Расчёт конструкций на упругом основании. Учебно-методическое пособие для студентов строительных специальностей

41

║ 3. 73030.00 0.00 ║ ║ 4. 89690.00 0.00 ║ ║ 5. 82000.00 0.00 ║ ║ 6. 102500.00 0.00 ║ ║ 7. 123000.00 0.00 ║ ║ 8. 143500.00 0.00 ║ ║ 9. 164000.00 0.00 ║ ║ 10. 184500.00 0.00 ║ ║ 11. 202440.00 0.00 ║ ║ 12. 102500.00 0.00 ║ ║ ЗАГРУЖЕНИЕ 1 _______________________║ ║НОМЕР НАГРУЗКИ РЕАКЦИИ В УПРУГИХ ОПОРАХ ║ ║ОПОРЫ СОСР.СИЛЫ МОМЕНТЫ ЛИНЕЙНЫЕ УГЛОВЫЕ ║ ║ 1. 100.000 0.000 -26.760 0.000 ║ ║ 2. 0.000 0.000 -84.851 0.000 ║ ║ 3. 0.000 0.000 -29.425 0.000 ║ ║ 4. 0.000 0.000 21.337 0.000 ║ ║ 5. 0.000 0.000 15.519 0.000 ║ ║ 6. 0.000 0.000 5.762 0.000 ║ ║ 7. 0.000 0.000 -0.130 0.000 ║ ║ 8. 0.000 0.000 -1.076 0.000 ║ ║ 9. 0.000 0.000 -0.433 0.000 ║ ║ 10. 0.000 0.000 -0.012 0.000 ║ ║ 11. 0.000 0.000 0.056 0.000 ║ ║ 12. 0.000 0.000 0.010 0.000 ║ ║НОМЕР ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫЕ ИЗГИБ. МОМЕНТЫ ║ ║ОПОРЫ ЛИНЕЙНЫЕ УГЛОВЫЕ СИЛЫ ЛЕВЕЕ ПРАВЕЕ ║ ║ 1. 0.0069688 -.0044824 73.240 0.000 0.000 ║ ║ 2. 0.0027594 -.0033978 -11.611 -73.240 -73.240 ║ ║ 3. 0.0004029 -.0014005 -41.035 -61.629 -61.629 ║ ║ 4. -.0002379 -.0001829 -19.698 -20.594 -20.594 ║ ║ 5. -.0001893 0.0001353 -4.179 -0.896 -0.896 ║ ║ 6. -.0000562 0.0001000 1.583 3.283 3.283 ║ ║ 7. 0.0000011 0.0000262 1.454 1.700 1.700 ║ ║ 8. 0.0000075 -.0000026 0.378 0.247 0.247 ║ ║ 9. 0.0000026 -.0000043 -0.055 -0.131 -0.131 ║ ║ 10. 0.0000001 -.0000012 -0.067 -0.076 -0.076 ║ ║ 11. -.0000003 0.0000001 -0.010 -0.010 -0.010 ║ ║ 12. -.0000001 0.0000002 -0.000 0.001 0.000 ║

42

║ ЗАГРУЖЕНИЕ 2 ║ ║НОМЕР НАГРУЗКИ РЕАКЦИИ В УПРУГИХ ОПОРАХ ║ ║ОПОРЫ СОСР.СИЛЫ МОМЕНТЫ ЛИНЕЙНЫЕ УГЛОВЫЕ ║ ║ 1. 0.000 200.000 34.424 0.000 ║ ║ 2. 0.000 0.000 59.375 0.000 ║ ║ 3. 0.000 0.000 -30.694 0.000 ║ ║ 4. 0.000 0.000 -47.650 0.000 ║ ║ 5. 0.000 0.000 -17.045 0.000 ║ ║ 6. 0.000 0.000 -2.242 0.000 ║ ║ 7. 0.000 0.000 2.292 0.000 ║ ║ 8. 0.000 0.000 1.466 0.000 ║ ║ 9. 0.000 0.000 0.257 0.000 ║ ║ 10. 0.000 0.000 -0.112 0.000 ║ ║ 11. 0.000 0.000 -0.075 0.000 ║ ║ 12. 0.000 0.000 0.004 0.000 ║ ║НОМЕР ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫЕ ИЗГИБ.МОМЕНТЫ ║ ║ОПОРЫ ЛИНЕЙНЫЕ УГЛОВЫЕ СИЛЫ ЛЕВЕЕ ПРАВЕЕ ║ ║ 1. -.0089647 0.0098673 34.424 0.000 200.000 ║ ║ 2. -.0019309 0.0044536 93.799 165.576 165.576 ║ ║ 3. 0.0004203 0.0009387 63.105 71.776 71.776 ║ ║ 4. 0.0005313 -.0002526 15.455 8.671 8.671 ║ ║ 5. 0.0002079 -.0002805 -1.590 -6.785 -6.785 ║ ║ 6. 0.0000219 -.0001031 -3.831 -5.195 -5.195 ║ ║ 7. -.0000186 -.0000060 -1.540 -1.363 -1.363 ║ ║ 8. -.0000102 0.0000115 -0.074 0.177 0.177 ║ ║ 9. -.0000016 0.0000052 0.183 0.251 0.251 ║ ║ 10. 0.0000006 0.0000005 0.071 0.067 0.067 ║ ║ 11. 0.0000004 -.0000004 -0.004 -0.004 -0.004 ║ ║ 12. -.0000000 -.0000004 0.000 -0.000 0.000 ║

