Некоторые примеры неустойчивых задач управления. Учебное пособие

УДК 517.935(075.8) ББК 22.161.6е73

Б88

Рецензенты:

проф., д-р физ.-мат. наук В. И. Максимов (зав. отделом Института математики и механики УрО РАН); проф., д-р физ.-мат. наук Г. А. Тимофеева (зав. кафедрой «Высшая

и прикладная математика» Уральского государственного университета путей сообщения)

Научный редактор – проф., д-р физ.-мат. наук А. Н. Сесекин

Бродская, Л. И.

Б88 Некоторые примеры неустойчивых задач управления : учебное пособие / Л. И. Бродская, А. Г. Ченцов. – Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 104 с.

ISBN 978-5-7996-1156-9

В пособии рассматриваются примеры задач управления, не обладающих устойчивостью при ослаблении ограничений. В таких задачах основной интерес представляют решения «на грани фола», позволяющие существенно улучшить результаты, получаемые при точном соблюдении ограничений исходной задачи в классе обычных управлений. Основное внимание уделяется примерам задач о построении и исследовании областей достижимости управляемых систем. Допуская исчезающе малое ослабление ограничений, авторы приходят к асимптотическому аналогу упомянутых областей – к множеству притяжения. На примерах исследуются возможности описания данных множеств посредством расширений исходной задачи, связанных с применением обобщенных элементов (управлений).

Данное издание рекомендовано при проведении спецкурсов по теории управления, а также при выполнении курсовых, квалификационных, дипломных работ и при подготовке магистерских диссертаций.

Библиогр.: 17 назв. Рис. 2.

УДК 517.935(075.8) ББК 22.161.6е73

Оглавление

2Пример задачи управления с геометрическими

ограничениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3Некоторые примеры, связанные с использованием разрывных зависимостей в системе условий 25

4К вопросу о совокупности неустойчивых задач управления при переборе параметров в пределах непустого множества . . . . . . . . . . . . . 50

5 Несеквенциальные элементы притяжения . . . 77 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3

Введение

В предлагаемом учебном пособии рассматриваются примеры задач управления, не обладающих устойчивостью по результату при ослаблении системы ограничений, а также примеры некоторых абстрактных задач с аналогичным свойством. Говоря о результате, достигаемом при решении той или иной задачи управления, можно, с одной стороны, иметь

ввиду значения какого–либо функционала качества, с другой — точку соответствующей области достижимости (ОД) или некоторого аналога ОД. Таким аналогом может быть, например, пучок траекторий, отвечающих допустимым управлениям. В настоящем пособии основное внимание уделяется задачам второго типа, т. е. задачам о достижимости. Эти задачи обладают наглядностью и легко могут быть включены

вкласс более общих задач, которые представляют интерес и для других разделов прикладной математики (математическое программирование, вариационное исчисление). Так или иначе, на идейном уровне мы нередко сталкиваемся с вариантами следующей весьма общей задачи.

Пусть имеется множество E, E ̸= , элементы которого мы можем использовать в качестве конкретных решений. Каждому такому решению единственным образом сопоставлен элемент некоторого другого множества H, являющийся результатом нашего выбора и называемый далее оценкой действия, осуществляемого упомянутым решением (в качестве последнего может, в частности, использоваться управление, подаваемое на вход соответствующей динамической системы; оценкой действия данного управления может служить траектория системы или, в других случаях, значение этой траектории в последний момент времени). Во многих случаях выбор реше-

4

ния стесняется тем или иным дополнительным ограничением

где E0 E (E0 − подмножество E). Тогда множество достижимых оценок (термин «оценка» здесь и ниже понимается не вполне традиционно: под оценкой будем понимать результат в виде элемента H, получающегося при действии соответствующего решения), который имеет вид

где h − оператор, сопоставляющий каждому решению отвечающую ему оценку и действующий из E в H. Тогда H0 H.

Во многих практических задачах оказывается важным рассмотрение случаев, когда условие (0.1) соблюдается в той или иной степени приближенно, т. е. вместо (0.1) допускается использование условий вида

где f − вещественнозначная функция на E; иными словами, этот случай соответствует предположению о том, что

E0 = f−1(] − ∞, 0]) = {e E| f(e) ≤ 0}.

e

Для определения E0 в данном случае можно принять соглашение

5

где ε, ε > 0, есть «малое» число. В других конкретных задачах ослабление ограничения

может иметь иной характер. Так или иначе при переходе к (0.3) мы вместо H0 получаем следующее множество достижимых (в новом смысле) оценок:

При этом, конечно, H0 eH0, но возможен случай, когда при очень малом возмущении (0.6) eH0 «близким» к H0 множеством не является (так, например, в частном случае (0.5) возможна ситуация, когда при очень малых значениях ε, ε > 0, множества H0 и eH0 существенно различаются).

