Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет стержней на прочность, жесткость и устойчивость. Учебное пособие
.pdf
B
A B B
21
B
B A A
B
B
A
A B B
B
A
B
B
A
B
B B B A A
B
B A A
B
B A A
B
B A A
B
B
A
b
a
a а
22
b
B
a
b а
B
23
a
b
B
a а
B
25
A
a
B
b
a а
27
B
a
B
b
a а
29
B
A
B
24
a
A
b а
B
B
b
26
a
B
b а
B
b
28
B
b
a
B
b а
A
30
B
b
a
a а
a
b
b а
Рис. 3.5 (продолжение)
71
Таблица 3.1
№ F1,
кН
1 1,4 1,5 10
Т1,
кН·м
α
1
0
α2 a,
м
b,
м
c,
м
c
d
300 1,1 1,9 1,5 0,7
2 1,3 1,6 1200 1200 1,2 1,8 1,6 0,84
3 1,2 1,7 300 1200 1,3 1,7 1,7 0,8
4 1,1 1,8 450 400 1,4 1,6 1,8 0,9
5 1,0 1,9 1500 1500 1,5 1,5 1,9 0,95
6 0,9 2,0 600 300 1,6 1,4 1,0 0,87
7 2,0 2,1 1350 900 1,7 1,3 1,1 0,92
8 2,2 2,2 200 800 1,8 1,2 1,2 0,85
9 2,3 1,3 900 600 1,9 1,1 1,3 0,93
10 2,5 1,4 300 1200 1,0 1,0 1,4 0,75
72
4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
∆
=
EA
EAlEA
EA
+
EA
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
4.1. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ТЕЛА
Потенциальная энергия деформации – это накопленная в деформируемом теле энергия, которая обусловлена перемещениями частиц
под воздействием внешних сил. Потенциальная энергия деформации
равна работе внешних сил на перемещениях, возникающих в деформируемом теле.
Определим потенциальную энергию в случае линейного напряженного состояния – при растяжении (сжатии) прямолинейного
стержня.
Пусть на стержень действует продольная сила F.
силы на величину dF , длина стержня l изменится на величину ld∆ и
будет совершена элементарная работа
lFddW
.
Известно, что при растяжении (сжатии) изменение длины стержня
Fl
l =∆ , (4.1)
где E – модуль упругости, A – площадь поперечного сечения стержня.
Следовательно,
ld =−
=∆ .
dFF
Fl
l
dF
При изменении
Подставляя выражение для ld∆ в формулу (4.1) , получаем
Fl
dW = .
Суммируя элементарные работы, которые совершаются при изменении силы F от нуля до N , находим
N N
dWW
∫ ∫
0
73
dF
2
Fl
dF
EA
0
lN
===
2
.
EA
Следовательно, потенциальная энергия деформации стержня U
E
А
2
=
AlUV
AlNEAlNAl
EA
⋅
2
2
EA
A
∆
l
∆
212
llA
2
21212
при растяжении (сжатии)
2
== .
2
lN
, ε=
1
εσ=
lN
⋅=
. (4.2)
l
,
εσ=
WU
Под удельной потенциальной энергией деформации понимается
энергия деформации, приходящаяся на единицу объема тела.
При растяжении (сжатии) деформация, следовательно, и энергия
деформации равномерно распределены по объему стержня AlV
Поэтому удельная потенциальная энергия деформации
U
U
0
Учитывая, что
Nl
формулу (4.2) можно записать так:
где σ– нормальное напряжение в поперечном сечении стержня, ε–
относительное удлинение (линейная деформация).
Таким образом, в случае линейного напряженного состояния (при
растяжении и сжатии прямолинейного стержня) удельная потенциальная энергия деформации
===
N
l
∆= , σ=
1
N
=
U ,
0
U . (4.3)
0
.
Используя принцип независимости действия сил и формулу (4.3),
получим, что в случае объемного напряженного состояния, при одно-
временном действии трех напряжений
альная энергия деформации
1
где
ции.
