Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Нелинейные задачи строительной механики. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

М.И. Ганджунцев, А.А. Петраков

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ

СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Учебное пособие

ISBN 978-5-7264-3429-2

Москва 2024

«Ай Пи А

р Медиа», 2024

СТРОИТЕЛЬСТВО

УДК 624.04 ББК 38.12

Г19

доцент кафедры инжиниринга технологического оборудования НИТУ «МИСиС»;

Ганджунцев, Михаил Иоакимович.

Нелинейные задачи строительной механики [Электронный ресурс] : учебное пособие /

Г19

М.И. Ганджунцев, А.А. Петраков ; Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет. — Электрон. дан. и прогр. (5 Мб). — Москва : Издательство МИСИ – МГСУ,

2024. — URL: http://www.iprbookshop.ru/. — Режим доступа : для зарегистрированных пользователей. — Загл. с титул. экрана.

ISBN 978-5-7264-3429-2

кандидат технических наук В.Е. Кондратенко,

кандидат технических наук М.Г. Ванюшенков,

профессор кафедры строительной механики НИУ МГСУ

Рецензенты:

Изложены теоретические основы курса дисциплины «Нелинейные задачи строительной

механики», предусмотренные рабочей программой этой дисциплины, касающиеся расчета систем из нелинейно-упругого материала и определения в них перемещений от различных видов воздействия, а также основ теории ползучести. Рассмотрены наиболее характерные задачи расчета стержневых систем с использованием математического программирования, приведены их подробные решения.

Для обучающихся по направлению подготовки «

сооружений

».

Учебное электронное издание

Строительство уникальных зданий

«Ай Пи Ар Медиа», 2024

Учебное электронное издание

Ганджунцев М.И., Петраков А.А.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Учебное пособие

Редактор Е.А. Копылова

Технический редактор Е.В. Кузнецова

Корректор А.С. Полева

Компьютерная правка и верстка С.С. Сизиумовой

Для создания электронного издания использовано:

Microsoft Word 2010, Adobe InDesign CS5.5, ПО Adobe Acrobat

Объем данных 5 Мб.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Национальный исследовательский Московский

государственный строительный университет».

129337, Москва, Ярославское ш., 26.

Издательство МИСИ – МГСУ.

Тел.: (495) 287-49-14, вн. 14-23, (499) 183-91-90, (499) 183-97-95.

E-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru

ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа»

8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)

E-mail: sales@iprmedia.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ .............................................. 5

2. ТЕОРЕМА А.А. ИЛЬЮШИНА О ПРОСТОМ НАГРУЖЕНИИ.

ТЕОРЕМА О РАЗГРУЗКЕ .............................................................................. 9

3. НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ. ЗАВИСИМОСТЬ

МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ............................... 12

4. АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ КРИВЫХ ................... 17

5. НЕЛИНЕЙНО УПРУГИЕ БАЛКИ .............................................................. 24

6. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПО МЕТОДУ

ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ................................................................. 33

7. ТЕОРЕМЫ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ............................................ 37

8. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ СПОСОБОМ

КОМБИНИРОВАННЫХ МЕХАНИЗМОВ РАЗРУШЕНИЯ ..................... 43

9. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

ПРОГРАММИРОВАНИЯ............................................................................. 66

10. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ

ИЗГИБАЕМЫХ ПЛИТ ............................................................................... 83

11. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ .......................................................... 94

12. Библиографический список ...................................................................... 101

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

При изложении классических методов расчета предполагалось, что

материал конструкции работает в упругой стадии, то есть между напряжениями и деформациями соблюдается закон Гука о прямой пропорциональности. При этом методы «упругого расчета» не дают ответа на вопрос об истинном запасе прочности сооружения и о поведении конструкции за пределом упругости материала.

а б

Рис. 1. Экспериментальные диаграммы растяжения

с площадкой текучести (а) и без площадки текучести (б)

Большинство строительных материалов или совсем не подчиняют-

ся закону Гука, или подчиняются ему при относительно небольших напряжениях, значительно меньших предела прочности. На рис. 1 изображены типичные экспериментальные диаграммы растяжения для различных марок стали, алюминиевых сплавов и пластмасс. На этих диаграммах σпр — предел прочности материала, а εпр — соответствующее ему значение деформации. Диаграмма (рис. 1, а) имеет следующие участки. Участок линейной упругости от нуля до напряжения, равного σп, которое определяет предел пропорциональности. На этом участке справедлив закон Гука. Следующий участок небольшой до предела упругости σу и часто σу считают равным σп. Это участок нели- нейной упругости и на нем еще непластических деформаций. Выше

предела упругости появляются остаточные деформации и удлинения быстро увеличиваются, а напряжения практически не изменяются. Это так называемая площадка текучести — зона идеальной пластичности. Здесь надо отметить предел текучести σт, определяющий наибольшее значение напряжения, при котором еще существуют упругие деформации и начинаются чисто пластические. Затем возникает участок смешанных упругих и пластических деформаций, называемый зоной уп- рочнения. После этой зоны диаграмма имеет нисходящую ветвь до напряжения σр, которое соответствует разрыву образца.