1Абстрактная задача о достижимости

Пусть имеется непустое множество E, элементы которого играют роль решений или управлений, в зависимости от конкретного содержания задачи. Имеется, кроме того, непустое множество H, элементы которого будут исполнять роль оценок или результатов действия конкретных решений. Наконец, имеется отображение

сопоставляющее каждому решению e E соответствующую оценку h(e) H, т. е. результат действия обычного решения e. Выбор последнего может быть стеснен ограничением в виде условия e E0, где E0 — подмножество (п/м) E. Тогда образ

6

(здесь и ниже = — равенство по определению) может рассматриваться в качестве аналога ОД в теории управления: в конкретных задачах управления E — множество в функциональном пространстве, элементы E — программные управления, H — конечномерное арифметическое пространство, h — оператор системы, сопоставляющий программному управлению терминальное состояние исследуемой системы.

Возвращаясь к общей постановке, отметим, что по целому ряду причин ограничение, определяемое множеством E0, нередко соблюдается лишь приближенно. Мы рассматриваем далее только те случаи, когда допускается ослабление ограничений, что соответствует замене

(каждое из множеств (1.2), (1.3) содержится в H). Если мы по какой–то причине не можем выбрать одно определенное мно-

e

жество E0 (а это нередкий случай), то часто рассматривают семейство таковых, допуская возможность неограниченного приближения к E0 в том или ином смысле. Можно предположить, что у нас имеется непустое семейство E п/м E, каждый элемент (а это множество) которого может использоваться в

e

качестве E0.

Пример 1. Пусть имеется некоторое метрическое пространство (X, ρ), X ̸= , в котором выделено непустое замкнутое множество Y, Y X. Имеется отображение

s : E → X,

7

В (1.4) определено множество допустимых элементов нашей задачи. Если ε ]0, ∞[, то наряду с Y можно рассматривать открытую ε–окрестность

Для ситуации, когда конкретный выбор числа ε затруднителен, естественно рассматривать всю совокупность ε– окрестностей (1.5). Это означает фактически, что семейство E определено условием

Такое определение позволяет далее рассматривать вопрос об ужесточении ослабленных ограничений путем последовательного уменьшения ε, ε > 0. В случае, когда семейство E определяется посредством (1.6), речь идет о следующих ограничениях: при ε ]0, ∞[ требуется выбрать e E так, чтобы

y Y : ρ(s(e), y) < ε;

параметр точности ε, ε > 0, следует при этом устремлять к нулю, так что по существу обсуждается ситуация, когда

ε ≈ 0. 2

Обсудим еще один вариант семейства E, имея в виду случай, типичный для задач математического программирования.

Пример 2. Полагаем, что заданы натуральное число n и функции

f1 : E → R, ..., fn : E → R.

8

Полагаем, что множество E0, определяющее ограничения исходной задачи, имеет вид

Замечание. Можно истолковать данное ограничение в терминах предыдущего примера, полагая, что X есть n−мерное арифметическое пространство:

Y= {(x1, ..., xn) X | x1 ≥ 0, ..., xn ≥ 0},

аs действует по следующему правилу:

s(e) = (f1(e), ..., fn(e)),

где f1, ..., fn – вещественнозначные (в/з) функции на E и e E. Тогда E0 снова имеет вид (1.4).

Типичный для задач математического программирования вариант ослабленных ограничений имеет вид

где ε ]0, ∞[. Системе (1.8) отвечает следующее множество допустимых элементов

где ε > 0. Можно, конечно, распространить (1.9) и на случай

e(ε)

ε = 0, полагая, что (при ε = 0) E0 = E0, однако нам это не потребуется. Располагая множествами (1.9) при всех ε ]0, ∞[, можно ввести соответствующее семейство E п/м E. А именно: полагаем, что

На содержательном уровне использование такого семейства E (1.10) соответствует работе с ограничениями (1.8) при

9

ε > 0 и ε ≈ 0. Сейчас мы рассмотрим один конкретный простейший, вариант задачи математического программирования, связанный с заменой E0 семейством E (1.10) (в связи с использованием расширений вида (1.8) в задачах математического программирования отметим работы [2, 3]).

Итак, пусть E = [0, 1[= {ξ R | 0 ≤ ξ < 1} (R– здесь и ниже вещественная прямая), n = 1, а функцию f1 : E → R определяем условием

Тогда E0 = {0} (задача совместна). Мы полагаем для простоты, что H = R, а h : E → R действует по правилу

Тогда, согласно (1.2), h1(E0) = {1}. Если же мы обратимся к условиям вида (1.8), то в нашем случае все сведется к исследованию неравенств f1(e) ≥ −ε при ε ]0, ∞[. При этом (1.9) принимает вид

и тогда данное множество содержит точки, сколь угодно близкие к 1, для которых значение функции h также можно реализовать сколь угодно близким к 0. Иными словами (см. (1.3)), множество

таково, что (при ε > 0) оно содержит некоторый полуинтервал ]0, ε]. Сама точка 0 H недостижима на значениях h, но, как мы видим, она реализуема с любой степенью точности

e(ε)

при замене E0 множеством E0 , где ε > 0 и (это естественно требовать с точки зрения базового неравенства f1(e) ≥ 0)

10