Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Нелинейные волновые уравнения в оптике. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

И.И. Корель

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОПТИКЕ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2010

УДК 535.12 : 517.9(075.8) К 663

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. Е.А. Титов, д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Дмитриев

Работа выполнена на кафедре лазерных систем

Корель И.И.

К 663 Нелинейные волновые уравнения в оптике : учеб. пособие / И.И. Корель. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. – 40 с.

ISBN 978-5-7782-1334-0

Рассматриваются уравнения распространения оптических импульсов в резонансных и диспергирующих средах. Представлены численные методы их решения.

Предназначено для студентов физико-технического факультета.

	УДК 535.12 : 517.9(075.8)
ISBN 978-5-7782-1334-0	© Корель И.И., 2010
	© Новосибирский государственный
	технический университет, 2010

ВВЕДЕНИЕ

Нелинейные волновые уравнения в оптике описывают распространение импульсов в средах различной физической природы, с различным типом взаимодействия в системе электромагнитное поле–среда. Частным решением подобного круга задач является образование солитонов и солитоноподобных волновых пакетов. В резонансной задаче примером образования солитонов служит эффект самоиндуцированной прозрачности (СИП), в слабодиспергирующих средах (оптических волокнах) существуют солитонные решения нелинейного уравнения Шрѐдингера.

Пособие посвящено рассмотрению уравнений распространения импульсов в резонансной и диспергирующей средах и методам их решения.

В главе 1 рассматривается взаимодействие оптического поля с двухуровневой резонансной средой в полуклассическом приближении, где атом имеет квантовую природу (т.е. дискретные уровни энергии), а поле описывается классически, с помощью уравнений Максвелла. Приводится решение самосогласованной системы Максвелла–Блоха, описывающее эффект самоиндуцированной прозрачности. Глава 2 посвящена задаче о распространении импульсов в оптических волокнах и нелинейному уравнению Шрѐдингера. Глава 3 содержит обзор численных методов решения дифференциальных уравнений с частными производными в нелинейной оптике.

Глава 1. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА

В ДВУХУРОВНЕВОЙ СРЕДЕ

1.1. Оптические уравнения Блоха

Первоначально уравнения Блоха были получены применительно к изучению магнитного резонанса. Причина, по которой эти уравнения часто используют для описания процессов, связанных со взаимодействием оптических полей и резонансных сред, состоит в том, что существует прямая аналогия между двухуровневым атомом и частицей со спином 1/2 во внешнем магнитном поле.

Рассмотрим взаимодействие изолированного двухуровневого атома с внешним полем. Динамику атома можно описать в представлении Шрѐдингера или Гейзенберга. Воспользуемся операторным уравнением Гейзенберга, поскольку простота коммутационных соотношений матриц Паули значительно упрощает вывод динамических уравнений:

				ˆ ˆ
			ˆ	ˆ ˆ
		i O		O, H .
Здесь	ˆ	– любой оператор, а	ˆ	– гамильтониан, который для атома,
Здесь	O	– любой оператор, а	H	– гамильтониан, который для атома,

взаимодействующего с полем, можно записать следующим образом:

		ˆ	ˆ	ˆ ˆ
		H	H A	d E(r) .
ˆ	– оператор дипольного момента атома;						ˆ	– оператор элек-
Здесь d	– оператор дипольного момента атома;						E(r)	– оператор элек-
трического поля; HA – гамильтониан невозмущенной системы с дис-
кретным спектром.
Оператор дипольного момента эрмитов:
	ˆ		0	ˆ	ˆ
	ˆ		0	dr	idi	,
	d	ˆ	ˆ			,
		ˆ	ˆ		0
		dr	idi		0

а значит, его можно представить с помощью матриц Паули следующим образом:

			d dr σ1		di σ2 .
Запишем гамильтониан невозмущенной системы.
H		1	W	W I	2	W	W σ	.
	A
		2	2	1	2	2	1 3

Здесь W2 – энергия верхнего состояния; W1							– энергия нижнего состоя-
ния; I – единичный оператор.

В результате с помощью уравнения Гейзенберга получим для матриц Паули следующую систему из трех дифференциальных уравнений:

σˆ1

0σˆ 2

E σˆ 3

σˆ 2

0σˆ1

dr E σˆ 3

σˆ 3

di E σˆ1

dr E σˆ 2 .

Здесь

W2 W1

Операторная природа полученных дифференциальных уравнений предполагает сложные динамические законы, поэтому имеет смысл перейти к уравнениям для средних значений, пренебрегая всеми возможными корреляциями:

ˆ i (t) .

Уравнения для компонент вектора s

запишутся в виде

(t)

s (t)

E s (t) ,

(t)

s (t)

E s (t) ,

(t)

E s (t)

E s (t) .

Вектор s t называют вектором псевдоспина, имея в виду анало-

гию Фейнмана с прецессией спина при магнитном резонансе. Для его компонент выполняется закон сохранения:

s2	t	s2	t	s2	t	1.
1		2		3

Продолжая аналогию с теорией магнитного резонанса, можно представить прецессию твердого тела под действием некоторого вра-

щающего момента. Тогда три уравнения для компонент s t окажутся эквивалентны векторному:

d	s(t)	s ,
dt

где – вращающий момент.