74
,, σσσ – главные напряжения,
321
,, σσσ , удельная потенци-
321
, (4.4)
εσ+εσ+εσ=U
3322110
,, εεε – главные деформа-
321
В соответствии с обобщенным законом Гука деформации и напря-
E
E
E
[
]
2
E
[
]
2
E
G
2
E
2
жения связаны между собой соотношениями:
1
[ ]
( )
σ+σν−σ=ε
3211
,
1
[ ]
1
[ ]
Подставляя в формулу (4.4) соотношения для главных деформаций
(4.5), получим выражение удельной потенциальной энергии деформации для общего случая напряженного состояния:
1
U . (4.6)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
В случае плоского напряженного состояния 0
2
10
U . (4.7)
При чистом сдвиге ( τ=σ−=σ
ной энергии деформации принимает следующий вид:
Здесь τ – касательное напряжение, )21(2 ν+= EG – модуль
сдвига.
В случае линейного напряженного состояния - ,0,
следовательно
2
2
3
2
1
U
0
U
( )
σ+σν−σ=ε
, (4.5)
3122
( )
σ+σν−σ=ε
.
2133
( )
2
3
2
2
10
21
= . (4.8)
= . (4.9)
0
2
σσν−σ+σ=
2
) формула (4.7) для потенциаль-
2
τ
2
σ
21
σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ=
323121
=σ , следовательно
=σ=σσ=σ
321
75
4.2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЯ
А
2EА
σ
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Получим выражения потенциальной энергии деформации стержня
для элементарных видов деформации – растяжения и сжатия, изгиба и
кручения.
4.2.1. Растяжение и сжатие. В поперечных сечениях стержня
возникают нормальные напряжения
N
=σ . Подставляя это выраже-
ние в формулу (4.9), получаем
2
U = . (4.10)
N
0
2
Полная энергия деформации
удельной потенциальной энергии
∫ ∫∫ ∫∫∫
0
V А
U , находится интегрированием
U по объему стержня:
0
l
==
0
, (4.11)
dldАUdVUU
0
где dА – элемент площади поперечного сечения стержня, dl – элемент длины продольной оси стержня.
Подставляя U0 в виде (4.10) в выражение (4.11), находим
2
l
1
2
dlN
dA
2
EA
0
.
A
U
Учитывая, что
l
0
∫∫
2
N
∫∫ ∫ ∫∫∫
2
EA
2
A
dAdl
==
=ААdА , получим формулу для потенциальной
энергии деформации стержня при растяжении и сжатии:
2
l
N
1
U
=
2
dl
∫
0
. (4.12)
EА
4.2.2. Плоский изгиб. В этом случае возникает плоское напряженное состояние. В поперечных сечениях стержня действуют нормальные
и касательные τ напряжения. Главные напряжения определя-
ются по формуле
76
σ
[
]
2
E
E
2
J
±
=σ . (4.13)
2,1
2
τ+
42
2
σ
Подставляя соотношения (4.13) в (4.7), удельную потенциальную
энергию деформации стержня запишем в следующем виде:
U . (4.14)
1
0
22
)1(2
τν++σ=
При изгибе стержня обычно касательные напряжения значительно
меньше нормальных напряжений. Поэтому, с небольшой погрешностью формулу (4.14) можно записать так:
2
σ
U
= . (4.15)
0
С учетом соотношений (4.11), (4.15), выражение для полной энергии деформации принимает вид:
2
l
U
=
σ
dldА
∫∫∫
E
2
А
0
. (4.16)
При изгибе стержня нормальные напряжения определяются по
формуле
M
y
=σ ,
где М – изгибающий момент, y – координаты точек поперечного сечения,
2
=
dАyJ
∫∫
А
– осевой момент инерции поперечного сечения.
Подставляя выражение σ в равенство (4.16), находим
l
U
0
С учетом того, что
2
M
∫∫ ∫ ∫∫∫
A
=
EJ
∫∫
2
2
2
dАyJ
А
==
dAdly
из последнего уравнения следует, что
2
l
M
2
EJ
22
0
A
2
dldAy
.
потенциальная энергия деформации стержня в случае плоского изгиба
2
l
M
1
U
=
2
dl
∫
EJ
0
. (4.17)
77
4.2.3. Кручение. В этом случае, в поперечных сечениях стержня
=
Рис.
4.1
возникают касательные напряжения
T
ρ=τ
, (4.18)
J
p
где Т – крутящий момент, ρ – радиус-вектор точек сечения,
2
ρ=
dАJ
∫∫
p
А
– полярный момент инерции поперечного сечения.