Для некоторых металлов (алюминиевые сплавы, высоколегирован-

ные стали и др.) кривая растяжения лишена площадки текучести и иногда практически не имеет прямолинейного участка (рис. 1, б). В этом случае участок нелинейной упругости незаметно переходит в участок упрочнения.

При переходе от нагружения к разгрузке зависимость между напряжениями и деформациями может приобретать совсем иной вид. До предела упругости разгрузка будет совпадать с линией нагружения. При напряжениях больше предела упругости кривая разгрузки АВС (рис. 2, а) в общем близка к прямой линии, которая имеет такой же наклон, как и линия упругого участка. Величина остаточной деформации измеряется отрезком ОС. Если повторно нагрузить образец, то кривая нагружения СDЕ будет мало отличаться от линии АВС. Таким образом, металл вследствие первоначальной вытяжки как бы приобретает упругие свойства и повышает предел упругости, теряя в значительной мере способность к пластической деформации. Это явление называется упрочне- нием. С течением времени наблюдается частичное снятие упрочнения, которое с увеличением температуры становится все более заметным.

При нагружении продольная сила совершает положительную работу, пропорциональную площади ОАF. При разгрузке работа будет отрицательная и может быть выражена площадью АFC, ограниченной осью абсцисс и кривой разгрузки. Таким образом, возвращенная при разгрузке работа меньше, чем работа, произведенная во время нагружения. Разность затраченной и возвращенной работы представляет собой поглощенную механическую энергию, перешедшую в теплоту или затраченную на структурные преобразования материала. Эта разность соответствует площади ОАDC.

При повторных нагружениях кривые нагружений и разгрузок приближаются все ближе друг к другу, но полного совпадения не достигают, образуя так называемые петли гистерезиса (рис. 2, б).

а б

Рис. 2. Кривая разгрузки АВС при напряжениях больше

предела упругости (а) и петля Гистерезиса (б)

Зависимость между напряжениями и деформациями при нагружении и разгрузке имеют разный вид. Значит при одной и той же величине деформации могут быть разные напряжения в образце. Таким образом, между напряжениями и деформациями за пределом упругости нет функциональной связи. Следовательно, при неупругой работе материала отсутствует потенциал внутренних сил. Это обусловлено частичным рассеиванием механической энергии, которая переходит в другие виды энергии и полностью не возвращается обратно при разгрузке конструкции. Вышесказанное справедливо не только при одноосном напряженном состоянии, но еще в большей степени для двухосного и трехосного напряженных состояний.

Таким образом, нельзя говорить о потенциальной энергии внутренних сил как функции компонентов деформаций за пределом упругости. Это обстоятельство можно обойти при определенных ограничениях в режиме работы конструкции.

Прежде чем рассмотреть эти обстоятельства, введем понятия простого и сложного нагружений, активной и пассивной деформации.

Нагрузки на конструкцию могут быть сколь угодно сложные, но нагружение будет считаться простым, если все компоненты нагрузок, начав с нуля, возрастают одновременно пропорционально общему параметру.

Когда компоненты нагрузок меняются во времени непропорционально друг другу, то такое нагружение называется сложным.

При одноосном напряженном состоянии в точке в случае простого нагружения единственное главное напряжение будет непрерывно расти, и поэтому в каждый последующий момент времени деформация в окрестности этой точки будет отличаться в сторону увеличения по модулю от значения ее в предыдущий момент времени. Такая деформа- ция называется активной. В этом частном случае одноосного напря- женного состояния понятия простого нагружения и активной деформации будут тождественны.

При сложном напряженном состоянии в точке, то есть когда все три главных напряжения для рассматриваемой точки отличны от нуля, деформации будут активны в том случае, если интенсивность напряжений для этой точки в данный момент нагружения имеет значение, превышающее все предшествующие его значения. Если интенсивность напряжений будет меньше предшествующего его значения, деформация в этом случае называется пассивной.

Инженерная практика ставит перед теорией пластичности в основном две задачи. В первой необходимо обстоятельно исследовать весь ход развития упруго пластических деформаций и поля напряжений в изучаемой конструкции при заданных нагрузках. Вторая задача относится к конструкциям из идеально пластического материала или близкого к этим свойствам материала. В этом случае достаточно исследовать заключительную стадию развития пластических деформаций, точнее — выяснить параметры внешней нагрузки, так называемую несу- щую способность, при малейшем превышении которой сооружение теряет равновесие или возникают чрезвычайно большие и совершенно недопустимые перемещения.

