Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчёт конструкций на упругом основании. Учебно-методическое пособие для студентов строительных специальностей
.pdf
21
1
f
= 1
1
2
3
4 6
5 2 n - 1
2 n
n
2 n
2 n - 1
n
3
4
5
6 2
1
6 E I
l
2
1
6 E I
l
2
1
4 E I
l
1
2 E I
l
1
э п . М
2
э п . М
1
1
f
= 1
2 n
2 n - 1
2 n
2 n - 1
1
2 4
3
8
7
5
6
7
8
3
4
1
2
5
6
6 E I
l
2
2
6 E I
l
2
2
6 E I
l
2
3
6 E I
l
2
3
2 E I
l
2
4 E I
l
2
4 E I
l
3
2 E I
l
3
э п . М
6
э п . М
5
Рис.14. Схемы деформаций и соответствующие им эпюры
а – при смещении крайних связей;
б – при смещении средних связей
изгибающих моментов в О.С. 2
На рис. 14 видно, что при наличии поворотных связей упругая волна,
22
возникающая в балке при смещении какой либо из связей, распространяется не
11
r
12
r
13
r14
22
r
23
r
24
0
33 r34
r35 r36
44 r45
r
46
r55 r56
r
57 r58
r
2
n –
1, 2n-1 r2n-1,2
n
CИММ.
r
2n, 2n
более чем на один пролет влево и вправо от смещаемой опоры. Таким образом,
реакции возникают не более чем в четырех (при смещении крайней связи) или
шести (при смещении средней) связях. Следовательно, в каждой строке матрицы
жесткости балки будет соответственно четыре или шесть последовательно
стоящих ненулевых реакций, поэтому МЖ балки будет иметь полосовую
структуру с шириной полосы, равной... Впрочем, вычислите сами, зная, что
ширина полосы - максимальное число значимых элементов строки, считая от
главной диагонали вправо, т.е. в верхнем треугольнике МЖ. Следовательно, МЖ
балки будет иметь вид:
|| Rб || =
(2n x2n)
Вычисление коэффициентов r
проводится по обычным правилам метода
ij
перемещений. Для коротких высоких балок – балок-стенок желательно учитывать
также сдвиговые деформации. Таблица стандартных элементов метода
перемещений с учётом деформаций сдвига приведена в [11]. Правило знаков при
определении r
согласно рис.15: положительными считаются реакции,
ij
действительное направление которых совпадает с указанным на рисунке.
Какой же вид будет иметь матрица жесткости упругого основания в этом
случае? Анализируя схемы деформаций на рис. 14, замечаем: изменение длины
пружинок (а следовательно, появление реакций упругих опор) происходит только
при смещении линейных связей. Таким образом, МЖ основания:
23
2i
r4i
r1i r3i
R
01
0 0
R 02
0
R03
0
.
.
.
0 .
R
0
n
0
|| R о|| =
(2n х 2n)
Rоi, - реакция упругой опоры, равна коэффициенту линейной жесткости i - той
опоры (см.п.3.2.2).
Рис.15. Положительное направление реакций в наложенных связях
Определите самостоятельно реакции наложенных связей в балке, рассмотренной на рис.14. Вы должны получить следующие результаты:
r
= 12EI / ℓ
11
r22 = 4 ЕI / ℓl ; r23 = - 6 ЕI / ℓ
r55 = 12 EI / ℓ
3
; r
1
21
3
+ 12 El / ℓ
2
= 6 EI /ℓ
2
; r
1
3
3
= -12 Е1/ℓ
31
2
; r24 = 2 ЕI / ℓ1;
1
; r56 = - 6 El / ℓ
r66 = 4 EI /ℓ2 + 4 EI / ℓ
.
