Некоторые примеры неустойчивых задач управления. Учебное пособие

выполняется следующее неравенство

≤

∫0

∫

2

θ

θ

(3.23)

1

u(τ)b(τ)dτ =

u(τ)dτ

1

(мы учли (3.10)). С

другой стороны, из (3.11) следует, что

e

≤

∫0

e

∫

2

θ

1

(3.24)

1

u(τ)dτ

u(τ)dτ = 1.

(3.23), получаем очевидное равенство

Поэтому, учитывая e

∫

e

2

θ

(3.25)

1

u(τ)dτ = 1;

последнее означает, с

учетом (3.24) и аддитивности интегра-

e

ла, что

∫0

1

∫θ 1 u(τ)dτ = 0.

2 u(τ)dτ =

e

e

∫0

1

−

∫

2

−

e

θ

e

e

φu,1(1) =

(1 τ)b(τ)u(τ)dτ =

(1

τ)u(τ)dτ =

∫

1

=

2

(1

−

τ)u(τ)dτ.

(3.27)

1

Из (3.25), (3.27) получаем, какeследствие, цепочку оценок

∫

θ

e

e

≤

1

1

.

(3.28)

φu,1(1)

2

u(τ)dτ =

2

2

1

∫

θ

1

(1

θ)

u(τ)dτ = 1

θ

ε.

−

2

−

≥ 2 −

e

1

С учетом (3.28) мы

получаем включение

e

φu,1(1) [

1

− ε,

1

].

2

2

e

Поскольку

выбор

был

произвольным,

установлено

u

(см. (3.15)), что

e(ε)

e

1

1

G∂e

[

− ε,

].

(3.29)

2

2

Заметим, что (3.29) хорошо

согласуется с (3.20), поскольку

e

1

−

ε <

1

ε

= φu ,1(1) <

1

,

(ε)

2

2

− e

e

2

"

2

e

e

u

U

,

(ε)

где

ε

∂

и

e

φu",1(1) G∂e .

(3.30)

e

Из (3.30) следует, в частности, что

1

1

[ ̸= .

(3.31)

G∂e ∩ ]2 − ε,

2

(ε)

Поскольку выбор

ε

был

произвольным (см. (3.21)), установ-

e

e

лено, что

1

1

1

G∂(ε) ∩ ]

−

ε,

[

̸=

ε ]0,

[.

(3.32)

2

2

2

1

1

G∂(α) ∩ ]

− ε,

+ ε[ ̸= ε ]0, ∞[.

(3.33)

2

2

]

В самом

деле,

при ε [α, ∞[ справедливо

вложение

− α, 21

[

]

[

21

21 − ε, 21

+ ε , и с учетом (3.32) имеем с очевид-

ностью

1

1

1

1

̸= G∂(α) ∩ ]

− α,

[

G∂(α) ∩ ]

− ε,

+ ε[ .

2

2

2

2

Тем самым установлено (поскольку выбор ε был произволь-

ным в пределах [α, ∞[), что

1

1

G∂(α) ∩ ]

−

ε,

+ ε[ ̸=

ε [α, ∞[.

(3.34)

2

2

Пусть теперь ζ ]0, α[. Тогда, в частности, ζ ]0, 21[, и при

этом

1

1

1

1

[

,

+ ζ]

[

,

+ α].

2

2

2

2

[

1

]

U∂(ζ) = {u U| t

1

,

+ ζ : 1 ≤ φu,2(t)}

2

2

{u U| t

1

,

1

+ α

: 1 ≤ φu,2(t)} = U∂(α).

(3.35)

2

2

Из (3.15) и (3.35) вытекает очевидное вложение

G∂(ζ)

G∂(α).

(3.36)

Согласно (3.32), получаем следующее положение:

1

1

G∂(ζ) ∩ ]

− ζ,

[ ̸= .

2

2

С учетом (3.36) и последнего свойства получаем, что

1

1

1

1

̸= G∂(ζ) ∩ ]

− ζ,

[

G∂(α) ∩ ]

− ζ,

+ ζ

[ .

2

2

2

2

В результате имеем свойство G∂(α)

∩

̸= . По-

21 − ζ, 21 + ζ

скольку выбор

ζ

имеем, что

[

был произвольным, ]

1

1

G∂(α) ∩ ]

− ε,

+ ε[ ̸=

ε ]0, α[.

(3.37)

2

2

1

G∂(α),

(3.38)

2

1

1

G∂(ε)

ε ]0,

[.

2

2

Иными словами, справедливо следующее включение

1

∩2

G∂(ε).

(3.39)

2

]0,1 [

ε

Из (3.39) следует тот уже упоминавшийся факт, что точка

1

есть элемент притяжения и, следовательно,

2

∩2

1

{

} ε ]0,1 [ G∂(ε).

