Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет стержней на прочность, жесткость и устойчивость. Учебное пособие
.pdf
Геометрический смысл каждого из кано-
1
~
1
~
2
~
~
1
B
~
~
∑
′+′
~
Рис. 4.23
Рис. 4.24
~
а
C
~
C
C
а) б)
в)
A
M
0
Х
1
нических уравнений состоит в том, что перемещения точки А по направлениям неизвест-
ных усилий
X и 2X равны нулю. Эти усло-
вия должны выполняться, т.к. в исходной
системе в точке А – шарнирно неподвижная
F
D
B
опора.
4. Определение реакций опор. Рассмотрим
три схемы нагружения основной системы. На
E
q
первой схеме (рис.4.24а) на раму действует
сила 1
=X , на второй схеме – сила 1
=X
(рис.4.24б), на третьей – действуют заданные
внешние силы (рис.4.24в).
Рассмотрим схему, представленную на (рис.4.24а). Составим урав-
нения равновесия и найдем реакции опор.
Х
2
у
B
∑
'
R
B
A
1
а а
1
=Х
'
R
C
1
D
а
а
E
∑
х
H
−⋅−=
D
'
C
E
′
BC
+= .0
1 Cy
= .0
A
1
=Х
2
''
R
B
B
=⋅
aRaXM
. Следовательно .1
0
′
=
RXF .1
=
HRF .1'−=−=
CBx
R
C
''
′
C
'
C
F
D
''
H
C
E
XR
RН
B
M
0
A
R
B
q
R
C
′
−=−=
1
B
−=−=
ХR
Проверяем правильность определения реакций. Используем урав-
нение
′
∑
111
+⋅= .022
1
+⋅
′
′
+⋅
=⋅
aRaHaRaXM
CCBD
H
C
Подставляя в последнее уравнение значения сил
~
≡−+
−
~
~
∑
′
′+⋅′
′+⋅′
′
′′′′′
′
≡++
−
∑
a
∑
∑
∑
=−=⋅⋅−⋅+⋅−+
получаем
.022
aaaa
Реакции определены правильно.
Рассмотрим схему, представленную на (рис.4.24б). Составим урав-
нения равновесия и найдем реакции опор:
′′
∑
′′
=
∑
∑
Проверяем правильность определения реакций. Используем урав-
нение
RF
Cy
′′
+
=
−⋅−=
.0
=
′′
=⋅
~
,0
=+
= .022 aRaHaRM
Подставляя в уравнение значения сил ,,,
aa
Реакции определены правильно.
Рассмотрим схему, представленную на (рис.4.24в). Составим урав-
нения равновесия и найдем реакции опор:
0
M
0
R
B
BC
′′
BBC
′′
′′
−=
BCCBx
CCBD
.0022
8022
=⋅++ aqF
кН.
2,02
XRaRaXM
22
~
XRHXHRF
=⋅
RHR
CCB
=⋅⋅+⋅−⋅+=
aaqaRaFMM
1
.2
−=−=
.1
=−
22
получаем
022
,
′′′
RHRX
,,,
,
CCB
CCy
===−= 80,0
RHHRX кН.
BCCB
Проверяем правильность определения реакций.
0
Подставляя в последнее уравнение значения
ем
Реакции найдены правильно.
112
CCBD
=⋅+==+⋅−−= 502,02 aqFRRaqFF
кН.
=⋅⋅−⋅+⋅−⋅+= .0222
aaqaRaHaRMM
RHR ,, , получа-
CCB
9019012152502808010
.
01
5. Определение изгибающих моментов. Запишем выражения для
(
)
1
111
1
~
2
F
(
)
2
1
1
~
222
2
~
F
(
)
()(
)
~
()(
)
~
(
)
(
)
4
′
′
′
2
Рис. 4.25
~
~
изгибающих моментов для схем, показанных на (рис.4.25).
