Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчёт конструкций на упругом основании. Учебно-методическое пособие для студентов строительных специальностей
.pdf
51
Ео- модуль деформации основания;
o
ijijij
ij
o
ij
F
cE
0
2
0
1
- коэффициент Пуассона для основания;
0
F - безразмерная функция влияния для осадки от единичной нагрузки,
зависящая от отношения х/с и в/с.
Величина F для различных значений х/с приводится в табл. 4 (приложения).
Таким образом, вычисляются все коэффициенты матрицы податливости основания. В случае симметричного расположения опорных стержней относительно
середины балки можно ограничиться вычислением верхнего треугольника
матрицы.
Следует заметить, что упругое основание считается здесь однородным, а
единичная нагрузка распределяется равномерно по площади прямоугольника
размерами "b" и "с" , где b - ширина балки, с - расстояние между условными
стержнями.
4.6. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Согласно рис.16, перемещения слагаются из перемещений от осадки
основания и от изгиба балки. Таким образом, перемещение по направлению силы
хi, от единичной силы, приложенной в направлении хj, равно:
, где
(для пространственной задачи) ,
Коэффициенты податливости балки можно определить с помощью интеграла
Мора с учётом изгибных и сдвиговых деформаций:
52
dx
GA
QQ
dx
EI
MM
jiji
ij
,
EI
c
ij
ij
6
3
ij
Или с использованием формулы Жемочкина (но без учёта сдвига):
, здесь
единичный прогиб, приведенный в таблице [2 ].
Канонические уравнения составим, исходя из условий, что суммарные
перемещения по направлению каждого разрезанного стержня равны нулю. Эти
перемещения зависят от сил xi от осадки " уо" , причем положительному уо
соответствует перемещение по направлению сил x
; от угла поворота
i
о
(положительный угол вызывает перемещение по направлению сил х ) и , наконец,
от действия внешней нагрузки.
Если обозначить расстояние от точки i до условной заделки αi , то
перемещение в направлении силы xi, вызванное углом поворота, равно α i о
Система уравнений для схемы с четырьмя опорными стержнями и фиктивной
заделкой на левом конце балки (рис.35) будет иметь вид:
11 х
41х
х
х
+
1
+ 22 х2+
21 х1
31х1
+
1
+ х2 + х3 + х4 – Σ Р = 0
1
+ х
1α1
12х2
+
х
42
2α2
+
32 х2
+
2
+ х
13х3
23
43
3α3
+
х
3
+
х
+
3
+ х
14х4
+
33х3
4 α4
24 х4
+
44 х4
- Σ М
+ y
+ y
34х4
+ У
+ α
0
0
0
р
+ α
+ y
+ α
= 0
+ Δ
1
0
+ Δ 2p = 0
2
0
+ α
0
3
+ Δ 4p = 0
4
0
= 0
1p
+ Δ 3p = 0
0
Последние два уравнения отражают ту мысль, что сумма проекций всех сил на
вертикальную ось равна нулю и сумма моментов в сечении, где введена заделка,
также равна нулю (ведь в действительности этой заделки нет).
53
а) б)
с
с
с
с
X3
X2
X1
0
y
0
X4
Рис. 35. Схема балки с четырьмя опорными стержнями (а) и принятая для неё
основная система смешанного метода (б)
Так как в основной системе, изображенной на рис.35, балка и упругое
основание отделены друг от друга, то усилия от внешних нагрузок, приложенных
к балке, возникают только в балке, т.е. Δ
вычисляем, построив эпюру М р для
i p
консольной балки с заделкой, и перемножив ее на соответствующие единичные
эпюры М 1 , М
и т.д. В случае, если нагрузка сведена к сосредоточенным силам,
2
приложенным в местах приложения xi , работа по определению Δip упрощается.
