq
++−=
322
ll
32
( ) ( )
BiC
=+− MFl .
03
== 0
HF .
Ciz
CiB
0
=++++
MllRFl
+++−
llqllRll
3223232
22
.
0322
ll
32
−
Из этих уравнений получаем
11
(
)
2
()(
)
∑
=−=−−⋅++⋅
−
A
I
х
F
C
B
B
C
3
A
′′′′
11
=
R
C
=
R
B
322
( )
2
( )
2
+
H .
C
2
+
ll
32
ll
32
22
−−++
MFlllqlq
02
6
=
кН.
2
32232111
2222
+−++++−
MFlllqllllq
03
−=
0=
Для проверки правильности определения реакций
R и
B
вим уравнение равновесия в виде проекций всех сил на ось Y:
=−−+−−= 0
2211 CB
RFlqRlqY .
7
кН.
R соста-
C
R
q
2
R
H
q
1
z
1
l
1
В'
z
2
l
2
II
z
3
l
3
l
4
III IV
10
Q,
кН
10
3
11,5
10
6
М,
кН·м
Рис. 1.6
Подставляя числовые значения параметров, находим
019196343725
M
0
C
D
z
4
4
.
12
Уравнение равновесия удовлетворяется, следовательно, реакции
A
A
′′′′
M
A
A
′′′′
∑
2
∑
A
A
′′′′
2
A
M
z
A
′′′′
A
′′′′
M
z
2
Рис.
1.7
R и
R определены правильно.
B
C
В рассматриваемом случае при построении эпюр балка разделяется
на четыре участка (рис. 1.6).
Участок I, 20
Проводя сечение на расстоянии
часть балки
≤≤ z м.
1
z , от левого конца балки отсекаем
1
(рис. 1.6; 1.7а). Воздействие отсеченной части
стержня на оставшуюся, заменяем поперечной силой Q и моментом
(рис. 1.7). Направления Q и M выбраны в соответствии с приня-
тым правилом знаков. Величины поперечной силы и момента определяем из уравнений равновесия элемента балки
.
A
z
1
q
z
1
q
1
F
Q
y
a) б)
=−= 0
FQF ,
qiy
z
1
=−= 0
∑
где
q
m – сумма моментов сил относительно точки сечения.
ix
zqF
⋅= – равнодействующая распределенной нагрузки
11
FMm
qix
При определении момента распределенная нагрузка
сосредоточенной силой
стка нагрузки
q (середина участка
1
тельно сечения равно
F (рис. 1.7,б), приложенной в середине уча-
q
z
1
.
13
,
), для которой плечо относи-
Q
y
q заменяется
1
q ,
1
Из уравнений равновесия получим:
252
2
====
====
=
=
=⋅=
=⋅=
B
A
′′′′
B
′′′′
∑
Рис.
1.8
A
M
B
′′′′
M
2
В
B
′′′′
2
2
5zzqFQ
=== ,
q
111
z
FM
q
z
1
1
q
1
2
z
=== .
1
Для построения эпюр Q и M подсчитаем значения этих величин в
точках:
при 0
сечем часть балки
====z , 0
1
1
=z м, 5,22/5
1
=z м, 1025
1
Участок II, 20
Q ; 0
2
Q кН; 1025
≤≤ z м.
2
Проводя сечение на расстоянии
(рис. 1.8а).
M ;
M кН·м;
M кН·м;
z от начала участка (рис. 1.6), от-
2
R
B
q
2
z
A
l
1
q
1
z
2
Q
y
a)
Заменяя распределенные нагрузки
(рис. 1.8б)
и M в сечении
ченные силы
lqFq= ,
111
zqFq= , получаем, что нужно определить Q
222
, для случая, когда на балку действуют сосредото-
F
,
R ,
F
q
1
B
.
q
2
Из уравнений равновесия отсеченной части
l
1
∑
FMm
1
находим
q и 2q их равнодействующими
+−=
l
1
1
FRFQF
R
B
F
q
2
z
F
q
1
z
2
Q
y
б)
,0
=+−−=
21
qBqiy
z
2
,0
FzRz
=+−
222
qBqx
22
14
BqBq
=
=
=
−
=
=
=
=
∑
2
2
2
Рис.
