Нелинейные волновые уравнения в оптике. Учебное пособие

Величину F (Δ) называют дипольной спектральной функцией отклика.

Оказывается, что с помощью такой факторизации удается решить уравнения Блоха полностью. Например, для инверсии получим

Это уравнение хорошо известно из теории физического маятника. Его решение таково:

Так же можно выразить огибающую поля, которое отвечает подобному поведению Θ t :

Найденный результат – знаменитый импульс с формой гиперболического косеканса, впервые полученный Мак-Коллом и Ханом в

1967 г.

Другим примечательным результатом Мак-Колла и Хана является так называемая теорема площадей. Ее можно вывести, интегрируя самосогласованную систему Максвелла–Блоха. Оказывается, что при прохождении импульса через двухуровневую среду площадь импульса подчиняется следующему закону:

11

Для слабых полей это уравнение выглядит еще проще:

щения Бера.

Рис. 1.2. Квантовая оптическая теорема площадей Мак-Колла–Хана

Как видно из рис. 1.2, на котором показаны решения уравнения теоремы площадей, при распространении через поглощающую среду

12

(при росте z) площади импульсов стремятся к n , где n – четное целое. Кроме того, из теоремы площадей следует существование устойчивых долгоживущих импульсов. Так мы вплотную подошли к оптическим солитонам.

1.4. Самоиндуцированная прозрачность. Уравнение синус-Гордона. Оптические солитоны

Из квантовомеханической теоремы площадей можно сделать вывод о том, что плавно изменяющиеся оптические импульсы с площадью, кратной 2 , должны быть устойчивыми. Численные расчеты показывают, что и форма таких импульсов долгое время сохраняется. Импульсы с такими свойствами часто называют солитонами.

Рассмотрим распространение импульса с формой гиперболического косеканса и площадью 2 . Запишем уравнение Максвелла для площади импульса с учетом материальных уравнений Блоха и факторизации из предыдущего параграфа:

Это нелинейное волновое уравнение, поскольку в правой его части стоит нелинейная функция Θ . Перейдем к локальному времени:

Здесь V – скорость распространения импульса. Получим

13

Мы получили так называемое уравнение синус-Гордона. Оно принадлежит к семейству гиперболических уравнений Клейна–Гордона, которые в самом общем виде выглядят так:

Важнейшим и исключительным свойством уравнения синусГордона является существование солитонных решений. Вообще говоря, уравнение синус-Гордона – единственное из семейства гиперболических уравнений Клейна–Гордона, которое имеет такие решения.

Найдем такое решение для площади импульса:

Θ4arctg e p .

Полученное решение уравнения синус-Гордона является классическим солитоном, в терминах поля это решение выглядит следующим образом:

Врезонансной задаче распространение импульсов без потерь и с сохранением формы получило название «самоиндуцированная прозрачность» (СИП). С физической точки зрения этот эффект можно интерпретировать так: в процессе распространения импульса в двухуровневой среде поле возбуждает атомы, атомы поглощают энергию поля, но полностью возвращают ее обратно при вынужденном переходе в исходное состояние.

В1960-е гг. Слашером и Гиббсом поставлены первые эксперименты по наблюдению СИП в парах рубидия. Результаты этих экспериментов в сравнении с теоретическими расчетами системы Максвелла– Блоха показаны на рис. 1.3. В настоящее время развитие теории СИП

14

заключается в исследовании более сложных моделей – с многоуровневыми средами и сложным спектральным составом поля.

Рис. 1.3. Экспериментальные (левый рисунок) и теоретические (правый) результаты Слашера–Гиббса для формы входящих (кривые из точек) и выходящих (сплошные кривые) импульсов при самоиндуцированной прозрачности. Кривые соответствуют следующим площадям импульсов:

a – 2 , b и c – между 2 и 3 , d – 5 , e – 6

15

Глава 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА

ВОПТИЧЕСКОМ ВОЛОКНЕ

2.1.Обзор уравнений распространения

иосновных эффектов в оптическом волокне

Распространение импульсов в оптических волокнах описывают при помощи одного из трех уравнений: волнового уравнения Максвелла, нелинейного уравнения Шрѐдингера или уравнения Гинзбурга– Ландау. Важно отметить, что главным математическим инструментом во всех задачах о взаимодействии электромагнитного поля с любыми средами являются уравнения Максвелла. В оптике это чаще всего волновое уравнение. Именно из него в волоконной оптике выводятся нелинейное уравнение Шрѐдингера и уравнение Гинзбурга–Ландау. Оба этих уравнения получаются в приближении медленно меняющихся амплитуд, что ограничивает их применение на малых временах, сравнимых с обратной частотой центральной (оптической) волны.

Комплексное уравнение Гинзбурга–Ландау включает неустойчивые и нелинейные члены, дисперсию, диффузию и линейное усиление (или затухание):

Гинзбурга–Ландау упрощается до уравнения, известного как нелинейное уравнение Шрѐдингера:

Таким образом, уравнение Гинзбурга–Ландау более общее, оно позволяет учесть больше эффектов, но одновременно сложнее и требует больше информации о среде.

