Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет стержней на прочность, жесткость и устойчивость. Учебное пособие
.pdf
его расположения возможен поворот одного сечения относительно
i
другого, то шарнир в точке А будет снимать две связи. Система является, таким образом, три раза статически неопределимой.
Обобщая сказанное, можно сделать вывод, что введение шарнира в
месте пересечения стержней снимает число связей на единицу меньше
числа сходящихся в нем стержней.
Таким образом, степень статической неопределимости системы
определяется по формуле
Ш
( )
∑
=
i
1
i
−+−−⋅=
BNKN
313 ,
где K – количество замкнутых контуров, Ш –
Рис. 4.11
количество встроенных шарниров,
стержней, сходящихся в шарнире с номером
N – число
i
В – количество внешних связей.
Отметим, что не во всех случаях наложения трех внешних связей
на плоскую стержневую систему закрепляет ее как жесткое целое.
На систему, показанную на рис. 4.10г, наложено три связи, однако
она имеет возможность поворачиваться относительно опор как жесткое целое и поэтому является кинематически изменяемой.
4.5.2. Выбор основной системы. Для расчета статически неопреде-
лимых систем часто используется метод сил, который заключается в
том, что в заданной стержневой системе дополнительные связи
(внешние и внутренние), отбрасываются – заменяются неизвестными
силами и моментами. Величины этих сил и моментов в дальнейшем
подбираются так, чтобы перемещения стержневой системы соответствовали тем ограничениям, которые накладываются отброшенными
связями. Неизвестными, при этом способе решения, являются силы и
моменты, введенные вместо дополнительных связей. Отсюда и название – "метод сил".
Отметим, что по определению, раскрыть статическую неопреде-
лимость системы – значит определить величины сил и моментов,
введенные вместо дополнительных связей.
Система, освобожденная от дополнительных связей, становится
статически определимой, и ее называют основной системой.
,
91
Система, в которой дополнительные связи заменены неизвестными
=
силами и моментами, называется эквивалентной системой.
При освобождении от дополнительных связей, в тех сечениях, в
которых становятся возможными линейные перемещения, вводятся
сосредоточенные силы, там, где стали возможны угловые смещения,
вводятся сосредоточенные моменты.
В дальнейшем вводимые неизвестные силы и моменты будем называть обобщенными силами и обозначать
X , где Ni ,...3,2,1
i
–
номер неизвестной силы, N – степень статической неопределимости
системы. Линейные перемещения и углы поворота сечений стержней
в точках приложения сил
щениями и обозначать
X будем называть обобщенными переме-
i
δ .
i
F
Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, несколько основных (эквивалентных) систем. Например, рама, показанная на рис. 4.12а, является четырежды
статически неопределимой. Отбрасывая четыре дополнительные связи
в различных комбинациях, заменяя их неизвестными силами и моментами Х1, Х2, Х3, Х4, можно получить различные эквивалентные системы (рис. 4.12б – 4.12г).
Следует помнить, что не всякая система с отброшенными связями
может быть принята как основная. Необходимо, чтобы оставшиеся
связи обеспечивали кинематическую неизменяемость системы. На
рис. 4.12в, показана рама с отброшенными связями, которая не может
быть использована в качестве основной системы, так как является
кинематически изменяемым механизмом.
Отметим, что если рама с отброшенными связями является кинематически изменяемым механизмом, то система уравнений равновесия,
используемая для определения реакций опор, будет вырожденной, т.е.
уравнения этой системы являются линейно зависимыми, либо в левой
части некоторых уравнений все коэффициенты будут равны нулю.
Заметим, что для внутренних связей силы
X являются взаимны-
i
ми. Если в каком либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правому, так к левому сечению системы.