Будет достаточно домножить соответствующий коэффициент ij для балки на
величину сосредоточенной силы (рис.36,а):
Рис. 36. К определению перемещений от внешних нагрузок (а), расчётная
схема балки с реактивными силами со стороны упругого основания (б)
54
Δ
Δ
1
( -Р1 )+ 13( -Р2 );
р=12
=
2
р
(- Р1 )+ 23(-Р2), и т.д.
22
Знак «минус» учитывает разное направление сил Хi и Рj.
Решая полученную систему уравнений, определяем неизвестные опорные
реакции Хi , после чего строим эпюры М и Q обычным способом, как для балки,
изображённой на рис. 36,б.
Следует отметить, что Жемочкин Б.Н. рекомендует использовать свойства
симметрии системы и замену несимметричной нагрузки на симметричную и
кососимметричную, что позволяет уменьшить количество неизвестных путем их
группировки.
Пример расчета фундаментной балки на упругом основании с
использованием метода Жемочкина приведён в приложении.
55
5. УЧЁТ УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ ЖЕМОЧКИНА
В МАТРИЧНОМ РАСЧЁТЕ БАЛОК ПО МЕТОДУ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Анализируя рассмотренные методы расчета грунта на упругом основании, не
можем не отметить, что и расчет на постели Винклера, и метод Жемочкина имеют
всё-таки ряд существенных недостатков, хотя в каждом из них есть и
несомненные достоинства:
- учет Винклеровского основания неточен для связных грунтов, но в этом
методе просто формируется матрица жесткости балки и вектор усилий.
- метод Жемочкина дает более точное решение для грунта, но есть сложности
с определением коэффициентов податливости балки, и особенно – с вычислением
свободных членов канонических уравнений при учете сосредоточенных моментов
и распределенных нагрузок.
Возможно ли соединить достоинства этих методов, избавившись от их
недостатков? Эта проблема в своё время была решена на кафедре Строительных
конструкций АТИРПиХ (г. Астрахань) под руководством к.т.н. Сапожникова А.И.
Рассмотрим предварительно вспомогательную задачу. Очевидно, что при
загружении системы «балка - упругое основание» прогибы получат и балка, и
основание. И в балке, и в основании возникнут упругие реакции, которые в сумме
будут равны приложенной нагрузке; т.е.
()
r
ij
= r
ij
Также очевидно, что общая податливость системы не будет равна сумме
податливостей балки и основания, т.е. ≠
этом случае является общей для балки и основания (рис. 37а). Следовательно,
+ r
(0)
ij
ij
()
+
(0)
т.к. линия прогиба в
ij
матрицы жесткости складывать можно, а матрицы податливости - нельзя.
Матрица жесткости балки (рис.37б) составляется согласно п.3.2.5 для
основной системы с линейными и поворотными связями.
56
а) б)
1
j
i
б ji =б ji
б
0
0
б
б ii=б jj
1
2
j
1
2
3
4
2n-1
2n
n
Рис. 37
Повысим точность расчетов, введя в рассмотрение участки грунта длиной
" L" слева и справа от балки (рис.38).
Зона 1 Зона 2 Зона 3
1 2 3 n
1 2 3 4 n n
L L L
3L
Рис. 38
Расширенная матрица податливости ||
0
расшир. || будет иметь порядок 3n х
Зn.
Эта матрица будет симметрична относительно главной и побочной
диагоналей, что несколько упрощает ее составление.
Расширенная матрица податливости в дальнейшем, при вычислении матрицы
жёсткости, повышает точность расчетов.
Чтобы получить матрицу жесткости системы, нужно предварительно
выполнить ряд операций:
- получить матрицу жесткости балки:
57
|| R6 || , порядок 2n x 2n
1зона 2зона 3зона
- получить обратную матрицу для ||
||R0 расш.|| = ||
0
расшир.||
0
|| расширенной:
- 1
Эта матрица будет состоять из девяти блоков: Расширенная матрица
податливости ||
0
расшир. || будет иметь порядок 3n х Зn.
Эта матрица будет симметрична относительно главной и побочной
диагоналей, что несколько упрощает ее составление.