Итак, именно выбор эффектов, которые учитываются при решении задачи о распространении импульса, определяет выбор уравнения. Поэтому, прежде чем переходить к уравнению распространения импульса

16

в волокне, стоит отдельно остановиться на двух фундаментальных понятиях, во многом определяющих эволюцию импульса в оптических волокнах: дисперсии групповых скоростей и эффекте Керра.

Дисперсия групповых скоростей. Дисперия групповых скоростей

(ДГС) в волокне задается как частотная зависимость некой постоянной

Физический смысл описанных коэффициентов может быть определен следующим образом:

0– фазовая отстройка, не зависящая от частоты;

1– величина, обратная групповой скорости, т. е. обратная скорости волнового пакета или скорости распространения энергии импульса.

2– собственно дисперсия групповых скоростей. Обозначает зави-

симость 1 , связанную с групповой скоростью, от частоты. Фактиче-

ски эта зависимость означает уширение импульса во времени по мере прохождения волокна, поскольку оказывается, что фурье-компоненты импульса распространяются с различными скоростями. Этот эффект часто называют хроматической дисперсией;

3 – наклон дисперсии групповых скоростей или дисперсия второ-

го порядка. Именно с этим коэффициентом связана спектральная аcимметрия на выходе из волокна. Роль этого коэффициента особенно

коротких импульсов, имеющих широкий спектр, этот коэффициент совершенно необходим для адекватной оценки влияния ДГС.

Последующие коэффициенты разложения также могут влиять на

прохождение импульса, описать их можно по аналогии с 3 как произ-

водные ДГС соответствующего порядка.

Эффект Керра. Эффектом Керра принято называть явление зависимости показателя преломления n( , t) от интенсивности электро-

магнитного поля:

17

n( ,t) n0 ( ) n2 I (t) ,

где n0 ( ) – линейный показатель преломления, n2 – нелинейный.

В рамках круга задач, рассматриваемых в данной работе, эта зависимость означает, что показатель преломления зависит от интенсивности оптического импульса, проходящего через волокно.

Эффективность нелинейных эффектов определяется плотностью световой мощности, сосредоточенной в сердцевине световода, которая увеличивается при уменьшении размера поля моды. В большинстве материалов значение n2 мало и составляет примерно 10–20 м/Вт, одна-

ко оптическое волокно – это очень эффективная нелинейная среда, где мощность лазерного излучения с типичными значениями порядка десятков и сотен милливатт фокусируется в небольшую область сердцевины, имеющую характерные размеры от единиц до сотен микрон. При этом нелинейные эффекты в одномодовых волокнах оказываются эффективнее в 107–1010 раз по сравнению с более объемными силикатными средами.

С нелинейностью Керра принято связывать три эффекта: фазовую самомодуляцию, фазовую кроссмодуляцию и четырехволновое смешение. Рассмотрим подробнее фазовую самомодуляцию.

Фазовая самомодуляция (ФСМ) вызывает набег нелинейной фазы, пропорциональной мощности излучения:

Здесь L – расстояние, которое прошел импульс в нелинейной среде; I (t) – огибающая интенсивности.

Нелинейная фаза, а точнее, ее изменение означает уширение спектра, которое может быть найдено простым дифференцированием предыдущего выражения:

dI (t) (t) c n2 L dt .

В первом приближении максимальное спектральное уширение, связанное с фазовой самомодуляцией, может быть оценено следующим образом:

18

где – длительность импульса; I0 – его пиковая интенсивность.

Более точные оценки нелинейной фазы требуют решения уравнения распространения, о котором и пойдет речь далее.

2.2. Нелинейное уравнение Шрёдингера

Как уже было сказано, в нелинейных средах прохождение оптических волн или импульсов изначально определяется волновым уравнением Максвелла:

где E – вектор напряженности электрического поля; c – скорость света в вакууме; μ0 – магнитная постоянная вакуума. Вектор индуциро-

ванной поляризации P может быть представлен суммой линейной и нелинейной частей:

P(r, t) PL (r, t) PNL (r, t) .

Для оптических волокон линейная и нелинейная поляризации могут быть определены через электрическое поле следующими соотношениями:

ная за характеристики нелинейного прохождения, она связана с линейным и нелинейным показателями преломления следующим соотношением:

19

ку для изотропных сред в дипольном приближении она равна нулю, в действительности параметрические процессы второго порядка, такие, например, как генерация второй гармоники, в оптических волокнах все-таки возможны благодаря квадрупольному и магнитно-дипольным эффектам, но в большинстве случаев их эффективность чрезвычайно низка.

Предполагая, что фундаментальная мода электрического поля линейно поляризована в направлениях x и y , ее величина может быть

приближенно оценена с помощью метода разделения переменных:

переменная, описывающая огибающую электрического поля в направлении распространения z во времени t , при этом A(z,t) 2 соответст-

вует мощности оптического излучения.

Для одномодовых волокон, F (x, y) соответствует фундаментальной моде волокна HE11 , приближенно оцениваемой как гауссово рас-

пределение по радиусу. Здесь следует отметить, что в реальном волокне распределение поля более точно описывается функцией Бесселя. A(z, t) определяется как решение обобщенного нелинейного уравне-

ния Шрѐдингера:

нелинейный показатель преломления; 0 – центральная частота поля; Aeff – эффективная площадь моды:

20