Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет стержней на прочность, жесткость и устойчивость. Учебное пособие
.pdf
2.4. ПРИЛОЖЕНИЕ
Сортамент прокатной стали в соответствии с ГОСТ 8239-72, 8240-72, 8510-72
Двутавры
у
d
x
х
h
(b-d)/4
y
t
b
Размеры, мм
h b d t
№ балки
2
кг
Ix,
Площадь
Масса 1м,
сечения, см
см
4
Справочные величины для осей
x – x y –y
Wx,
см
3
ix,
см
Sx,
см
3
Iy,
см
4
Wy,
см
Iy,
3
см
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
10 100 55 4.5 7.2 12.0 9.46 198 39.7 4.06 23.0 17.9 6.49 1.22
12 120 64 4.8 7.3 14.7 11.50 350 58.4 4.88 33.7 27.9 8.72 1.38
14 140 73 4.9 7.5 17.4 13.70 572 81.7 5.73 46.8 41.9 11.50 1.55
61
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
16 160 81 5.0 7.8 20.2 15.90 873 109.0 6.57 62.3 58.6 14.50 1.70
18 180 90 5.1 8.1 23.4 18.40 1290 143.0 7.42 81.4 82.6 18.40 1.88
18а 180 100 5.1 8.3 25.4 19.90 1430 159.0 7.51 89.8 114.0 22.80 2.12
20 200 100 5.2 8.4 26.8 21.00 1840 184.0 8.28 104.0 115.0 23.10 2.07
20а 200 110 5.2 8.6 28.9 22.70 2030 203.0 8.37 114.0 155.0 28.20 2.32
22 220 110 5.4 8.7 30.6 24.00 2550 232.0 9.13 131.0 157.0 28.60 2.27
22а 220 120 5.4 8.9 32.8 25.80 2790 254.0 9.22 143.0 206.0 34.30 2.50
24 240 115 5.6 9.5 34.8 27.30 3460 289.0 9.97 163.0 198.0 34.50 2.37
24а 240 125 5.6 9.8 37.5 29.40 3800 317.0 10.10 178.0 260.0 41.60 2.63
27 270 125 6.0 9.8 40.2 31.50 5010 371.0 11.20 210.0 260.0 41.50 2.54
27а 270 135 6.0 10.2 43.2 33.90 5500 407.0 11.30 229.0 337.0 50.00 2.80
30 300 135 6.5 10.2 46.5 36.50 7080 472.0 12.30 268.0 337.0 49.90 2.69
30а 300 145 6.5 10.7 49.9 39.20 7780 518.0 12.50 292.0 436.0 60.10 2.95
33 330 140 7.0 11.2 53.8 42.20 9840 597.0 13.50 339.0 419.0 59.90 2.79
36 360 145 7.5 12.3 61.9 48.60 13380 743.0 14.70 423.0 516.0 71.10 2.89
40 400 155 8.3 13.0 72.6 57.00 19062 953.0 16.20 545.0 667.0 86.10 3.03
45 450 160 9.0 14.2 84.7 66.50 27696 1231.0 18.10 708.0 808.0 101.00 3.09
50 500 170 10.0 15.2 100.0 78.50 39727 1589.0 19.90 919.0 1043.0 123.00 3.23
55 550 180 11.0 16.5 118.0 92.60 55962 2035.0 21.80 1181.0 1356.0 151.00 3.39
60 600 190 12.0 17.8 138.0 108.00 76806 2560.0 23.60 1491.0 1725.0 182.00 3.54
62
3. РАСЧЕТ ВАЛА ПРИ ИЗГИБЕ С КРУЧЕНИЕМ
T
y
x
,
τ
W
W
2
=
3.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
При изгибе с кручением в поперечных сечениях стержня
действуют изгибающие моменты
M ,
M и крутящий момент
x
y
Стержень круглого или кольцевого сечения при изгибе с кручением
называется валом.
В сечениях вала возникают нормальные σ и касательные τ
напряжения, которые, в соответствии с принципом независимости
действия сил, определяются отдельно, как в случае изгиба и в случае
кручения.
Нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом
изгибе вычисляются по формуле
M
J
M
x
y
x
y
x
+=σ . (3.1)
J
y
Для нахождения касательных напряжений применяется формула
T
ρ=τ
. (3.2)
J
p
Здесь TMM
моменты инерции,
,, – изгибающие и крутящий момент,
yx
J – полярный момент инерции,
P
JJ , – осевые
yx
–
координаты точки, ρ – радиус вектор точки поперечного сечения
стержня, в котором определяются напряжения.