M
0
A
z
1
3
R
B
q
R
C
z
4
E
D
z
B
2
z
C
H
C
''
F
D
E
z
2
B
z
A
z
1
'
3
R
B
1
=Х
R
z
4
1
'
C
C
'
H
C
D
E
z
2
z
B
A
z
1
''
R
3
B
2
=Х
R
C
z
4
1
''
Участок АD
0 .
az ≤≤
C
H
C
Участок DB
Участок BE
+⋅−=
Участок CE
zRМ
⋅
−= ,
41
C
zzXМ −=−= , 0
0 .
aaXМ −=⋅−=
′
′′
+⋅=
,
≤≤ .
=M , mM
az ≤≤
aza 23≤≤ .
+−=−
+=−
az 20
zRM
⋅
−= ,
42
C
−= .
zzXM =⋅= , mM
′
BB
′′
BB
−= .
azRaazRaXМ
−
,
3311
azRzazRzXM
−
,
333322
2
z
4
qM
CF
zR
⋅−= .
4
BF
azRmM
−+−=
3
6. Вычисление коэффициентов канонических уравнений и решение
системы канонических уравнений. Используем формулу (4.37). С учетом величин внешних сил и реакций опор, обозначая через
i
длину каждого из участков рамы, получаем
113
.
)4,1( =il
11
[
]
2
aa
+++=
∫∫∫ ∫∫
3
0
2
)2(
dzazdzz
3
−+⋅−=
2
dzzRaRMzdzaMdzMz
BB
303
1405
−=
dzzRaRMazdzMz
))(2(
BB
33032
2
=
dzzdzzdzadzz
4
4
=
=
)2(
dzazzdzza
333
+−+++=
3
3
a
кН.
EJ
=
3
13
3
dz
2
3333
=
2
2
a
EJ
i
i
a
a
3
−=
=
10
3
=
22
=
19
.
7
−−=
a
EJ
2
a
a
EJ
+−−+−=
3
2
a
3
a
EJ
a
∫∫∫
3
)(
qaF
2
3
3
−+=
a a
⋅
MM
=δ
∑
=41
i
l
i
=δ
22
i
=δ=δ
2112
11
dz
EJ
∑
∫ ∫∫
=41
l
i
i
EJ 3
⋅
MM
EJ
⋅
MM
∑
=41
i
EJ
l
i
EJ 6
1
EJ
0
a
2
∫
a
1
EJ
2
zR
+−+
C
4
101
q
2
dzz
4
2
a
02
0
3
a
EJ
1
EJ
11
3
22
dz
EJ
21
dz
11
2
1
F
aa
0
4
2
F
0 0
i
11
3
i
4
=δ
∑
=
1
i
20
3
a
EJ
4
=δ
∑
=
1
i
a
2
2
1
7
3
1
EJ
+=
1
EJ
7
3
∫
l
i
2
13
6
∫
l
i
2
1
8
aaaa
+++= .
3
a
2
2
2
0
1
33
aa
=
3
a
0
333
aaa
3
−+−= .
⋅
MM
1
F
dz
EJ
a
∫∫∫
a
M
0
a
⋅
MM
2
F
EJ
∫∫
a
M
5
0
a
6
1
1
++−= кН.
3
qaF
3
114
Подставляя полученные коэффициенты в систему канонических
EJ
673
310326
1
2
~
~
1
~
~
~
≡+−
−
3
уравнений (4.41) и сокращая на величину
a
, получаем
19
7
Решая эту систему уравнений, находим 26,31
7,49
=X кН.
7. Деформационная проверка правильности полученного решения.
Сделаем частичную деформационную проверку правильности полученного решения. В рассмотренной задаче, шарнирно-неподвижная
опора в точке С препятствует горизонтальному и вертикальному перемещениям. Выберем новую основную систему таким образом, чтобы освободилась горизонтальная связь в точке С (рис. 4.26.). Прило-
жим в этой точке горизонтальную единичную силу
лим перемещение в направлении
правильно, то горизонтальное перемещение в точке С должно рав-
няться нулю, т.е.
