Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчёт конструкций на упругом основании. Учебно-методическое пособие для студентов строительных специальностей
.pdf
11
Искомое решение примет более простой вид:
y = ℮
- βz
(С3 cos βz + C4sin βz ).
Рассмотрим ещё два граничных условия.
3). Θ( z→0) = 0 – сечение в месте приложения силы остаётся вертикальным.
III
4). y
следует y
Используя 3), получим : y′( z→0) = 0 = - С
EI ( z→0) = Q ( z→0) = - P/ 2 ( ввиду симметрии задачи), откуда
III
= - P / 2EI .
+ C4 , или С3 = C4 .
3
Из условия 4) найдём вторую зависимость, связывающую С3 и C4 ,
Выразив их, получим окончательно функцию прогиба:
y = - (P / 8 β
3
EI ) ℮
M = y"EI , Q = y
Эпюра внутренних усилий для рассмотренной задачи показана на рис. 7б.
- βz
( cos z + sin βz ), зная это, найдём:
III
EI . (В)
Рис. 7. а – расчётная схема балки; б – эпюры поперечной силы и изгибающего
момента от действия силы Р
Выполним численный пример. Заметим, что мы выполнили теоретический
расчёт только для одной-единственной схемы загружения – от сосредоточенной
силы, которую при достаточно длинной балке следует считать приложенной к
середине её длины.
12
Решим эту же задачу методами строительной механики с использованием
программы БУ-2 (в основе программы – метод перемещений). Упругое основание
заменим рядом точечных опор. Примем исходные данные: длина балки 20 м,
поперечное сечение размерами bh = 1.00.6 м , материал – бетон,
Eб = 26103 МПа, коэффициент постели упругого основания Винклера kп =
2000 кН/м3, значение сосредоточенной силы Р = 100 кН. Расчёт проведём дважды:
с учётом и без учёта деформаций сдвига.
Примем шаг упругих опор равным 1 м. Жёсткости упругих опор (методика
определения будет рассмотрена в п. 3.2.2):
крайних Скр = (1/2) b li kп = (1/2) 112000 = 1000 кН/м,
средних: Сср = b li kп = 112000 = 2000 кН/м.
Изгибная жёсткость поперечного сечения балки
EI = Eб bh3/12 = 2610610.63/12 = 4,68105 кНм2 .
Сдвиговая жёсткость: GA = Gб bh = 0.3Eб bh = 0.32610610,6 = 4.68106 кН.
Результаты расчёта представлены на рис.8. Ступенчатая эпюра поперечной
силы объясняется наличием реакций в упругих опорах.
Рис. 8. Результаты расчёта балки по программе БУ-2
13
Сравним результаты машинного расчёта со значениями поперечной силы и
1
4
5
4
1808,01068,44/20004/
мEIk
изгибающего момента, полученными в ходе решения дифференциального
уравнения упругой линии балки.
Для бесконечно длинной балки на сплошном упругом основании внутренние
усилия в наиболее опасном сечении – под силой, равны:
Q = Р / 2 = 50кН; М = Р / 4β =138,3 кНм , здесь β вычислено по
формуле (5), β =
Для балки длиной 20 метров на упругих опорах, расположенных с шагом 1м,
без учёта деформаций сдвига: Q = 45,06 кН , М = 147,44 кНм ; с учётом сдвига:
Q = 45,085 кН , М = 147,70 кНм, т. е. практически одинаковы, что и следовало
ожидать при заданном соотношении длины балки к высоте поперечного сечения:
L /h = 20 / 0,6 = 33,3. При уменьшении шага упругих опор до 0,5м дискретное
основание становится более похожим на непрерывное, и результаты также
сближаются: Q = 47,54 кН, М = 147,74 кНм.
В пользу машинного расчёта методами строительной механики говорит
также тот факт, что, помимо достаточно высокой точности результатов, весь
процесс подготовки исходных данных для ЭВМ и сам расчёт (включая несколько
вариантов) был выполнен за считанные минуты. Для более сложных вариантов
нагружения балок матричный метод расчёта вообще трудно переоценить.
