Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет стержней на прочность, жесткость и устойчивость. Учебное пособие
.pdf
22
1
EJ
1
EJ
0
В
А
ll
1
0
С
∫ ∫∫
1
22
В
22
222
D
++=δ
2
C
2
l
∫∫∫
l
=
dzММdzММdzММ
3
22
=−−+−−+⋅=
)))(())((00(
dzzzdzzzdz
333
1
EJ
1
EJ 3
3
1
EJ
0
1
EJ
2
1
l
2
EJ
0
1
EJ
133
В
А
2
1
EJ
0
22
ll
++=
ll
2
0
FF
7
+=
3
ll
13223
0
3
−−=
2
5
l
2
l
2
111111
⋅+⋅+⋅=δ
∫∫∫
l
С
∫ ∫∫
В
333
lll
8
3
2
8
==
.
EJEJ
l
2
∫∫∫
22
l
222
lll
2
.
−=−=
⋅−+⋅−+⋅=δ=δ
1)(1)(10
=
dzzdzzdz
33
EJEJ
2
2
.
1
( )
EJ
++=δ
l
∫∫∫
l
111
dzldzldzz
⋅+⋅+⋅=δ=δ
=
3
l
3
lll
3
.
==++=
EJEJ
D
C
=
dzММdzММdzММ
FF
3121111
ll
113113
0
2
5
==
2
EJEJ
dzdzdz
3
101
l l
EJ
0
∫ ∫
1
=
1
EJ 6
EJ
1
EJ 3
1
EJ
Подставляя найденные выражения коэффициентов в систему кано-
нических уравнений (4.38) и сокращая уравнения на величину
0 0
l
EJ
1
ql
2
∫
l
4
ql
В
А
1
EJ
2
l
( ) ( )
∫
l
4
8
F
2
∫
l
ql
4
ql
+−−=
FF
l l
00
∫ ∫
0 0
3
19
12
l l
1
∫ ∫
EJ
0 0
l
1
3
3
ql
+−−=
ldzz
11
−−+
zqll
26
С
∫ ∫∫
В
−−−+
zqlz
5
34
Flql
−+=
6
dz
13
l
−−⋅+
zql
2
26
qz
−+⋅⋅
l
2
( )
zdz
l
2
101
7
6
2
2
2
( )
qlFl
7
EJ
6
−−+⋅⋅=
21
ql
41
EJ
24
−⋅+⋅=δ
( )
qlFl
EJ
dz
qz
−+
qz
−+
2
Fl
5
6
dz
=
dzlzF
333
343
19
−=+−=
.
EJEJ
=
dzММdzММdzММ
DF
3222122
+
dz
2
=
dzlzF
333
34
Fl
13
=−=
.
EJEJ
+
2
=
333
+
2
−+
1
2
D
++=δ
C
2
2
2
2
2
dzlzF
232
1
Fl
2
19
−=+−=
.
6
EJEJ
1
,
получаем
102
7
1
1
~
4
1
~
4
∑
A
~
4
A
A
А
D
3
5
2
Решая эту систему уравнений, определяем
17,0
−=X кН, 7,12−=X кН, 06,0
7. Деформационная проверка правильности полученного решения.
Проверка основана на том, что при правильно найденных значениях
X , 2X ,
связей должны равняться нулю. Проведем деформационную проверку.
Опора в точке D препятствует горизонтальному, вертикальному перемещениям и
повороту сечения стержня. Выберем новую
основную систему, чтобы освободилась
вертикальная связь в точке D (рис.4.17.).
Приложим в этой точке вертикальную
единичную силу 1
X , перемещения в направлениях наложенных на систему
3
=X и определим пере-
2
2
8
3
5
XX
2
l
2
32
XXX
19
=+−
19
6
,
6
13
−=−+−
3
.
,
=X кН.
3
Рис. 4.17
X
321
XXX
321
=+−
321
мещение в направлении этой силы. Если силы
правильно, то вертикальное перемещение в точке D должно равняться
нулю, т.е.
D
верт
Определим реакции опор от силы 1
ную систему (рис.4.18).
Из уравнения
103
= 0
M , следует, что .2,02
=X , используя новую основ-
XXX
X , 2X ,
=δ+δ+δ+δ=δ
4343242141
F
X найдены
3
.0
(4.39)
''
lMMlX
==−⋅
Проецируя силы на горизон-
∑
A
~
4
A
A
~
4
~
AAA
~
4
AAA
(
)
A24
′
(
)
2
224
A
A
′−′
(
)
′
~
1
Рис.
4.18
'
M
A
'
H
A
C
z
3
B
z
2
z
'
R
A
А
D
4
=Х
тальную ось, составляем уравнение 0=
1
Н
Х и определяем
i
'
.0
=
Проецируя силы на верти-
кальную ось, получаем
''
==−
RRX
.1,0
Проведем проверку правильности определения реакций. Составим уравнение моментов относительно точки С:
'''
=++−=
lHlRMlXM
∑
4
Подставив в это уравнение значения
.0
AAAС
'''
,,,
HRMX , можно убедит-
ся, что оно тождественно удовлетворяется:
′
′
+
− lllllHlRMlX
′
+
00121
=++−=
Реакции опоры определены правильно.
Для вычисления коэффициентов уравнения (4.39) запишем по уча-
Участок АВ
Участок ВС
Участок СD
0 .
lz ≤≤10 . lMM
lz ≤≤
lzl 23≤≤ .
= .
= .
= .
Определим вертикальное перемещение точки D.