C
гор
Определим реакции опор в новой основной системе (рис.4.26.):
′′′
∑
∑
∑
Проверяем правильность определения реакций.
∑
Подставляя в это уравнение значения
Реакции определены правильно.
=
~
′′′
=
′′′
=
−= .022
=−
3
′′′
=
−
′′′
140
=− XX кН,
21
−=+− XX кН.
21
X
. Если силы
3
XX
=⋅−⋅
3
′′′
HXHF
AAx
′′′
RRRF
AACy
+⋅−⋅
3
aaa
=X кН и
=X
1 и опреде-
3
X и 2X найдены
.0
=δ+δ+δ=δ
3232131
=
=
′′′
CAD
,
(4.42)
F
′′′
=
RaXaRM
.1,0
.2,02
CCA
.2,0
=⋅
aRaXaRM
′′′′′′
RXR
,
, получаем
CA
3
.0422
115
~
′′′
A
′′′
′′′
(
)
1
(
)
2
(
)
(
)
4
Рис. 4.26
~
R
A
z
H
''
R
4
''
A
''
C
C
3
1
=Х
E
D
B
A
у
х
C
D
z
1
z
2
a
z
3
B
a
E
2a
A
a
Запишем по участкам, выражения изгибающих моментов от силы
1
=X и реакций AH
3
Участок AD
Участок DB
Участок BE
Участок CЕ
,
R
и
R
.
C
0 .
0 .
az ≤≤
az ≤≤
aza 23≤≤ .
az 20
≤≤ .
= .
A
3
3
3
'''
zRM
13
+= .
+= .
'''
zRMC= .
4
''''''
zHaRM
2
AA
''''''
zHaRM
3
AA
Используя интегралы Мора, определим горизонтальное перемеще-
ние точки С и проверим выполнение уравнения (4.42).
C
гор
4
X
∑
1
1
i
X
EJ
MM
∫
l
1
31
1
EJ
i
0
EJ
X
a
2
a
a
0
4
Xdz
∑
2
= ==
i
2
1
11
2
−+−
333
2222
MM
∫
EJ
1
l
i ii
aa
∫∫
0
a
2)2(
∫∫
a
a
2
2
dzzdzzaz
4
4
∫∫
a
dz
4
∑
i
1
i
dzzaadzz
)2(2
22
MM
332
F
∫
EJ
l
−+−−⋅=
+
+−−+⋅+
−
dzzaazdzzaz
)2)(2()2(
333
dz
=+⋅+⋅=δ
i
116
1
Рис. 4.27
2a
2a
1
−
EJ
0
a
2
( ) ( )( )
a
83
1
3
a
3
6
26.31
83
3
2
6
aa
( )
22
∫∫
101
0
a
2
22
BB
27
3
2037.49
3303
27
∫∫
0
10
31
0
6
31
⋅−⋅+⋅+⋅−=
16
⋅
33
3
−+−
dzzaMdzMz
220
2
z
4
−+−++−
qzRzdzzRaRMza
C
44
2
31
aqaMaFaXaX
3
131
⋅
15
⋅+
3
=
dz
4
42
=⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−=
0
≡
Частичная деформационная проверка правильности полученного
решения выполняется.
Дальнейший расчет производится как для обычной статически оп-
ределимой рамы. Реакции отброшенных связей
X и 2X рассматри-
ваются как внешние нагрузки.
8. Построение эпюр внутренних силовых факторов и подбор сече-
ния рамы. Рассмотрим стержневую систему, представленную на рис.
4.27.
Определим реакции опор:
B
M
0
A
X
X
2
1
a
q
C
R
C
R
B
H
F
D
z
C
E
B
2
z
3
A
z
1
M
0
X
2
X
1
q
C
H
R
C
C
z
4
F
D
a
a
E
B
M
0
A
X
a
X
1
q
F
2
D
a
R
B
a
C
E
117
2
a
B
∑
1
−
=
−
=
−
=
=
=
=⋅+⋅−⋅−⋅++⋅=
∑
∑
210
M
FR
B
0
210
210
qaXX
222
+−++= , 66,50−=
21
2
2
BC
R кН.