Используя равенство (3.1), (3.2), можно показать, что в поперечном
сечении стержня в виде круга или кольца максимальные значения σ и
находятся по соотношениям:
max
M
=σ
,
max
T
=τ , (3.3)
.
где
Для круга радиуса 2/DR
22
MMM += , W – момент сопротивления сечения.
yx
63
32
4
33
=
=
()(
)
3214
R
[
]
W
π
(
)
4
π
= , (3.4)
DRWπ
=
для кольца, с радиусами 2/dr
W
= . (3.5)
В соответствии с третьей теорией прочности должно выполняться
условие
Подставляя в это неравенство вместо σ и τ выражения (3.3)
получим
Здесь
Из условия (3.6) следует, что
величина осевого момента сопротивления сечения
выражений (3.4), (3.5), получается, что для вала круглого поперечного
сечения
TMMM
++= – расчетный момент.
yxp
, 2/DR
rR
−π
4 .
M
p
222
W
3
=WD ,
( Ddc
4344
cD
−π
=
22
[ ]
σ≤
. (3.6)
M
≥
[ ]
σ
d
σ≤τ+σ
p
. Следовательно, расчетная
/= ),
d
M
p
=
W . С учетом
[ ]
σ
32
а для сечения в виде кольца
32
W
3
D−π= , Dcd
Вес вала
l – длина, γ – удельный вес материала из которого вал изготовлен. Для
сечения в виде круга площадь поперечного сечения
γ⋅= AlG , где А – площадь поперечного сечения,
4
( )
1
c
d
64
= .
d
2
DAπ
= , а для
1
кольца –
(
)
4
ox
oxz
oyz
oyz
()(
)
∑
()(
)
A B B
B
x
D
22
= . Вес круглого вала γ= lAG
2
dDA−π
, для вала с
11
сечением в виде кольца γ= lAG
// AAGGK
G
== .
2121
. Отношение весов
22
3.2. ПРИМЕР РАСЧЕТА.
Определить диаметр вала (рис. 3.1)
для F1 = 1,6 кН, F2 = 0,8 кН,
Т1 = 1,2 кН·м, Т2 = 0,6 кН·м, α1 = 30°,
α2 = 45°, а = 1,5 м, b = с = 1 м, с
= 0,9.
d
В изометрии вал представлен на
рис. 3.2. Проектируя силы F
, F2 на оси
1
и oy, получаем
80
,sinFF
=α= кН, 3861
x
x
111
1560
,sinFF
=α= кН, 5660
222
y
y
A
C
a
111
B
a
b c
Рис.3.1
,cosFF
=α= кН,
,cosFF
=α= кН.
222
z
T
T
2
y
T
1
α
С
F
α
2
2
F
1
1
2
F
2
α
2
Рис. 3.2
Действующие на вал внешние крутящие моменты, а также силы и
реакции опор в плоскостях
Определяем реакции в плоскости
и
показаны на рис. 3.3а.
(рис. 3.3а). Составляя
уравнение моментов относительно точки С, получим
0
=++++−−=
cbaRbaFaFaFm
221
DyyyyiC
.
Следовательно,
053,0/][
221
yyyDy
−=+++++−= cbabaFaFaFR
кН.
D
65
Суммируя моменты относительно точки D, находим
()()(
)
∑
(
)
oyz
=+−−+−=
∑
oyz
oxz
()(
)
∑
(
)
[
]
(
)
()()(
)
∑
()(
)
[
]
(
)
1,2
B
A E
0,6
0,053 2,08
0,51
1,2
0,
926
0,183
2,68 1,6 0,63
z
z
z
221
yyyCy
R :
cy
=+++++++= cbacFcbFcbaFR
Проверяем правильность определения реакции в плоскости
RFFRFF
221
DyyyCyyiy
Реакции в плоскости
определены правильно.
Аналогично определяем реакции в плоскости
Т
,
.0053,0566,0566,0465,2386,1
=+−−+−=
(рис. 3.3а):
кН·м
C
C
Т
1
а
а
Т
2
b
D
Т
2
Мх,
кН·м
c
=+++++−++= 02
cFcbFcbaRcbaFm
221
yycyyiD
.
465,2/])()2([
кН.