43

Результаты расчёта по загружениям 1 и 2 представлены на рис.26 и 27.

Рис.26. Эпюры поперечной силы и изгибающего момента в свае от

загружения сосредоточенной силой

Рис.27. Эпюры поперечной силы и изгибающего момента в свае от загружения

сосредоточенным моментом

44

4. РАСЧЕТ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ МЕТОДОМ

Б.Н. ЖЕМОЧКИНА

4.1. РАСЧЕТНАЯ СХЕМА

Расчету балок на упругом полупространстве и полуплоскости посвящено большое количество трудов наших ученых. Рассмотрим метод расчета балок, предложенный профессором Жемочкиным. Его метод является наиболее доступным в практическом применении и позволяет решать широкий круг инженерных задач: расчет балок переменной жесткости, расчет балок ломаного очертания в плане, учет влияния соседних фундаментов. Б.Н. Жемочкин принимает вместо схемы балки на упругом основании (рис.28,а) схему, изображенную на рис.28,б. Согласно этой схеме балка опирается не на сплошное основание, а на ряд опорных стержней, т.е. связь между балкой и основанием осуществляется только в отдельных точках. Стержни располагаются на равных расстояниях “С ” посередине участков, на которые делится длина балки. На протяжении этих участков отпорность грунта считается постоянной. В соответствии с этим расчет балки на упругом основании сводится к расчету неразрезной балки, опоры которой могут перемещаться по вертикали, ввиду податливости основания. Точность расчета методом Жемочкина будет определяться числом опорных стержней, соединяющих балку с основанием. Увеличивая количество опорных стержней, можно добиться любой точности решения задачи. В большинстве случаев можно ограничиться 5-10 стержнями.

45

l l l l l l

l/2

а)

б)

0

1

2

C

m-1

m

Xm-1

X1

X2

Рис.28. Заданная система (а) и расчётная схема

балки на опорных стержнях (б)

4.2. ВЫБОР ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ

Конечные результаты расчета не зависят от выбора основной системы. Однако от выбора основной системы зависит простота расчета. Основная система при расчете балки на упругом основании может быть принята соответствующей или методу сил, или методу перемещений, или смешанному методу.

При основной системе метода сил (рис.29,а) за лишние неизвестные целесообразно принимать изгибающие моменты в сечениях над опорными стержнями, кроме крайних. Количество неизвестных “n” при “m” опорных стержнях будет:

n= m - 2. При основной системе метода перемещений (рис. 29,б) за неизвестные принимаются осадки точек в местах установки стержней. Количество неизвест-ных n = m .

а)

46

б)

m

m-1

C

2

1

0

C

Xm

X0

X1

X2

X3

C C C C C C C C C

C/2C/2

X1

X2

X3

Xi

Xm

в)

Рис. 29. Основная система метода сил (а), перемещений (б)

и смешанного метода (в)

При смешанном методе (рис.29,в) за неизвестные принимаются усилия в опорных стержнях, а также угол поворота и осадка сечения, в котором вводится фиктивная заделка.

Количество неизвестных n = m + 2.

Б.Н. Жемочкин пользуется в своих работах основной системой смешанного метода [2].