3.2. РАСЧЁТ БАЛКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ ВИНКЛЕРА
МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ
3.2.1. ВЫБОР РАСЧЁТНОЙ СХЕМЫ
Непрерывное упругое основание заменяем рядом упругих опор (рис.9).
Таким образом, расчетная схема балки на упругом основании сводится к
расчетной схеме балки на упругих опорах.
14
а)
P
P
l
C2
Ci
Cn
C1
l ll
б)
Рис.9. К расчету балки на вертикальную нагрузку
а - заданная система; б - расчетная схема
Число упругих опор “n”определяется из следующих соображений:
- минимальное число упругих опор (узловых точек) - 10 12 шт.;
- сосредоточенные нагрузки удобно принять приложенными в узловых точках;
- распределенные нагрузки должны начинаться и заканчиваться в узловых
точках;
- расстояние между упругими опорами удобно принять одинаковым.
15
P
C1=0
C2=0
C3
Ci
Cn
Ki
K0Z
{
li
Z
{
{
а)
б)
в)
Рис.10. К расчету сваи на горизонтальную нагрузку
а - заданная система; б - расчетная схема;
в - распределение коэффициента постели по высоте
3.2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЖЕСТКОСТИ
УПРУГИХ ОПОР
Коэффициенты линейной жесткости упругих опор определяются по формуле:
c i = k i • b • ℓ i ; (6)
здесь ki - коэффициент постели упругого основания, относящийся к i-й
опоре; b - ширина балки;ℓ - длина участка балки, относящегося к i- й опоре; для
средних опор ℓi = ℓ; для крайних ℓi = ℓ /2 .
При определении коэффициентов жёсткости упругих опор для сваи следует
учитывать способ устройства сваи. Для забивных свай, в отличие от
буронабивных, следует учитывать дополнительное уплотнение грунта,
создаваемое в процессе забивки, что увеличивает его жесткостные
характеристики. В практике проектирования для забивных свай определяют
условную ширину фундамента (сваи) по формуле: b
забивная свая имеет размеры поперечного сечения bh = 0,40,4 м. Условная
ширина сваи будет равна: b
= 1,5 0,4 + 0,5 = 1,1 м. Это значение и будет
усл
= 1,5 h + 0,5 м. Например,
усл
подставлено в формулу (6) при вычислении коэффициентов жёсткости упругих
опор.
16
Распределение коэффициента постели по глубине грунтового слоя,
прорезаемого сваей, считают изменяющимся по линейному закону. Для
построения эпюры коэффициента постели возможно применение методики,
описанной ниже. Поэтапно её можно представить следующим образом.
В случае однослойного упругого основания:
1). принимаем значение kп на поверхности грунта равным нулю;
2). откладываем значение ko (табличное значение) на глубине 3 м;
3). через точки «0» и ko проводим прямую линию до глубины 10 метров;
4). на глубине более 10 метров считаем kп постоянным.
В случае многоослойного упругого основания:
1). принимаем значение kп на поверхности грунта равным нулю;
2). откладываем значения koi (табличные значения) для всех слоёв на
глубине 3 м;
3). через точки «0» и koi проводим прямые до глубины 10 метров;
4). на глубине более 10 метров считаем kп постоянным.
5). в пределах каждого слоя берём нужную часть линии (получаем
ломаную эпюру коэффициента постели). ( пример построения эпюры kп для
многослойного упругого основания рассмотрен в п. 3.2.8. Пример расчёта сваи на
горизонтальные нагрузки с использованием программы БУ-2).
3.2.3. ВЫБОР ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ
Расчет балки на упругих опорах удобнее вести методом перемещений.
Основная система метода перемещений (М.П.) может быть выбрана в двух
вариантах:
I вариант (О.С.1) — с введением только линейных связей в узловые точки
(рис.11), общее число связей – n.
17
1
2
3
i
n
Рис. 11.Основная система с линейными связями
1
2
3
2i-1
2n-1
1 2
i n
O.C.2
4
2i
2n
II вариант (О.С.2) — с введением линейной и поворотной связи в каждую
узловую точку (рис.12), общее число связей- 2 п.
