Некоторые примеры неустойчивых задач управления. Учебное пособие

вое условие на координату материальной точки (3.53):

где a [0, 1]. Кроме того, мы предполагаем, что выполнено условие (3.55), которое в рассматриваемом случае неотрицательных управлений сводится к требованию

∫ 1

0

Таким образом, рассматривается материальная точка с импульсным ограничением (4.3) и краевым условием (4.2). Согласно (4.1), наша система в начальный момент t = 0 покоится в нуле. Неотрицательность программного управления в системе (3.53) означает содержательно, что используется нереверсируемый двигатель.

Будем конструировать ОД по скорости (т. е. по второй координате в (3.53)) при наличии вышеупомянутых ограничений; кроме того, будем рассматривать ослабление краевого условия (4.2), т. е. замену (4.2) неравенством

где ε ]0, ∞[. Для того чтобы исключить субъективизм в выборе параметра ε в (4.4), будем конструировать множество притяжения, которое в настоящем разделе будет введено достаточно строго (впрочем, данное множество в идейном отношении подобно (3.52)).

Полагаем в дальнейшем, что F есть по определению множество всех неотрицательных в/з функций u = u(·) = (u(t), 0 ≤ t < 1) на промежутке [0, 1[ = {ξ R | (0 ≤ ξ) & (ξ < 1)}, для каждой из которых выполнено (4.3). Элементы множества F можно рассматривать в качестве программных управлений.

51

Если u F, то, с учетом (4.1), компоненты траектории системы (3.53) имеют вид (3.57), (3.58). Для всех наших целей будет существенным только (терминальное) состояние систе-

мы в последний момент времени: если u F, то

∫ 1

В виде φu(1) = (φu,1(1), φu,2(1)) имеем состояние управляемой системы (3.53) в последний момент времени. Условие

Поэтому множество всех допустимых программных управлений (имеется в виду допустимость в смысле (4.2), (4.3)) имеет вид ∫ 1

F∂[a] = {u F | (1 − t)u(t)dt = a}. (4.8)

0

С учетом (4.6) и (4.7) мы можем рассматривать множество

{∫ 1 }

G∂[a] = u(t)dt : u F∂[a] (4.9)

0

как область достижимости по скорости при точном соблюдении условий (4.2), (4.3). Условие (4.3) возмущаться не будет.

Что же касается условия (4.2), то мы будем рассматривать его ослабленные аналоги в виде условия (4.4), где параметр ε, ε > 0, может быть различным. Тогда полагаем

52

Каждое множество (4.11) содержит ОД (4.9). Для целей «исключения» параметра ε из конструкции (4.11) полагаем,

(напомним, что черта сверху означает операцию замыкания

всмысле обычной | · |–топологии вещественной прямой R). Ясно, что

Вложение (4.13) следует из (4.12) и ранее упомянутых свойств ОД (4.11). Тогда [9]

свойство (4.14) можно содержательно интерпретировать как устойчивость ОД при замене (4.2) на (4.3) в случае малых ε, ε > 0. Кроме того, из [9] следует, что

Мы видим, что случай a = 0 соответствует ощутимой неустойчивости в вопросах построения ОД (в левой части (4.12) имеем одноэлементное множество, а в правой – континуум [0, 1]). Итак, при переходе от a ≈ 0 к случаю a = 0 мы имеем скачок ОД. При этом, увеличивая a сколь угодно мало в сравнении с нулем, мы «отстраиваемся» от неустойчивости. Эту возможность можно переформулировать в несколько иных терминах.

53

Рассмотрим систему (3.53) в условиях, когда начальные координаты (первая компонента фазового вектора в начальный момент времени и скорость) могут быть малыми положительными числами.

Зафиксируем a0 ]0, 1[. Кроме того, заменим (4.1) условиями

где x01 ]0, ∞[ и x02 ]0, ∞[. Тогда рассмотрим значение

x01 + x02 ]0, ∞[,

с помощью которого определяем новое краевое условие

где, как уже отмечалось, a0 ]0, ∞[; при этом значение x1(1) всякий раз соответствует траектории с начальным условием (4.16). Иными словами, сохраняя ограничение (4.3) на выбор (неотрицательного) программного управления, будем рассматривать ОД по скорости при начальных условиях (4.16) и краевом условии (4.17). В этом случае

∫ 1

есть множество всех допустимых программных управлений. Значения x01 и x02 можно будет, в принципе, менять, но толь-

ко так, чтобы

Заметим при этом, что множество всех неотрицательных покомпонентно векторов (x01, x02), удовлетворяющих (4.19), имеет мощность континуума, т. к. a0 > 0; это множество содержит нулевой вектор.