4.3. ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТИ БАЛКИ

Итак, “ разрезаем ” опорные стержни, а их действие на балку и основание заменяем парными неизвестными х1 , х2, ...хm.

Рис. 30. Основная система смешанного метода

47

Получим матрицу податливости балки, т.е. матрицу перемещений в

i i

Xi-1

X

Xi-1

б ji

б ii

(б )

б ji

(б )

б ii

(0)

j

направлении неизвестных усилий, вызванных единичными силами в направлении отброшенных связей.

Рис. 31. Действие единичных сил на балку и основание

δ

Очевидно, что матрица податливости балки || δ ||

будет иметь порядок m x m

(m - число опорных стержней). Каждый ее элемент вычисляется по формуле Мора

перемножением соответствующих единичных эпюр. Для увеличения точности расчетов в интеграле Мора следует учитывать составляющую от поперечной силы, особенно для коротких балок (балок - стенок)

δ

δ12 δ δ

11

|| δ ||δ = δ

δ

21

1

δ

m

δ

22

δ

2

m

δ

1

m

δ

δmm

2

m

48

4.4. ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТИ

1

2

3

i

j

m

Xi=1

б 1i

0

б 2i

0

б 3i

0

б ii

0

б ji

0

б mi

УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ

Рассмотрим действие на основание единичной силы в направлении x

i

Очевидно, что все точки, в которых балка соприкасается с упругим основанием, получат перемещения (рис.32).

Рис. 32. Осадка основания от единичной силы

В данном случае мы введем в расчет только ту часть упругого полупрост-

.

ранства (или упругой полуплоскости), которая находится непосредственно под балкой, т.е. на длине “L”.

4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСАДОК ОТ ЕДИНИЧНЫХ УСИЛИЙ

Усилие в любом опорном стержне будет вызывать осадки по всей длине упругого основания, как под балкой, так и за ее пределами. Если мы имеем упругую полуплоскость, к верхнему краю которой приложена в точке “ i ” сила “ Р ”, то относительное вертикальное перемещение (осадка) произвольной точки k верхнего края под влиянием силы Р будет определяться по формуле Фламана:

= 2 P . ln d (9)

У

π Eo r

где: r - расстояние от точки k до точки i, в которой приложена сила Р;

d - расстояние произвольно взятой достаточно далекой точки С верхнего края до точки i;

49

У- разность между вертикальными перемещениями точек k и С (см. рис.33).

Рис. 33. К определению осадки упругого полупространства и полуплоскости

по формулам Буссинеска и Фламана

В случае упругого полупространства осадка “у“ некоторой точки k , находящейся на расстоянии “r ” от места приложения силы Р, определяется по формуле Буссинеска:

У =

P (1- 

 E

2

) (10 )

0

r

0

Следует заметить, что формула (10) была получена еще в 1885 г., а формула (9) в 1892 г.

Формула Буссинеска, в отличие от формулы Фламана, позволяет находить абсолютные величины осадок. Особенность обеих формул в том, что при r = 0

= ∞, т.е. в точке приложения силы осадка бесконечна.

У

В действительности мы не имеем бесконечно больших осадок, так как любая сосредоточенная нагрузка передается на основание не в одной точке, а распределена по некоторой малой площадке. В дальнейшем будем предполагать, что усилие, передаваемое каждым стержнем на упругое основание, будет равномерно распределено на участке длиной С (рис.34). В этом случае осадка любой точки основания будет иметь вполне определенную и конечную величину.

50

X

P

i

c

C/2

y

k

Рис. 34. К определению осадки по формуле Жемочкина

Б.Н. Жемочкиным были получены формулы для определения осадки от единичного груза, распределенного на участке длиной С, в точке, лежащей на

расстоянии х от середины загруженного участка. Они имеют вид:

а) для упругого полупространства

У =

1- 

 E

2

F (11)

0

С

0

где у - абсолютная осадка (от первоначального уровня);

E0- модуль деформации основания;



- коэффициент Пуассона;

0

b - ширина балки;

F — безразмерная функция влияния, зависящая от отношения х/с и b/с.

Величина F для различных значений х/с и в/с приводится в табл. 3 (приложения).

б) для упругой полуплоскости :

- при плоском напряженном состоянии

У =

 E

1 F (12)

0

- при плоской деформации

У =

 E

(1- 

2

) F (12а)

0

где у - относительная осадка(отсчитываемая от условного оседающего горизонта);