1.9
M
б)
M
l
FM
1
При 0
====z , 3
2
1
=z м, 5,11
2
2
=z м, 3
2
Q кН; 10
Q кН; 10
Участок III, 30
Можно убедиться, что при 1
ние 5,11
M кН·м на этом участке является экстремальным.
1
+= .
M кН·м;
M кН·м;
M кН·м;
≤≤ z м.
3
=z м 0
1
z
2
FzRz
222
qBq
22
310
Q , следовательно значе-
33 zzqRlqFRFQ
−=−+=−+= .
2221121
3
−+=−+
2
2
zz
22
Проведем сечение на расстоянии
z от точки С (рис. 1.6) и рас-
3
смотрим правую отсеченную часть (рис. 1.9а).
Q
y
q
2
z
3
C
l
4
M
z
M
0
M
4
0
z
Q
y
R
а)
Так как рассматривается правая часть и ось z направлена против
внешней нормали, то в соответствии с принятыми правилами знаков
направления силы Q и момента М меняются на противоположные.
Записываем уравнение равновесия
=−+−= 0
RzqQF ,
32 Ciy
z
∑
3
zqzRMm
Cix
323
M
=+−+−= 0
.
0
откуда
2
z
36 zzqRQ
++++−−−−====++++−−−−==== ,
C
332
C
3
qzRMM
230
64
3
2
zz
−−−−++++====−−−−++++==== .
33
15
При 0
−
=
=
=
====
=
====
M
>
<
=
=
сформулированные условия проверки построения эпюр выполняются.
. На участках, где поперечная сила 0
1
возрастает, а на участках, где 0
2. Скачки в эпюре Q в точках, где приложены сосредоточенные силы,
а величина скачка равна величине приложенной силы.
3. Момент принимает экстремальное значение 5,11
нии, для которого 0
ных стержней жестко соединенных между собой в узлах.
линейные участки. На каждом участке вводится своя система координат с осью oz, направленной вдоль оси стержня. Эпюры на участках
строятся с использованием правил, принятых для балки. Отметим, что
при составлении выражений для N , Q, M учитываются силы и мо-
менты, действующие на всех участках отсеченной части рамы.
нейных участках так же, как и для балки. Кроме этого, проводят проверку выполнения условий равновесия в узлах рамы.
====z , 6
3
1
=z м, 5,8
3
2
=z м, 0
3
Участок IV, 20
Для отсеченной части на четвертом участке (рис. 1.9б)
На основе полученных числовых результатов строятся эпюры Q и
(рис. 1.6).
Проверяя правильность построенных эпюр, можно убедиться, что
В частности отметим следующее:
Q кН; 4
M кН·м;
M кН·м;
Q ; 10
Q , 4
M кН·м.
≤≤ z м.
4
0
== MM кН·м.
0
Q , изгибающий момент М
Q – убывает.
M кН·м в сече-
Q .
1.5. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛ ДЛЯ РАМ
Рамой называется стержневая система состоящая из прямолиней-
При построении эпюр внутренних сил рама разбивается на прямо-
Правильность построения эпюр для рам проверяется на прямоли-
16
Построим эпюры внутренних
=
=
=
А
D
(
)
2
b
2
2
b
∑
Рис.
1.10
1
В
C
F
b
b
a
E
0
сил для рамы, представленной на
рис. 1.10, для 5
10
=M кН·м, 2
0
1
а м, 2
b м.
1
F кН,
== qq
кН·м,
2
a
Как видно из рисунка, в точке
рамы имеется шарнирно-
неподвижная опора и поэтому
здесь возникают две силы реак-
ции
R и AH . В точке
A
– шар-
A
нирно-подвижная опора и поэтому возникает только одна верти-
кальная сила реакции
R (рис. 1.11а).
D
Используя уравнения равновесия, определим величины
R . Из уравнения моментов
D
a
∑
получаем
DiA
=
R
D
2
22
2
+−+⋅+⋅
10
++⋅⋅−⋅−⋅=
aaqbbqbFbRm
2
22
2/2
aaqMbqbF
Аналогично
∑
22
AAiD
2
A
=
R
A
10
a
aqMbRaHm
2
22/2
⋅+⋅+−−⋅
bqbFaqMaH
2
=
q
2
D
q
M
R , AH ,
A
0
=−
M
=
210
75,4
012
25,8
кН.