При кручении стержней с поперечным сечением в виде круга или
кольца, в стержне возникает деформация чистого сдвига. Следовательно, потенциальная энергия деформации определяется по формуле
(4.8). Используя соотношения (4.11), (4.8), (4.18), получаем
2
l
T
2
GJ
22
0
A
pp
2
ρ=ρ=
dldA
.
U
l
0
2
T
2
∫∫ ∫ ∫∫∫
GJ
2
A
dAdl
2
1
Откуда, с учетом того, что полярный момент инерции
2
ρ=
dАJ
∫∫
p
А
, выражение для потенциальной энергии деформации
стержня при кручении записывается в следующем виде
2
l
T
1
U
=
2
dl
∫
GJ
0
. (4.19)
p
В случае сложной деформации, когда в поперечных сечениях
стержня возникают одновременно продольная сила, изгибающие и
крутящие моменты или их комбинация, используют принцип независимости действия сил. Потенциальная энергия деформации будет равна сумме энергии от элементарных видов деформаций.
Пример. Определить потенциаль-
ную энергию деформации балки
(рис.4.1) с постоянной жесткостью на
изгиб (
EJ const).
В данном случае
2
l l
U
M
∫ ∫
EJ
2
0 0
dl
1
==
EJ
2
2
dlM
.
О
F
A
y
z
l
0,5l
78
Как видно из рисунка, изгибающий момент в сечениях балки
−
=
=
EJ
6
,zFM
следовательно, dzdl
l l
∫ ∫
0 0
,
2
F
22
dzFzdlM
)(
3
z
)(
3
2
F
l
==−=
0
3
l
3
.
Таким образом, потенциальная энергия деформации балки
32
U
lF
= .
4.3. ТЕОРЕМА КАСТИЛЬЯНО
Для определения перемещений стержневой системы может быть
использована теорема Кастильяно, которая формулируется следующим образом: частная производная по силе от потенциальной
энергии деформации системы равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы.
Под перемещением точки приложения силы по направлению силы
понимается проекция полного перемещения точки стержневой системы на направление силы.
Рассмотрим деформируемое упругое тело, нагруженное произвольной системой сил и закрепленное так, чтобы были исключены его
перемещения как твердого тела (рис. 4.2). При приложении к телу
системы сил будет совершена
работа, которая, как известно,
F
4
равна потенциальной энергии
деформации тела.
Потенциальная энергия
деформации
U может быть
F
1
F
3
F
n
выражена через действующие
на тело силы. Пусть одна из
сил, например Fn , получила
приращение d
Fn. При этом
F
2
Рис. 4.2
потенциальная энергия U
изменится на величину
dU и станет равной
79
U
∂
∂
∂
UdUUU
1
+=+=
Fd
. (4.20)
n
F
∂
n
Изменим порядок приложения сил. Приложим вначале к упругому
телу силу dFn. В точке приложения этой силы возникнет малое пере-
мещение, проекция которого на направление действия dFn равна
Работа силы dFn на перемещение
Перед произведением
dδ
n
ddFWd δ=
.
1
ddF δ множитель 0,5 не ставится, так как
nn
nn
сила dFn остается неизменной при возникновении перемещения
dδ .
dδ .
n
n
После этого приложим действующую систему сил. При этом будет
совершена работа, состоящая из суммы работ внешних сил равной
и работы, совершаемой силой
где
δ – перемещение точки приложения nF по направлению этой
n
dF :
2
n
dFUW δ+=
,
nn
U
силы.
В итоге, при обратном порядке приложения сил потенциальная
энергия деформации
ddFdFUWWdU δ+δ+=+=
. (4.21)
211
nnnn
Приравнивая правые части уравнений (4.20) и (4.21), получаем
U
U δ+δ+=
+ .
F
∂
n
Отбрасывая в последнем выражении слагаемое
ddFdFUdF
nnnnn
ddF δ , как величину
nn
второго порядка малости, находим
=δ . (4.22)
n
FU∂
n
Теорема Кастильяно доказана.
F
В выражении (4.22) силу
силу, т.е. как некоторый силовой фактор. Тогда величина
можно трактовать как обобщенную
n
δ должна
n
рассматриваться как обобщенное перемещение, т.е. как геометриче-
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]