54

Согласно (4.8), определено множество F∂[a0 − (x01 + x02)]; более того, из (4.18) вытекает, что

Соответственно, мы имеем в виде множества

∫ 1

0

∫1

={x02 + u(t)dt : u F∂[a0 − (x01 + x02)]} =

ε ]0, ∞[ множество всех ε–допустимых (в смысле (4.17)) программных управлений:

Как следствие (см. (4.10)) при ε ]0, ∞[ мы в виде множества

0

∫1

={x02 + u(t)dt : u F(∂ε)[a0 − (x01 + x02)]}

0

(см. (4.22)) получаем сдвиг множества, подобного (4.11), откуда, с учетом (4.11), вытекает равенство

G∂(x01, x02, ε) = {x02 + y : y G(∂ε)[a0 − (x01 + x02)]}. (4.23)

55

Для того чтобы исключить субъективность в выборе ε, ε > 0, мы, как и в (4.12), введем множество притяжения. А именно: полагаем, что

В связи с (4.24) отметим одно простое представление замыканий множеств (4.23):

G∂(x01, x02, ε) =

= {x02 + y : y G(∂ε)[a0 − (x01 + x02)]} ε ]0, ∞[. (4.26)

Свойство (4.26) является простейшим вариантом весьма общего положения теории топологических векторных пространств: замыкание множества, полученного сдвигом на x0 другого множества, есть сдвиг замыкания последнего. В целях полноты изложения приведем соответствующее рассуждение в следующем замечании.

Замечание 4.1

Фиксируем ε ]0, ∞[. Для краткости полагаем, что

Кроме того, используем (4.23). Нам требуется установить равенство

56

Пусть x G∂(x01, x02, ε). Тогда можно указать последовательность

Из (4.30) вытекает свойство сходимости (x(k) −x02)k N → y ,

где y = x − x2. С учетом (4.31) имеем из этого последнего свойства включение

y G(∂ε)[a0 − (x01 + x02)],

а тогда x = x02 + y Ω, согласно (4.27), чем и завершается обоснование вложения:

В этом случае, согласно (4.23), справедлива система включений

57

При этом x02 + w˜ = w, а потому из (4.33) следует сходимость (x02 + zk)k N → w. С учетом (4.34) получаем следующее включение

w G∂(x01, x02, ε).

Поскольку выбор w был произвольным, установлено вложение

Ω G∂(x01, x02, ε),

откуда, с учетом (4.32), вытекает (4.28), и следовательно (см. (4.27)), требуемое равенство:

G∂(x01, x02, ε) = {x02 + y : y G(∂ε)[a0 − (x01 + x02)]}.

Поскольку выбор ε был произвольным, свойство (4.26)

Доказательство. Обозначим для краткости множество в правой части (4.35) через Ξ. Требуется установить равенство

Пусть x (AS)[x01; x02]. Тогда x R удовлетворяет, в силу (4.24), системе включений

x = x02 + (x − x02) Ξ,

58

Выберем произвольное число ξ Ξ. Тогда, по определению

С учетом (4.24) получаем включение ξ (AS)[x01; x02]. Поскольку выбор ξ был произвольным, установлено вложение

Ξ (AS)[x01; x02],

из которого, с учетом (4.38), вытекает требуемое неравенство

(AS)[x01; x02] = Ξ.

Используя определение множества Ξ, мы получаем равенство (4.35). 2 Введем в рассмотрение множество X всех упорядоченных

пар (x1, x2) ]0, ∞[ × ]0, ∞[, для каждой из которых

Поскольку в предыдущих построениях выбор x01 и x02 был произвольным, с соблюдением условия (4.25), мы можем использовать конструкцию (4.24) при замене x01 → x1 и x02 → x2

59

в случае (x1, x2) X: определено множество (AS)[x1; x2] (при упомянутой замене определены также множества G∂(x1, x2, ε) при ε ]0, ∞[). Кроме того, с учетом (4.40), определено (см. (4.12)) множество (AS)[a0 − (x1 + x2)], где (x1, x2) X. Наконец, согласно предложению (4.1), имеем систему

(AS)[x1; x2] =

= {x2 + y : y (AS)[a0 −(x1 + x2)]} (x1, x2) X. (4.41) Напомним теперь, что при (x1, x2) X мы, согласно (4.9) и (4.40), можем определить множество G∂[a0−(x1+x2)], причем,

используя (4.21), мы, с одной стороны, определяем

∫ 1

G∂(x1, x2) = {x2 + u(t)dt : u F∂(x1, x2)}

0

(«точная» ОД для случая начальных условий, определяемых вектором (x1, x2)), а с другой — (также см. (4.21)) имеем равенство

G∂(x1, x2) = {x2 + y : y G∂[a0 − (x1 + x2)]}. (4.42)

Согласно (4.14), (4.41) и (4.42), мы имеем следующее положение: если (x1, x2) X и при этом

то справедливо равенство

Теперь, используя свойство, подобное (4.21), мы имеем (в случае (4.43)) представление

имеющее смысл устойчивости задачи о построении ОД по скорости.

60