Расширенная матрица податливости в дальнейшем, при вычислении матрицы
жёсткости, повышает точность расчетов.
Чтобы получить матрицу жесткости системы, нужно предварительно
выполнить ряд операций:
- получить матрицу жесткости балки:
|| R6 || , порядок 2n x 2n
- получить обратную матрицу для ||
0
|| расширенной:
||R0 расш.|| = ||
0
расшир.||
- 1
Эта матрица будет состоять из девяти блоков:
|| R
0
расш.|| =
(Зп х Зп)
1зона 2зона 3зона
Самая большая погрешность на периферии этой матрицы, наибольшая
точность в центре. Заштрихованный блок относится к зоне 2 (участку под
балкой).
58
- центральный блок используем в качестве ||R0||, введя нулевые строки и
столбцы, соответствующие поворотным связям.
- вычислить матрицу жесткости системы || R || = ||Rб|| + ||R0|| , порядок
(2n x 2n)
Дальнейший расчет обычный:
||R|| . {V}={P}; {V} = ||R|| -1 {P}
Вектор {Р} составляется согласно п. 3.2.6
Получив вектор смещений, общий для балки и основания, можно вычислить
усилия, действующие на балку со стороны упругого основания:
{Pб} = ||R|| б . {V}
Рис.39
Построение эпюр М и Q в балке теперь можно выполнить методом сечений.
59
6. РАСЧЁТ ПЕРЕКРЁСТНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ НАБОРОВ,
В ТОМ ЧИСЛЕ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
К перекрёстному стержневому набору можно отнести любую рамную
конструкцию, работающую на изгиб из плоскости, например, ленточный
фундамент, состоящий из продольных и поперечных лент, при его работе на
вертикальную нагрузку; структурные покрытия большепролётных зданий,
состоящие из пересекающихся продольных и поперечных ферм; балочное
перекрытие сложной формы в плане при любом способе опирания – по контуру
или на точечные опоры и т.д.
6.1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И ЗАДАЧА РАСЧЕТА
Данные для выполнения работы
Расчетные схемы к РПР разрабатываются студентом применительно к
объекту, проектируемому в дипломной работе.
Содержание работы
Для заданной расчетной схемы перекрестного набора определить
перемещения узловых точек и внутренние усилия в стержнях, вызванные
внешними нагрузками. Распределенную нагрузку при этом свести к
сосредоточенным силам и моментам.
Выполнить исследования по индивидуальному заданию.
6.2. МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ, РЕАЛИЗУЕМЫЕ В
РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЕ
Расчет перекрестного набора на упругих опорах выполняется по методу
конечных элементов (МКЭ). В качестве конечных элементов принимаются
стержни, имеющие по два обобщенных перемещения на каждом конце элемента.
Основная система МКЭ образуется наложением на каждую узловую точку связей,
препятствующих смещению из плоскости стержневой конструкции и угловому
60
перемещению от изгиба стержней (если в узловой точке сходятся стержни двух
направлений, следует накладывать одну линейную и две поворотные связи).
Система разрешающих уравнений МКЭ в матричной форме имеет вид:
||R||×{V}={P},
где: |R|| – матрица жесткости системы, имеет порядок n×n (n – общее число
связей основной системы);
{V} – вектор перемещений в направлении наложенных связей, имеет порядок
n;
{P} – вектор нагрузок, имеет порядок n;
Матрица жесткости перекрестного набора на упругих опорах вычисляется по
формуле:
||R||=||Rc||+||Ro||,
где: ||Rc|| – матрица жесткости стержневой системы, имеет порядок n×n;
матрица составляется из матриц жесткостей отдельных конечных элементов (КЭ)
на основе матрицы индексов;
||R0|| – матрица жесткости упругих опор, имеет порядок n×n;
R
… О … О
01
… … … … …
|| R о|| = О … R
… О кН/м, (13)
oi
… … … … …
О … О … Rоn
где R
связи.
- коэффициент жесткости основания в направлении i-ой наложенной
oi
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]