=⋅⋅+⋅+−−⋅−⋅= 02
bbqbF
кН.
,
,
Проектируя силы на горизонтальную ось,
aqHF
1
Ai
находим 2
A
=⋅= aqH
1
кН.
17
=⋅−= 0
,
222
=−=−⋅−⋅+⋅−⋅+−−⋅
В
C
E
4
4
11
12,5
В
C
E
4,75
2
8,25
2
4,25
В
C
E
2
1
F
y
z
В
C
E
y
z
y
z
0
1,5
q
2
R
D
N, кН
D
D
z
3
z
1
z
4
H
R
A
A
A
a)
z
2
q
z
y
M
A
4,75
б)
Q, кН
D
М, кН·м
D
0,75
10
A
в)
Рис. 1.11
С целью проверки правильности определения реакций, составим
уравнение равновесия, которое не использовалось при нахождении
реакций. Запишем уравнение моментов относительно точки С:
∑
Подставляя числовые значения параметров, получаем
2
b
bqbRaHm
A
г)
b
bq
DAAiC
a
aqbR
M
=−−+−+⋅−⋅= 0
.
0122
,245,24105,02225,82222275,422
.
05
18
Уравнение равновесия удовлетворяется, следовательно,
AB
∑
∑
2
====
2
====
−
=
−
=
=
−
=
∑
∑
2
====
2
=
====
Рис.
1.12
N
M
0
z
M
N
D
R определены правильно.
D
R , AM и
A
Для построения эпюр N , Q, M раму разбиваем на участки EC ,
DC , CB ,
и выбираем на каждом из них систему координат (рис.
1.11а).
Участок ЕС, 10
≤≤ z м
1
Для отсеченной части (рис. 1.12) действие отброшенной части заменяем продольной силой N, поперечной силой Q и изгибающим моментом М. Записываем уравнение равновесия:
== 0NF
.
2
z
1
qMM −−= .
10
,
y
z
1
Q
М
q
1
Е
y
Q
q
2
R
D
z
z
2
iy
∑
ix
Следовательно,
0
N ,
При 0
5,0
1
====z 0
1
1
1
Q , 10
=z м, 25,10
=z м, 2
Q кН, 11
Участок СD, 20
Уравнение равновесия:
iz
∑
qMm
iz
=+= 0
zqQF
11
2
z
1
qMMm
10
zqQ −= ,
11
M кН·м;
M кН·м;
M кН·м.
≤≤ z м.
2
=−= 0NF
,
=−+−= 0
zqRQF
Diy
z
2
212
2
2
=+−= 0
zR
2
Dix
,
=−−−= 0
,
.
Следовательно
N ,
При 0
====z 25,8
2
0
−−−−==== ,
D
Q кН, 0
19
zqRQ
22
M ;
qM
z
2
2
2
−= .
zR
2
D
−
=
=
−
=
∑
∑
2
2
−
=
4
=
M
=
−
=
−
=
∑
∑
∑
====
=
y
N
M
q
Q
2
В
z
3
2 а
H
A
R
A
Находим
−=−=
2
HN кН.
A
RzqQ −=
A
32
N
1
2
5,12
z
∑
=z м, 25,7
2
=z м, 25,4
2
Q кН,
M кН·м.
Участок ВС, 20
zqMm
32
2
z
, 2
3
qM +−= .
2 AA
HzR
2
M кН·м;
≤≤ z м.
3
=+= 0
HNF ,
Aiz
=+−= 0
RzqQF ,
32 Aiy
z
3
3
AAix
=+−+−= 02
aHzR
.
При 0
====z , 75,4
3
=z м, 25,0
3
=z м, 75,0
3
Участок АВ, 20
z
Q
y
z
4
1
2
А
R
A
Q кН,
M кН·м;
Q кН, 5,1
≤≤ z м.
4
M кН·м.
RNF ,
H
A
Следовательно
При 0
= .
4
4
На основе полученных числовых результатов
HQF ,
RN кН, 2==AHQ кН,
A
zНM
4
А
====z 0
2
=z м, 4
20
кН·м;
=+= 0
Az
=−= 0
Ay
=+−= 0
zHMm
4
Ax
75,4−=−=
M ;
M кН·м.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]