Надо заметить, что для вычисления несущей способности конструкции разделение нагружения на простое и сложное, разделение деформаций на активную и пассивную не имеют существенного значения, в то время как для первой задачи (нахождения поля напряжений и деформаций в теле) четкое разграничение указанных понятий является абсолютно необходимым.

2. ТЕОРЕМА А.А. ИЛЬЮШИНА О ПРОСТОМ НАГРУЖЕНИИ. ТЕОРЕМА О РАЗГРУЗКЕ

Гипотетически можно представить себе материал с нелинейной зависимостью напряжений от деформаций, который при разгрузке полностью возвращает накопленную механическую энергию. Диаграмма разгрузки для такого материала совпадает с диаграммой нагружения и поглощения энергии не происходит. Если известно, что напряжения в конструкции в процессе нагружения нигде не будут уменьшаться, то можно условно считать, что конструкция выполнена из нелинейно-упругого материала с функциональной зависимостью σ = f(ε), совпадающей с диаграммой работы материала при нагружении. При этом становится возможным использование понятия потенциальной энергии системы.

Понятия нелинейно-упругого материала и нелинейно-упругой системы очень удобны для расчета неупругих конструкций при первичном их нагружении. Необходимо только следить, чтобы нигде не возникало уменьшения напряжений (об этом можно судить на основании расчетов). При появлении уменьшения напряжений схема нелинейноупругой системы будет неприменима.

Возникает вопрос о том, как должны изменяться во времени нагрузки, действующие на неоднородно напряженное тело любой формы, чтобы каждый элемент такого тела оказался в состоянии именно активной деформации. Не может ли непрерывный рост нагрузок, вызывая в одной, хотя бы и значительной части тела, возрастание напряжения, вызвать в другой части его уменьшение. Или, иначе говоря, существует ли в общем случае неоднородно напряженного тела любой формы такая нагрузка, при которой все элементы тела оказываются в состоянии активной деформации.

Теория малых упругопластических деформаций дает правильные (совпадающие с опытом) результаты, по крайней мере, в том случае, когда процесс нагружения тела будет простым. Этот посту-

лат носит название теоремы А.А. Ильюшина о простом нагружении.

Доказательство теоремы предполагает степенную зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций σi = Аε чае зависимость внутренних сил от деформаций будет являться однородной функцией, то есть такой функцией, которая при умноже-

. В этом слу-

нии всех аргументов на один и тот же множитель а увеличивается в

раз, где m — показатель, называемый коэффициентом однород-

ности. В этом случае, очевидно, что при увеличении деформации в k

раз все внутренние силы изменятся в km раз. С таким же коэффициентом пропорциональности должны изменяться и внешние силы, выражающиеся линейно через внутренние силы. Следовательно, напряженно-деформированное состояние системы не изменятся по форме при простом нагружении, а лишь умножается на некоторый коэффициент пропорциональности, сохраняя качественную картину распределения усилий и деформаций в системе. Следует подчеркнуть, что коэффициенты пропорциональности для внешней нагрузки и для деформаций будут разными.

В общем случае, при других зависимостях между интенсивностями напряжений и деформаций, пропорциональное увеличение всех внешних сил не ведет за собой пропорциональное изменение внутренних сил, перемещений и деформаций, и качественная картина напряженнодеформированного состояния постепенно меняется. Другими словами, при пропорциональном увеличении внешней нагрузки в нелинейноупругой системе происходит перераспределение внутренних сил. Но на основании анализа экспериментов А.А. Ильюшин обосновал возможность применения теоремы о простом нагружении в любом случае зависимости σi-εi.

Рассмотрим теперь более подробно процессы, происходящие при разгрузке. Растянем стержень на величину деформации ε1, и, соответственно, напряжение в нем будет σ

причем оно будет больше предела

упругости (рис. 3, а). Если частично разгрузить стержень до напряжения σ2, то остаточная деформация εо будет равна:

ε0 = ε1 – ε2, (1)

где ε2 — упругая часть деформации, которая вычисляется по формуле:

ε2 = σР/Е. (2)

В этой формуле σР = σ1 – σ2 и Е — тангенс угла наклона упругого участка диаграммы напряжения. Таким образом, для вычисления остаточной деформации стержня необходимо из приобретенной им ранее деформации вычесть упругую деформацию, соответствующую значению напряжения σР, возникающему при разгрузке.

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]