Рис. 12. Основная система с линейными и поворотными связями
3.2.4. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Учитывая большое число связей М.П. (а, следовательно, и уравнений), расчет
балок на упругих опорах проводят матричным способом с использованием ЭВМ.
Канонические уравнения М.П. с учетом узлового приложения нагрузки
имеют вид:
|| R || • {V} = {Р}, (7)
где || R || - матрица жесткости балки на упругих опорах, имеет порядок
n х n - для О.С. 1, 2n х 2n –для О.С. 2;
{ V } - вектор перемещений узловых точек, имеет порядок n- для О.С. 1,
2 n - для О.С. 2;
{ Р } - вектор нагрузки, имеет порядок n - для О.С. 1, 2 n - для О.С. 2.
18
3.2.5. ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ БАЛКИ НА
R01
R02
i
n-1
Ron
r11
r21
ri 1
rn+1
rn 1
УПРУГИХ ОПОРАХ
Матрицу жесткости балки на упругих опорах вычисляет по формуле:
|| R || = || Rб || + || Rо || , (8)
где || Rб || - матрица жесткости балки;
|| Ro || - матрица жесткости упругих опор.
Порядок обеих матриц одинаков и зависит от принятой основной системы
(n x n или 2 n x 2n).
Формирование матрицы жесткости системы
без поворотных связей (О.С. 1)
Зададим какой — либо из наложенных линейных связей единичное смещение
(например - первой). При этом остальные узловые точки поступательных
перемещений не получат, а во всех наложенных связях возникнут реакции,
удерживающие балку от поперечных смещений (рис.13).
Рис.13. Характер деформаций при смещении связи в О.С. 1
Разумеется, по мере удаления от получившей смещение узловой точки,
деформации балки (упругая волна), а следовательно, и реакции наложенных
связей, будут затухать.
Очевидно также, что все упругие опоры (за исключением получившей
единичное смещение), остаются в недеформированном состоянии, и реакции в
них не возникают. Так, для рис.13 реакция в упругой опоре номер 1 от
единичного смещения первой связи равна:
19
Roi = C1 l =C1, a Rо2 = R oi = Ron = 0.
r11 r
12 r 13
.. . r
1
n
r
21 r22 r23
. . .
r2n
r31 r32 r
33
. . .
r
3
n
r41 r42 r43 … r
4
n
r
n
1
r
n
2
r
n3 . . .
rn rnn
r
r
r
r
R
01
0
R02
R03
.
0 .
.
R
on
Таким образом, матрица жесткости балки для О.С. № 1 имеет вид:
|| Rб || =
( n x n )
Элементы матрицы жесткости балки в этом случае определяют как для
многопролётной неразрезной балки с учетом изгибной и сдвиговой жесткости
согласно методики, изложенной в [ 5 ].
Полученная матрица жёсткости (МЖ), помимо обязательных для каждой МЖ
свойств - симметрии (r ij = rji) и положительной величины элементов главной
диагонали (r ii > 0), в случае постоянного сечения балки по длине и равных
расстояний между узловыми точками, имеет еще одну особенность: симметрию
относительно побочной диагонали. Сравните, например, деформацию балки при
смещении связи 1 на рис.13 и связи n. Очевидно, что полученная упругая волна,
а следовательно, и соответствующие реакций наложенных связей будут
симметричны относительно середины балки: r11 = rnn , и т.д.. Таким образом,
задача по составлению МЖ балки в этом случае несколько упрощается.
МЖ основания для О.С.1 имеет вид:
|| R 0|| =
(n х n)
20
где Roi - реакция упругой опоры, равна коэффициенту линейной жесткости
i - й опоры.
Просуммировав теперь матрицы жесткости балки и основания, для основной
системы метода пepeмeщeний без поворотных связей получим МЖ
системы
балка - упругое основание порядка n x n.
Формирование матрицы жёсткости системы с поворотными связями
(О.С.2)
Проанализируем вначале, какую деформацию получит система “ балка упругое основание ” при смещении одной связи. Зададим смещение связи №1,
затем связи №2.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]