:
D
o
y
F
1y
C
R
Cy
R
Dy
D
F
F
2y
2y
Му,
кН·м
МР,
x
F
2x
D
R
Dx
o
R
F
1x
Cx
C
F
2x
а)
221
xxxDx
кН·м
Рис. 3.3
221
221
66
б)
=+++++−−= 0
cbaRbaFaFaFm
DxxxxiC
1826,0/
=+++−+= cbabaFaFaFR
xxxcx
,
кН.
02
=−++++−++−=
cFcbFcbaRcbaFm
221
xxCxxiD
9826,0/2
−=++−++++−= cbacFcbFcbaFR
,
кН.
Проверяем правильность определения реакций:
=++−+
=
∑
oxz
м
π
π
4
=
(
)
4
RFFRFF
DxxxCxxix
221
Реакции в плоскости
определены правильно.
Используя полученные данные, строим эпюры T,
(рис. 3.3б). Эпюра расчетного момента
моментов T,
M ,
M в точках DEBCA ,,,, .
х
у
M строится по значениям
p
.,,,,,
018260561056109826080
=++−−=
M ,
M , рM
х
Как видно из рис. 3.3б, опасное сечение находится в точке С вала,
так как в этом сечении
M принимает максимальное значение.
р
Следовательно,
M
p
=
W .см75,16м1075,16
[ ]
σ
=
3
мH1068,2
⋅⋅
6
Н
10160
⋅
2
−
=⋅=
336
Для вала с сечением в виде круга
D
3
см75,1632
2
3
=
см673,7 π .
==
2
W4
3
D
= см54,5см56,170
= ,
⋅
3
π
=
A
1
Для вала с сечением в виде кольца
3
75,1632
см
98,7
=
см, 12,7
d см,
656,01
22
⋅π=
2
01,3
.
D
=
3
32
W
( )
−π
=
4
]1[
C
d
=
A см
2
⋅
3
( )
−π
−π
dD
у
Отношение весов валов с круглым и кольцевым поперечными
сечениями
55,201,3/673,7/)/()(/
G
212121
===γγ== AAlAlAGGK
.
Получается, что в рассмотренном случае вал с поперечным
сечением в виде кольца в 2,55 раз легче, чем вал с сечением в виде
круга.
67
3.3. ЗАДАНИЕ К РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЕ
2
2
D
[
]
«РАСЧЕТ ВАЛА ПРИ ИЗГИБЕ С КРУЧЕНИЕМ»
В сечении А-А вала (рис. 3.4,а) приложены крутящий момент Т1 и
сила F1, действующая под углом
приложены крутящий момент
α . В сечениях В-В вала (рис. 3.4,б)
1
T
1
T = и сила
2
F
F = , действующая
1
2
под углом
α . Моменты Т
2
и Т2 имеют противоположные знаки. Вал
1
закреплен в подшипниках, которые рассматриваются как шарнирные
опоры.
Сечение А-А
y
T
1
α
F
1
1
a)
x
Сечение В-В
y
F
α
2
б)
x
2
Рис. 3.4
С использованием третьей теории прочности определить размеры
поперечного сечения вала в следующих случаях:
• поперечное сечение вала – круг радиуса R.
• поперечное сечение вала – кольцо с заданным отношением
d
c
= , где d, D – внутренний и внешний диаметры кольца.
d
Сравнить веса валов с найденными размерами поперечных
сечений.
Исходные данные приведены в таблице 3.1, схемы вала – на
рис. 3.5. При расчетах использовать
160=σ МПа.
68
A B B В В
B A A
1
B
А В В
B
A B B
B
B В В
A
A B B
B
A B B
B
B В В
A
А B B
B
B A A
B
B
c а
а
B
b
2
a
А
c а
B
b
3
B
c а
а
A
b
5
A
b
а
B
c а
7
b
A
c а
B
а
9
А
B
4
a
B
c а
A
b
6
A
a
b
c а
8
b
A
a
c а
B
10
B
B
a
b
а
c а
b
c а
Рис. 3.5
69
A B B B B
a
B B B A A
b a
а
b
A B B
a b
а
B
В В В
11
A
B A A
B
А
B B B
B B B
A
B A A
B
B B B
A
A B B
B
а
В
b
A
c а
12
B
a
b
c а
B
13
B
b
а
15
A
a
b
c а
c а
А
B
17
B
19
A
B
14
A
a
b
16
B
b
18
20
A
a
c а
B
c а
A
B
B
b
a
a а
Рис. 3.5 (продолжение)
70
b
a
b а
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]