3
3
; r
1
= 6 Е1/ℓ
41
2
+ 6 El / ℓ
2
2
;
2
;
3
24
3.2.6. СОСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА НАГРУЗОК
Матричная запись метода перемещений для одного загружения имеет вид:
||R||{V}+{Rp} =0, (9)
т.е. должен быть сформирован вектор усилий в наложенных связях от
внешней нагрузки. Мы же ведем речь о векторе нагрузок. Дело в том, что при
выборе расчетной схемы балки на упругом основании в п.3.2.1. мы ввели
дополнительные условия:
- сосредоточенные нагрузки должны быть приложены в узловых точках;
- распределенные нагрузки должны начинаться и заканчиваться в узловых
точках.
При соблюдении первого условия реакции в наложенных связях будут равны
соответствующим внешним нагрузкам, взятым с обратным знаком, т.е. R ip = - Р ,
а при выполнении второго условия распределенную нагрузку можно будет
свести к узловым силам и моментам, вычислив предварительно соответствующие
реакции с использованием таблиц стандартных элементов метода перемещений.
Таким образом, {Rp} = - {Р} , и уравнение (9) в этом случае запишется в виде:
|| R || • {V} = {Р}
При составлении вектора нагрузок следует руководствоваться следующими
правилами:
- если в направлении наложенной связи нагрузка отсутствует, ставим "0";
- положительными считают сосредоточенные силы, направленные вниз, и
моменты, направленные по часовой стрелке;
- размерность нагрузок должна соответствовать единицам измерения,
принятым для изгибной и сдвиговой жесткости балки и линейной жесткости
упругих опор.
25
3.2.7. ПРИМЕР РАСЧЁТА БАЛКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
ℓ1, м
ℓ2, м
ℓ3, м
Р, кН
q,
кН/м
Е10-4,
МПа
b, м
М,
кНм
k п,
Мн/м
3
h, м
1,5
2,1
2,1
10
55
2,8
1,2
90
12
0,4
ВИНКЛЕРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММЫ БУ-2
(автор программы - доц. Гуляев Е.А., обработка под Windows - Кузьмин И.А.).
Программа предназначена для вычисления осадок и реакций в упругих
опорах, изгибающих моментов и поперечных сил, вызванных нагрузками,
действующими в узловых точках.
Исходными данными являются:
- информация о балке (число и жёсткости упругих опор, длины пролётов и
жёсткости поперечных сечений);
- информация о нагрузке (число загружений, нагрузки по каждому
загружению).
Расчёт по программе БУ-2 может выполняться с учётом и без учёта сдвиговой
жёсткости, а также с учётом и без учёта крутильной жёсткости упругих опор.
После выполнения расчёта на печать выдаются исходные данные с
необходимыми комментариями, осадки упругих опор, реакции в упругих опорах,
поперечные силы и изгибающие моменты в узловых точках по каждому
загружению.
Подготовка исходных данных для ЭВМ
1). Задача расчёта и исходные данные:
Для балки на упругом Винклеровском основании построить эпюры прогибов,
поперечных сил и изгибающих моментов.
26
2).Расчётную схему принимаем согласно рис.16.
Рис. 16. Расчётная схема балки на упругом основании
3).Выполняем расчёт балки на упругом основании методом перемещений
3.1). Заменяем балку на упругом основании балкой на упругих опорах.
Расстояние между упругими опорами принимаем равным ℓ=0,3 м.
Рис. 17. Расчётная схема балки на упругих опорах
3.2). Вычисляем коэффициенты жёсткости упругих опор:
крайних Скр=С1=С20= k пℓi b = 120000,51,20,3=2160 кН,
средних С
с р=С2…..19
=2Скр=22160=4320 кН.
3.3). Вычисляем изгибную и сдвиговую жёсткости балки:
I=bh3/12=1,20,43/12=0,0064м4,
EI=2,81070,0064=179200кНм2,
GA=0,4EA=0,42,81071,20,4=5376000кН.
3.4). Формируем основную систему метода перемещений. В каждую узловую
точку вводим линейную и поворотную связи.