92
4.5.3. Каноническое уравнение метода сил. Для определения
F Х
4
Х
2
Х1
Х3
Х
1
Х2
Х4
Х3
F F
Х
2
Х1
Х
3
Х
4
введенных неизвестных сил и моментов составляются уравнения, ко-
q
q
F
a)
q
в)
б)
q
г)
Рис. 4.12
торые называются каноническими уравнениями метода сил. Вывод
этих уравнений приведем на частном примере. Рассмотрим систему,
представленную на рис. 4.12а. Освобождаясь от дополнительных связей так, как это показано на рис. 4.12б, получим статически определимую систему, на которую действуют внешние силы F,
ные силы –
ния
X . Обозначим через
X (i = 1,4). Составим систему уравнений для определе-
i
i
δ обобщенные (перемещение или угол
i
[ ]
F
q и неизвест-
93
поворота) перемещение системы в точках приложения сил. Первый
1
4
индекс в выражении
δ соответствует силе, по направлению кото-
i
[ ]
F
рой определяется перемещение, второй индекс – силе, вызвавшей это
перемещение.
В рассматриваемой раме в точках А и В отброшены опоры, дополнительные связи заменены силами
перемещения точек А и В в направлении сил
X (i = 1,4). При наличии опор
i
X должно быть равны-
i
ми нулю. Условие равенства нулю перемещения в направлении силы
X можно записать так:
1
0
=δ
[ ]
В выражении
мещение в точке приложения
δ индекс 1 означает, что вычисляется пере-
[ ]
FXX ,...,,1
21
,...,,1
21
X , по направлению силы 1X , а индекс
. (4.30)
FXX
[Х1, Х2,...,F] показывает, что перемещение вызвано силами Х1, Х2,...,F.
Аналогично можно записать и условия равенства нулю других
обобщенных перемещений в точках А и В:
δ = 0,
[ ]
где
δ – горизонтальное перемещение точки А,
[ ]
δ – поворот сечения с точке А,
[ ]
21
FXX ,...,,2
21
FXX ,...,,2
21
FXX ,...,,3
щение точки В в направлении силы
δ = 0,
[ ]
FXX ,...,,3
21
X .
δ = 0, (4.31)
[ ]
δ – переме-
FXX ,...,,4
21
[ ]
FXX ,...,,4
21
Используя принцип независимости действия сил, соотношения
(4.30), (4.31) можно представить в следующем виде:
0
=δ+δ+δ+δ+δ=δ
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Каждое из слагаемых
чает перемещение в направлении силы
δ , входящее в уравнения (4.32), обозна-
Хi
k
432121
22222,...,,2
432121
432121
432121
X под действием силы kX .
i
,
11111,...,,1
FXXXXFXX
0
=δ+δ+δ+δ+δ=δ
, (4.32)
FXXXXFXX
0
=δ+δ+δ+δ+δ=δ
33333,...,,3
44444,...,,4
,
FХХХХFXX
0
=δ+δ+δ+δ+δ=δ
.
FХХХХFXX
94
Величина
F
~
1
~
δ – перемещение, вызванное действием внешних сил.
Fi
Поскольку перемещения пропорциональны действующим силам, то
можно записать
Х
δ=δ . (4.33)
k
kkiXi
С учетом (4.33) уравнения (4.32) принимают вид:
0
ХХХХ ,
ХХХХ , (4.34)
ХХХХ ,
ХХХХ .
=δ+δ+δ+δ+δ
1414313212111
F
0
=δ+δ+δ+δ+δ
2424323222121
F
0
=δ+δ+δ+δ+δ
3434333232131
F
0
=δ+δ+δ+δ+δ
4444343242141
F
Эти уравнения служат для определения неизвестных сил и называются каноническими уравнениями метода сил. Слагаемые
δ
Fi
остались в системе уравнений (4.34) такими же как и в уравнении
(4.32). Индекс F в выражении
δ отражает не только воздействие
Fi
силы F, но и воздействие всей действующей системы внешних сил.