D
В
1
EJ
1
EJ
А
В
А
X
X
104
С
∫ ∫∫
В
С
∫ ∫∫
В
XXX
D
++=
C
+++
=
2 zlzRMМ
−=⋅
2 zlzMМ
−=⋅
A
=δ+δ+δ+δ=δ
F
4343242141верт
dzММdzММdzММ
D
C
334
+
3142141141
+
dzММdzММdzММ
3242241242
В
1
1
EJ
EJ
А
В
А
F
X
С
∫ ∫∫
В
С
∫ ∫∫
В
D
+++
C
D
+++
C
(4.40)
+
dzММdzММdzММ
3342341343
.
dzММdzММdzММ
FF
342414
С учетом выражений для моментов и формулы (4.40), получаем
2
D
верт
X
1
EJ
X
X
EJ
1
EJ
0
ll
12
0
1
0
1
EJ
2
l
∫
l
0
13
20
0
−−+
zql
ll
111
0
222
ll
0
ll
−+⋅+
∫∫
1
0
l
( )
2
22
2
z
2
qdzl
2
−+
l
−+−+⋅=δ
)2()2(2
∫∫∫
22
l
2
l
∫∫∫
l
2
l
−⋅+−⋅+⋅+
∫∫∫
l
)2(
dzzl
22
dzzlldzzlldzlz
3
3
−−+−−+⋅+
dzzlzdzzlzdzl
3
33
+
)2(1)2(121
dzzldzzldzl
3
3
+−
−
333
.)2(
dzzllzF
3
Вычисляя интегралы, находим
D
верт
l
EJ
3
3
4
XX
21
3
X
15
3
4
l
24
1
+−⋅+−=δ Fql
.
6
Подставляя в последнюю формулу числовые значения, получаем
D
верт
1
EJ
4
17,03
3
15
06,047,1
24
3
.
4
+⋅−⋅+⋅+⋅−=δ
0
=
6
Частичная деформационная проверка выполнена. Вертикальное
перемещение точки D равно нулю.
+
+
105
4.6. ЗАДАНИЕ К РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЕ
«РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ
СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ»
Стержневая система состоит из жестко соединенных между со-
у
бой прямолинейных стержней. Каждый из
стержней составлен из двух стандартных
швеллеров и имеет поперечное сечение, показанное на рис.4.19.
х
Для расчета системы выполнить следую-
щее:
1. В соответствии с номером варианта и
Рис. 4.19
При расчетах полагать Е = 2·10
шифром выбрать расчетную схему (рис. 4.20)
и исходные данные (табл. 4.1).
5
МПа, [σ] = 160 МПа.
2. Раскрыть статическую неопределимость рамы.
3. Выполнить деформационную проверку.
4. Построить эпюры N, Q, M и подобрать сечение рамы.
Т а б л и ц а 4.1
№ F
кН
q
кН/м
М
кНм
а № F
0
кН
q
кН/м
М
кНм
0
1 20 10 20 1,0 6 45 20 20 2,0
2 25 12 30 1,5 7 50 12 30 1,0
3 30 14 40 2,0 8 20 14 40 1,5
4 35 16 50 1,0 9 30 16 50 2,0
5 40 18 60 1,5 10 40 18 60 1,0
а
106
a
a
F
a
a
F
a
a
F
F
a
a
a
a F
a
a
F
a
F
F
a
a F
a
a
a
a
F
Рис.
4.20
1
q
a
a
М0
2
q
a
a
М0
3
a
М0
q
a
5
М0
a
a
q
7
a
a
9
М0
q
a
a
q
М0
8
10
6
4
М0
М0
М0
a
a
a
q
a
2a
q
a
q
a
a
2a
М0
q
107
a
a
F
a
a F
a a
F
a
a
a
a
F
a
a a
a a
F
a
a
a
a
F
a
a a
a
F
a
a a
F
a
a
a
F
a
a a
a
F
Рис.
4.20
(продолж
е
ние)
11
q
12
М0
a
a
М0
15
13
q
М0
a
q
М0
17
М0
q
14
16
18
q
М0
a
q
a
М0
q
q
М0
19
q
М0
108
20
q
2a
a
2a
М0
F
a
a
F
a
a
F
a
a
a F
a a
a a
a
F
a
a a a
F
a
a a a
F
a
a a
F
a
a a
a
F
a
a a a
F
23
21
М0
q
М0
q
24
22
a
М0
q
a
q
a
М0
25
М0
q
27
q
М0
2a
29
М0
a
q
2a
Рис. 4.20 (продолжение).
26
28
30
М0
a
М0
М0
2a
q
q
q
2a
109
4.7. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ
=
=
=
=
σ
=−=−=
1
Рис. 4.21
Рис. 4.22
А
РАБОТЫ
Выполним расчет стержневой системы, показанной на рис.4.21,
при 10
=M кН·м, 20
0
F кН, 15
q кН/м, 1
a м, 160][
МПа.
1. Вычисление степени статической неопределимости системы. В
данном случае на систему наложено пять внешних связей (В = 5). Так
как у рассматриваемой системы нет замкнутых контуров и встроенных шарниров, то степень статической неопределимости определяется
по формуле 2353
BN .
2. Выбор основной и эквивалентной систем. Отбрасывая две до-
полнительные связи - убирая шарнирно-неподвижную опору в точке
А, получаем основную систему (рис.4.22).
M
F
a
D
a
B
0
a
E
2a
q
С
Взамен дополнительных связей в точке А прикладываем неизвест-
ные силы
X и 2X . Добавляя к схеме заданные внешние силы, полу-
чим эквивалентную систему (рис.4.23).
3. Запись системы канонических уравнений метода сил. Для опре-
деления усилий в дважды статически неопределимой системе используем систему канонических уравнений
0
XX
XX
110
=δ+δ+δ
,
1212111
F
2222221
(4.41)
=δ+δ+δ
.0
F
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]