27
Рис. 18.Основная система метода перемещений
3.5). Составим систему уравнений метода перемещений при узловом
приложении нагрузки
|R||.{V}= {P}, (а)
где ||R|| - матрица жёсткости балки на упругих опорах, имеет порядок 4040;
{V} – вектор перемещений узловых точек; {P} – вектор нагрузок.
Матрица жёсткости балки на упругих опорах вычисляется по формуле:
|| R || = || Rб || + || Rо || . (б)
3.6). Формируем вектор нагрузок {P}
Вычисляем узловые усилия от распределённой нагрузки. Строим эпюры
изгибающих моментов и поперечных сил в стержневом элементе метода
перемещений от равномерно распределённой нагрузки (рис.19).
28
Рис. 19. Эпюры моментов и поперечных сил:
а - в стандартном элементе метода перемещений от равномерно
распределённой нагрузки; б – на участке балки, загруженном равномерно
распределённой нагрузкой
С учётом сосредоточенной силы Р и момента М вектор нагрузок примет вид:
{P}Т = {0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,25; -89,59; 16,5; 0; 16,5; 0; 16,5; 0; 16,5; 0;
16,5; 0; 16,5; 0; 18,25; -0,41; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0}.
3.7). Реакции в упругих опорах вычисляются после решения системы
уравнений (а) по формуле:
Ri= RoiVi . (в)
Поперечные силы от узловых нагрузок по формуле:
Qi = Q
i -1
+P
- Ri . (г)
p i
Изгибающие моменты от узловых нагрузок по формуле:
Л
М
= М
i
i -1
+ Q
i -1ℓI
; М
Здесь Vi – перемещение (осадка) i-й упругой опоры; P
П
= М
i
i Л-1
+ P
. (д)
м i
, P
p i
– сосредоточенная
м i
сила и момент, приложенные соответственно к i-й узловой точке; М
Л
i
, М
П
–
i
29
изгибающие моменты в сечениях левее и правее i-й узловой точки.
ТАБЛИЦА "СТАРТ"
Поле
Назначение
ФАМИЛИЯ,
ГРУППА
В этих полях Вы можете ввести свою фамилию и группу
ОПОР
20
Число упругих опор
УЧЕТ СДВИГА
1,2
Коэффициент формы поперечного сечения (1,2 - для
прямоугольного сечения, 0 - если не нужно учитывать сдвиг)
ЗАГРУЖЕНИЙ
1
Число загружений
ТАБЛИЦА «ПРОЛЁТЫ»
Номер
пролёта
L
EI
GA
Длина
элемента, м
Изгибная
жесткость,
кНм2
Сдвиговая жесткость, кН
1
0,3
179200
5376000
2
0,3
179200
5376000
3
0,3
179200
5376000
0,3
179200
5376000
0,3
179200
5376000
0,3
179200
5376000
18
0,3
179200
5376000
19
0,3
179200
5376000
ТАБЛИЦА «ОПОРЫ»
Номер
опоры
С
К
Линейная
жёсткость,
кН/м
Крутильная жёсткость ,
кНм/рад
1
2160
2 4320
3
4320
4320
4320
4320
18
4320
19
4320
20
2160
Вычисления по формулам (а) – (д) выполняются компьютерной программой
БУ-2.
Работа с программой БУ-2
Работа с программой сводится к заполнению таблиц, приведённых ниже:
При заполнении таблиц нагрузок следует иметь в виду, что положительными
считают силы, направленные вниз, и сосредоточенные моменты, направленные по
часовой стрелке.
30
ТАБЛИЦА «НАГРУЗКИ (СИЛЫ)»
ТАБЛИЦА «НАГРУЗКИ (МОМЕНТЫ)»
Номер опоры
Значение силы
Номер опоры
Значение момента
1 1
2 2 3 3
4 4
5 5
6
8,25
6
-89,59
7
16,5
7
8
16,5
8
9
16,5
9 10
16,5
10
11
16,5
11
12
16,5
12 13
18,25
13
-0,41
14 14
15 15 16 16
17 17
18 18 19 19
20 20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]