Поясним смысл коэффициентов
δ , входящих в уравнение (4.34).
ki
Если в (4.33) положить 1=
Следовательно,
δ – перемещение по направлению силы
действием единичной силы 1=
Для определения величин
При этом входящий в (4.26) момент
для момента от единичной силы
выражение
M , для момента от единичной силы
k
Х , то получим
k
ki
Х .
k
δ используют интегралы Мора (4.26).
ik
δ=δ .
kiXi
k
M , заменяют выражением
X
= 1, а вместо
i
M подставляют
X
= 1.
k
X под
i
M
i
Таким образом, получается
MM
EJ
ki
dl
. (4.35)
=δ
∫
ik
l
95
Величины
F
~
δ , входящие в канонические уравнения (4.34) явля-
Fi
ются перемещениями в направлении силы
X = 1, возникающими под
i
действием заданной системы внешних сил, следовательно,
MM
EJ
Fi
dl
, (4.36)
где
M , – момент от внешних сил.
Очевидно, что
δ=δ .
kiik
iF
=δ
∫
l
При использовании метода сил следует обращать внимания на
проверку правильности раскрытия статической неопределимости
стержневой системы. При этом можно воспользоваться одним из двух
способов.
Первый способ проверки правильности раскрытия статической неопределимости стержневой системы базируется на повторном решении задачи с использованием новой основной системы. Расчеты в
этом случае выполняются в следующей последовательности. Выбирается новая основная система и по описанному здесь методу определя-
ются введенные неизвестные
X , а затем – опорные реакции. Полу-
i
ченные значения реакций опор сравниваются с реакциями, определенными в первом варианте решения. Совпадение сравниваемых величин свидетельствует о правильности раскрытия статистической
неопределимости.
При использовании второго способа проверки правильности раскрытия статической неопределимости стержневой системы определяются перемещения одной из опор системы. Этот подход называют
деформационной проверкой. Деформационная проверка основана на
том, что при правильно найденных значениях сил
X ( i = 1, 2,…, N),
i
перемещения в опорах, в направлениях наложенных на систему связей
должны равняться нулю. В этом случае расчеты выполняются в следующей последовательности. Выбирается новая основная система и
на одной из сохраненных опор, в направлении наложенной связи при-
кладывается единичная сила 1
=
X (k = N+1). Затем определяется
k
перемещение стержневой системы в точке приложения этой силы в
96
направлении
~
+
=
=
=
=
=−=
l
А
то перемещение в направлении наложенной связи должно равняться
нулю, т.е. для 1
Отметим, что в общем случае, при проведении деформационной
проверки следует определять перемещения в направлениях наложенных на систему связей во всех сохраненных опорах новой основной
системы.
4.5.4. Пример расчета статически
неопределимой системы. Раскрыть
статическую неопределимость и выполнить деформационную проверку
для рамы, показанной на рис. 4.13,
q кН/м, 3
при 4
Решение задачи будем выполнять в следующей последовательности:
X
. Если силы
k
X ( i = 1, 2,…, N) найдены правильно,
i
Nk должно выполнятся условие
[ ]
21
F кН, 1
l м.
2211,...,,
B
.ХХХ
0...
=δ+δ++δ+δ=δ (4.37)
kFNkNkkFXXk
F
q
C
l
l
Рис. 4.13
D
1. Вычисление степени статической неопределимости системы.
2. Выбор основной и эквивалентной систем.
3. Запись системы канонических уравнений метода сил.
4. Определение реакций опор от внешних и единичных сил.
5. Определение изгибающих моментов.
6. Вычисление коэффициентов канонических уравнений и решение
системы канонических уравнений.
7. Деформационная проверка правильности полученного решения.
Переходим к решению задачи.
1. Определение степени статической неопределимости. В рас-
сматриваемом случае плоская рама защемлена в точках А и D, следовательно, на нее наложено 6 внешних связей (по 3 в каждой заделке).
Степень статической неопределимости стержневой системы
N .
336
97
2. Выбор основной и эквивалентной систем. В данном случае на
1
1
=δ+δ+δ+
δ
1
1
~
2
~
~
F
2
1
l l
D
А
раму наложены три дополнительные связи. Отбрасывая опору в точке
А, получаем основную систему (рис.4.14). К основной системе вместо
дополнительных связей в точке А прикладываем неизвестные силы
X , 2X ,
X . Добавляя заданные внешние силы F и q, получаем эк-
3
вивалентную систему (рис.4.15).