Всвою очередь, вектор вращающего момента удобно представить

ввиде суммы трех вращающих моментов (рис. 1.1), один из которых направлен по оси 3, два других лежат строго в плоскости 1–2:

			( )	( )	3 ,	3 (0, 0,		0	) ,
(	)	(	Rcos( t), Rsin(	t), 0) ,		( )	( Rcos(		t), Rsin( t), 0) ,
		(	Rcos( t), Rsin(	t), 0) ,			( Rcos(		t), Rsin( t), 0) ,
где R		2d	E .

Рис. 1.1. Движение вектора псевдоспина

Оказывается, что можно пренебречь компонентой ( ) и в соответствующих уравнениях движения заменить на сумму оставшихся компонент. Этот метод называется приближением вращающейся волны, он значительно упрощает вид уравнений движения.

Другой упрощающий уравнения метод, которым стоит воспользоваться при переходе с помощью соответствующей матрицы поворота

от вектора s t к другому (квазистационарному) вектору							с компо-
нентами (u, v, w) во вращающейся системе координат:
u	cos(	t)	sin(	t)	0	s1
v	sin(	t)	cos(	t)	0	s2 .
w	0		0		1	s3

Уравнения движения для компонент псевдоспина станут очень простыми:

u 0 v,

v 0 u Rw,

w Rv.

Мы получили так называемые оптические уравнения Блоха, описывающие динамику диполя и населенности верхнего энергетического уровня во внешнем поле. Физический смысл величин u, v, w следующий: u – синфазная с полем, v – квадратурная компоненты атомного дипольного момента в единицах дипольного момента d, w – разность населенностей, т. е. вероятность нахождения атома в верхнем энергетическом состоянии, ее часто называют инверсией.

1.2.Система уравнений Максвелла–Блоха

Впредыдущем параграфе были рассмотрены оптические уравнения Блоха, описывающие динамику двухуровневого атома в стационарном внешнем поле. Для описания взаимодействия поля с резонансной двухуровневой средой нужно учесть влияние среды на поле и возможную переменность самого поля. Решение подобных задач часто осуществляется в так называемом полуклассическом приближении, где динамика поля описывается классическим уравнением Максвелла, через

поляризацию связанным с нелинейными оптическими уравнениями Блоха, имеющими квантовую природу.

Прежде всего рассмотрим волновое уравнение Максвелла:

2 1		2		E(r, t)		1			2 P(r, t)	.
	c2		t 2	E(r, t)	ε	0	c2		t 2	.

Полагая поле линейно-поляризованным и распространяющимся вдоль оси z, можно избавиться от векторов и упростить уравнение, сведя его к одномерному случаю:

2	1		2		E(z, t)		1		2 P(z, t)	.
z2		c2		t2		ε	0	c2	t 2

Следующим упрощением будет переход к приближению медленно меняющихся амплитуд (ПММА). Суть этого метода состоит в представлении поля и поляризации произведением огибающей и быстро осциллирующего на частоте оптической волны члена:

E	z, t
E	z, t	z, t e
P	z, t	z, t e

i t kz

к.с.,

к.с.

z, t

верны следующие соотношения:

Для огибающей

z, t

Те же соотношения справедливы и для z,t . Опуская промежуточные выкладки, можно получить следующие соотношения:

E 2ik

e i t kz

к.с. ,

c2 t2

c t

2 P	2	z, t e i t kz	к.с.
t2

Далее, сокращая быстро осциллирующие члены, понизим порядок и приведем уравнение Максвелла к упрощенному виду:

1		ik
			.
z c	t	2 0	.

Теперь из огибающей поля выделим фазовый член:

(z, t) (z, t)e i ( z,t ) , (t) (z, t) .

Представим поляризацию через плотность атомов N:

z, t	1	Nd (u iv)e i ( z, t ) .
	2

Запишем окончательную систему уравнений Максвелла, которая в сочетании с оптическими уравнениями Блоха образует самосогласованную систему уравнений, описывающую распространение резонансного поля в среде двухуровневых атомов:

v ,

u ,

v ,

Rw ,

Rv .

В уравнениях Блоха учтена динамическая фаза (z,t) , которая влечет за собой расстройку частоты . В системе использовались коэф-

фициенты:	Nd 2	, R	2d	,		.
	0 c				0

1.3. Распространение импульса. Теорема площадей

Описание взаимодействия двухуровневого атома со средой, вообще говоря, требует введения в уравнения Блоха феноменологических постоянных затухания, связанных с продольной и поперечной релаксацией атома. Эти постоянные определяют время затухания инверсии и дипольного момента. Для простоты мы и впредь не будем их учитывать. Это приближение оправдано для ультракоротких импульсов, длительность которых существенно меньше характерных времен релаксации,

т. е. если длительность импульса лежит в интервале от 10 8 до 10 13 с. В этом интервале приближение медленно меняющихся амплитуд законно, а времена релаксации малы.

Рассмотрим уравнения Блоха для прохождения импульса при точ-

ном резонансе (

0 ):

v Rw ,

w Rv .

Эта система имеет следующее решение:

v t, z sinΘ(t, z) ,

w t, z cosΘ(t, z) .

Здесь через интеграл поля по времени введем понятие площади импульса:

	t
Θ t, z	R t , z	dt .
Теперь рассмотрим случай, когда		0 . Предположим, что нере-

зонансные диполи реагируют на поле так же, как и резонансные, но с меньшей амплитудой. Это предположение обеспечит законность следующей факторизации:

v t, z, v t, z, 0 F (Δ) .

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]