RXHHRXF кН.
22 BCCBгор
CC
aqaRaXaXMaFM
=−−==++= 96,0,0
=⋅+⋅+⋅−⋅−⋅+=
aHaRaqaXaXMM
CCB
74,182/)2(
=⋅−⋅+⋅+⋅−−= aaHaqaXaXMR
кН.
Проверяем правильность определения реакций:
∑
10
6,8066,80
≡−=
.06
2
2
=⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+=
aRaHaqaRaXMM
CCBD
1274,181296,01215166,50126,3110
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅−⋅+
Реакции определены правильно.
Для построения эпюр MQN ,, , с учетом рис. 4.27, запишем их
выражения по участкам и подсчитываем значение в точках.
(0 ≤≤
Участок АD
== XN кН, 26,31
2
При 0
=z 10
1
=1z 1 м 26,41
7,49
z 1 м).
1
== XQ кН,
M кН·м;
M кН·м.
zXMM ⋅−−= .
110
.0222
,022
,0222
Участок DB (0 ≤≤
=−= PXN кН, 7,492−=−= XQ кН,
1
При 0
=z 26,41
2
=2z 1 м 44,8
Участок ВЕ (1 м ≤≤
=−= FXN кН,
1
При =
z 1 м 44,8
3
118
z 1 м).
2
26,11
.
zXaXMM ⋅+⋅+−=
2210
M кН·м;
M кН·м.
z 2 м)
1
26,11
B
M кН·м;
2
−+⋅+⋅−−=
33210
кН,
96,0
−=−−=
RXQ
B
).(
azRzXaXMM
=3z 2 м 48,7
−
=
−
=
=
=
=
W
м/Н
⋅
2
2
49,7
11,26
18,74
41,26
M кН·м.
Участок СЕ (0 ≤≤
При 0
=z 74,18
2
=2z 2 м 26,11
96,0==CHN кН,
z 2 м).
2
qzRQ
+= , .2/
C
Q кН·м 0
Q кН·м 4,11
4
M ;
M кН·м.
2
zqzRM
⋅−⋅=
C
44
Используя данные, строим эпюры MQN ,, (Рис. 4.28).
По эпюре изгибающего момента M определяем опасное сечение,
в котором 26,41
11,26
11,26
=M кН·м.
max
N, кН
0,96
0,96
49,7
31,26
Q, кН
41,26
10
M, кН
8,44
7,48
Рис. 4.28
M
Из условия прочности
max
max
[ ]
σ≤=σ
находим величину момента сопротивления
3
1026.41
⋅
6
10160
⋅
мН
2
W
M
max
x
[ ]
σ
=
≥
x
W :
x
6 33
−
=⋅=
Так как сечение состоит из двух швеллеров, определяем величину
момента сопротивления для одного швеллера:
W
1
x
W .см94,128
х
==
88,257
=
3
По таблице сортамента вбираем швеллер №18а, для которого
1
132=
W см
x
119
3
.
.см88,257м1088,257
5. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ПРОЧНОСТЬ
И УСТОЙЧИВОСТЬ
Приведем сведения необходимые для расчета на прочность и ус-
тойчивость статически неопределимой стержневой системы. При расчете необходимо с использованием метода сил раскрыть статическую
неопределимость системы, рассчитать стойку (вертикальный стержень) на устойчивость, а балку (горизонтальный стержень) на прочность. Основные данные по расчету статически неопределимых систем представлены в главе 4, необходимые сведения по расчету балки
при изгибе – в главе 2.
5.1. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
Практика эксплуатации конструкций показала, что в некоторых
случаях выполнение расчетов на прочность и жесткость оказывается
недостаточно для обеспечения надежности конструкции. Так, при
F
F
а)
Рис. 5.1
120
б)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]