F
q
В
D
В
С
l
Х
3
Х
Х
Рис. 4.14
3. Запись системы канонических уравнений метода сил. Для опре-
деления неизвестных сил
X , 2X ,
X в трижды статически неопре-
3
делимой системе записываем систему канонических уравнений
XXX
1313212111
XXX
XXX
Геометрический смысл канонических уравнений (4.39) заключается в том, что перемещения точки А по направлениям неизвестных
усилий
(4.35), (4.36), в которые входят изгибающие моменты М
возникающие от действия единичных сил
щий момент
X , 2X и поворот в направлении
Коэффициенты
δ ,
δ определяются с помощью интегралов
ij
iF
M от действия внешних сил (F и q).
X равны нулю.
3
X ,
F
2323222121
3333232131
F
F
Рис. 4.15
,0
,0
=δ+δ+δ+δ
(4.38)
.0
=δ+δ+δ+δ
1
X ,
X и изгибаю-
3
, М2, М
3
,
98
~
1
~
2
~
(
)
1
111
1
~
2
~
F
~
2
1
2
1
2
~
1
D
а)
1
2
А
1
2
А
~
В
в)
А
В
z
1
=X
z
б)
г)
В
z
А
В
z
С
z
3
z
у
С
z
3
D
z
1
=Х
q
С
z
3
z
3
F
C
D
D
z
3
z
1
=Х
Рис. 4.16
4. Определение реакций опор. Рассмотрим четыре схемы приложе-
ния нагрузки к основной системе. На первой схеме (рис. 4.16а) система нагружается силой 1
на третьей (рис. 4.16в) – силой 1
=X , на второй (рис. 4.16б) – силой 1
=X , четвертая схема (рис. 4.16г)
3
=X ,
соответствует случаю, когда на основную систему действуют заданные нагрузки F и q.
В данном случае рама защемлена в точке D, поэтому при записи
выражений для моментов можно не определять реакции опор, если
рассматривать участки рамы последовательно, начиная с точки А.
5. Определение изгибающих моментов. Запишем выражения изги-
бающих моментов для каждой из схем, показанной на рис. 4.16.
Участок АВ
0 .
zzXM =⋅= , 0
lz ≤≤
=M , 1
== XM , 0=
33
M .
99
Участок ВС
(
)
2
1
1
~
222
2
~
~
2
(
)
1
1
~
~
~
0 .
llXM =⋅=
,
lz ≤≤
2
qz
zzXM −=⋅−= , 1
33
== XM ,
M
F
2
−= ю
Участок СD
llXM =⋅=
,
l
−−=
1
EJ
l l
1
0 0
11
3
2
2
1
zqlM
F
6. Вычисление коэффициентов канонических уравнений и решение
системы канонических уравнений. Используем формулы (4.35), (4.36).
С учетом того, что в данном случае при записи выражений изгибающих моментов рама разбивается на три участка, получаем
EJ
EJ
1
EJ
l
1
EJ
0
В
А
1
0
lzl 23≤≤ .
( )
−+
33
2
333
lll
++=
B
A
11
zzXM −=⋅−= , 1
3322
.
lzF
С
∫ ∫∫
В
2
l
2
dzldzldzz
++=
∫∫ ∫
2
l
3
7
l
l l
∫ ∫∫
0
==
3
C
B
( ) ( )
++=δ
=
3
7
.
3
EJEJ
2
l
== XM ,
33
D
C
D
++=δ=δ
∫∫∫
C
dzММdzММdzММ
=
31121111111
=
dzMMdzMMdtMM
3212211212112
=−+−+⋅⋅
dzzldzzldzz
3222
1
EJ
100
2
3
−−= .
2
333
lll
22
−=−=
EJEJ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]