(3.40)

2

В левой части используется одноэлементное множество, со-

держащее точку 1. Выберем теперь произвольно

2

∩2

x

G∂(ε).

(3.41)

ε ]0,1 [

Из (3.41) вытекает с очевидностью, что

1

G∂(ε) ∩ ]x − δ, x + δ[ ̸=

ε ]0,

[

δ ]0, ∞[.

(3.42)

2

x G∂(ε0) ∩ ]x − ε0, x + ε0[.

(3.43)

x = φu ,1(1) =

∫0

1(1 − τ)b(τ)u (τ)dτ =

∫

2

−

1

τ)u (τ)dτ.

(3.44)

=

1

(1

t

1

,

1 + ε

справедливо следующее неравенство:

момента

[2

2

0[ 1 ≤ φu ,2(t ).

(3.45)

Вместе с тем, по определению U

∫0

1 u (t)dt = 1.

(3.46)

Напомним здесь же, что с учетом (3.10) имеет место

∫0

∫

2

≤ ∫0

t

t

1

φu ,2(t ) =

b(τ)u (τ)dτ =

1

u (τ)dτ

u (τ)dτ = 1.

Учитывая (3.45), мы получаем, что

∫

2

∫0

t

1

u (τ)dτ =

u (τ)dτ = 1.

(3.47)

1

Из этой цепочки равенств следует, что

(u (t) = 0

t [0,

1

[) & (u (t) = 0 t [t , 1[).

(3.48)

2

С учетом (3.44) и (3.48) мы получаем:

− ∫

∫

2

−

∫

2

2

t

t

t

x =

1

(1 τ)u (τ)dτ =

1

u (τ)dτ

1

τu (τ)dτ =

− ∫

2

t

= 1

1

τu (τ)dτ.

(3.49)

Оценим последнее слагаемое в (3.49). Учиывая (3.47),

∫

2

∫

2

∫

2

t

t

1

t

1

1

τu (τ)dτ −

2

=

1

τu (τ)dτ −

2

1

u (τ)dτ

=

t

− 2)

≤

∫2

(

=

τ

1

u (τ)dτ

≤ ∫

(

−

2)

1

≤

∫

2

t

2

t

1

u (τ)dτ

ε0

u (τ)dτ = ε0.

(3.50)

1

1

Тогда, как следствие, получаем из (3.49),(3.50), что

∫

2

1

1

t

ε

2

−

τu (τ)dτ

(3.51)

x − 2

=

1

≤ ε0

Поскольку выбор

0

был произвольным, установлено, что

1

1

x −

2

≤

ε ε ]0,

2

[.

Это означает, что справедливо

равенство

1

x −

2

= 0,

но, что

∩2

1

ε ]0,1 [ G∂(ε)

{

} ,

2

и с учетом (3.40) мы получаем равенство

∩2

1

[ G∂(ε)

= {

}.

(3.52)

ε ]0,1

2

Итак, мы рассматриваем систему

x˙ 1(t) = x2(t), x˙ 2(t) = u(t).

(3.53)

u(t) = u1(t) + u2(t) t [0, 1[,

(3.54)

∫0

1

|u2(t)|dt ≤ 1.

(3.55)

Свойство (3.54) можно кратко записать в виде

u = u1 + u2,

(3.56)

φu,1(t) =

0

(t − τ)u(τ)dτ,

(3.57)

φu,2(t) =

∫0 t u(τ)dτ,

(3.58)

1

1

φu,1

(

)

≤ −

.

(3.59)

2

2

1

1

1

∫0

2

(

− τ) u(τ)dτ ≤ −

.

2

2

1

1

1

2

U∂ =

{u U | ∫0

(

− t)u(t)dt ≤ −

}

(3.60)

2

2

U∂ = .

(3.61)

1

1

1

φ

(

) = ∫0

2

(

− t)

(t)dt,

(3.62)

u

u,1

2

2

1

1

φ

(

)

= ∫0

2

(t)dt.

(3.63)

u

u,2

2

0 ≤ ∫0

1

(

1

− t)

2

1(t)dt.

(3.64)

u

2

|

2(t)|dt ≤ 1.

(3.65)

u

1

1

1

1

1

u,1 (

)

2

(

− t)

2

(

− t)

φ

= ∫0

1(t)dt + ∫0

2(t)dt ≥

u

u

2

2

2

1

1

2

≥ ∫0

(

− t)

2(t)dt.

(3.66)

u

2

С другой стороны, учитывая (3.65), мы получаем, что

∫

1

(

)

∫

1

(

)

2

1

1

2

1

2

1

0

2

− t

u

2(t)dt

≤

0

2

− t |

u

2(t)|dt ≤

1

∫0

1

∫0

1

(3.67)

≤

|

u

2(t)|dt ≤

|

u

2(t)|dt ≤

.

2

2

2

Более того, нетрудно показать, что на самом деле

∫

1

(

)